DIFERENSIAL-FUNGSI-SEDERHANA
Download
Report
Transcript DIFERENSIAL-FUNGSI-SEDERHANA
Diferensial
fungsi sederhana
http://rosihan.web.id
Materi Yang Dipelajari
•
•
•
•
•
Kuosien Diferensi dan Derivatif
Kaidah- Kaidah Diferensiasi
Hakikat Derivatif dan Diferensial
Derivatif dari Derivatif
Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik
http://rosihan.web.id
Kuosien Diferensi dan Derivatif
• y = f(x) dan terdapat tambahan variabel
bebas x sebesar ∆x
• Maka :
y f ( x)
y y f ( x x)
y f ( x x) y
y f ( x x) f ( x)
http://rosihan.web.id
(1)
• ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y
adalah tambahan y akibat adanya
tambahan x. Jadi ∆y timbul karena
adanya ∆x.
• Apabila pada persamaan (1) ruas kiri
dan ruas kanan sama-sama dibagi ∆x,
maka diperoleh
y f ( x x) f ( x)
x
x
http://rosihan.web.id
• Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut
sebagai hasil bagi perbedaan atau
kuosien diferensi (difference quotient),
yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel terikat y terhadap
perubahan variabel bebas x
• Proses penurunan fungsi disebut juga
proses diferensiasi merupakan
penentuan limit suatu kuosien diferensi
(∆x sangat kecil)
• Hasil proses diferensiasi dinamakan
turunan atau derivatif (derivative).
http://rosihan.web.id
Jika y = f(x)
Maka kuosien diferensinya :
y f ( x x) f ( x)
x
x
lim y
lim f ( x x) f ( x)
x 0 x x 0
x
http://rosihan.web.id
penotasian
• Cara penotasian dari turunan suatu fungsi
dapat dilakukan dengan beberapa macam :
Paling lazim
digunakan
y
dy df ( x)
'
y f ' ( x) y x f x ( x)
x 0 x
dx
dx
lim
∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)
http://rosihan.web.id
Kaidah-kaidah diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka dy/dx = 0
contoh : y = 5 dy/dx = 0
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta,
maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
http://rosihan.web.id
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan
fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3 dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan
fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy
kdv / dx
dx
v2
5 dy
5(3x 2 )
15x 2
contoh : y 3 , 3 2 6
x dx
(x )
x
http://rosihan.web.id
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3 u = 4x2 du/dx = 8x
v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy
dv
du
maka
u v
dx
dx
dx
contoh : y (4 x 2 )( x 3 )
dy
dv
du
u v
(4 x 2 )(3x 2 ) ( x 3 )(8 x) 12 x 4 8 x 4 20 x 4
dx
dx
dx
http://rosihan.web.id
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du
dv
v
u
dy
maka
dx 2 dx
dx
v
2
4x
contoh : y 3
x
du
dv
v
u
3
2
2
dy
(
x
)(
8
x
)
(
4
x
)(
3
x
)
dx
dx
2
3 2
dx
v
(x )
http://rosihan.web.id
8 x 4 12 x 4 4
2
4
x
6
2
x
x
8. Diferensiasi Fungsi komposit
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)}, maka :
dy dy du
dx du dx
contoh : y (4 x 3 5) 2 misal : u 4 x 3 5 y u 2
du
dy
12 x 2 ,
2u
dx
du
dy dy du
2u (12 x 2 ) 2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120 x 2
dx du dx
http://rosihan.web.id
9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1
.(du/dx)
Contoh :
du
y (4 x 5) , misal : u 4 x 5
12 x 2
dx
dy
du
n 1
nu
2(4 x 3 5)(12 x 2 ) 96 x 5 120 x 2
dx
dx
3
http://rosihan.web.id
2
3
10. Diferensiasi fungsi logaritmik
Jika y = alogx, maka
dy
1
dx x ln a
dy
1
1
contoh : y log 2,
dx x ln a 2 ln 5
5
http://rosihan.web.id
11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik
Jika y=alogu, dimana u=g(x),
maka :
a
log e du
dx
u
dx
x 3
contoh : y log
x2
( x 3)
du ( x 2) ( x 3)
5
misalkan : u
( x 2)
dx
( x 2) 2
( x 2) 2
dy
a
log e du
dx
u
dx
log e
5
5 log e
5 log e
x 3 ( x 2) 2 ( x 3)( x 2) ( x 2 x 6)
x
2
dy
http://rosihan.web.id
12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmikberpangkat
a
n
Jika y = ( logu) , dimana u = g(x) dan n adalah konstanta,
maka :
dy dy a log e du
dx du
u
dx
2 3
contoh : y (log 5 x )
du
misalkan u 5 x
10 x
dx
dy
2 2 log e
3(log 5 x ) 2 (10 x)
dx
5x
30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6
2 2
(log 5 x ) log e
2
5x
x
http://rosihan.web.id
2
13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du
dx u dx
http://rosihan.web.id
x3
contoh : y ln
x2
( x 3)
du
5
misalkan : u
( x 2)
dx ( x 2) 2
dy 1 du ( x 2)
5
5
2
2
dx u dx ( x 3) ( x 2)
( x x 6)
15. Diferensiasi fungsi Komposit-LogaritmikNapier-berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta
Maka :
dy dy 1 du
dx du u dx
contoh : y (ln 5 x 2 ) 3
du
misalkan u 5 x
10 x
dx
dy
6
2 2 1
3(ln 5 x ) 2 (10 x) (ln 5 x 2 ) 2
dx
x
5x
2
http://rosihan.web.id
16. Diferensiasi fungsi eksponensial
Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a
Contoh : y = 5x,
dy
x
x
a ln a 5 ln 5
dx
dy
x
Dalam hal y e , maka
e juga,
dx
sebab ln e 1
x
http://rosihan.web.id
17. Diferensasi fungsi komposit - eksponensial
Jika y = au dimana u = g(x), maka :
dy
du
u
a ln a
dx
dx
Contoh : y 9
3 x2 4
du
misalkan u 3 x 4
6x
dx
2
dy
du
u
3 x2 4
3 x 2 4
a ln a
9
(ln 9)(6 x) (6 x)9
ln 9
dx
dx
dy
u
u du
Kasus Khusus : dalam hal y e , maka
e
dx
dx
http://rosihan.web.id
18. Diferensiasi fungsi kompleks
Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)
Maka :
dy
du
dv
v 1
v
vu
u ln u
dx
dx
dx
contoh : y 4 x , misalkan : u 4 x du / dx 4
x3
v x 3 dv / dx 3 x 2
dy
du
dv
v 1
v
vu
u ln u
dx
dx
dx
( x )4 x
3
16 x
http://rosihan.web.id
4x
x 3 1
x3 2
x 3 2
(4) 4 x ln 4 x(3 x 2 )
12 x
x3
x3 2
ln 4 x
(4 3 ln 4 x)
19. Diferensiasi fungsi balikan
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling
berbalikan (inverse functions)
Maka :
dy
1
dx dy / dx
contoh :
x 5 y 0,5 y
4
dy
dy
1
1
3
5 2y
3
dx
dx dy / dx (5 2 y )
http://rosihan.web.id
20. Diferensiasi Implisit
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak
mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan
mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap
y sebagai fungsi dari x
contoh :
4 xy2 x 2 2 y 0, tentukan
dy
dy
2
8 xy 4 y 2 x 2 0
dx
dx
dy
8 xy 2 2 x 4 y 2
dx
dy 2 x 4 y 2 x 2 y 2
dx 8 xy 2
4 xy 1
http://rosihan.web.id
dy
dx