Transcript KALKULUS DERIVATIF

koefisien
Diferensi dan Derivatif
Kaidah-kaidah Diferensial
Hakikat Derivatif dan Diferensial
Derivatif dari Derivatif
TOKOH KALKULUS
Sir Isaac Newton
Gottfried Wilhelm
Leibniz


Kalkulus (dari Bahasa Latin calculus yang
artinya "batu kecil") adalah cabang ilmu
matematika yang mencakup limit, turunan,
integral, dan deret takterhingga. Kalkulus,
yang mempunyai aplikasi luas dalam bidang
sains dan teknik, digunakan untuk
memecahkan masalah kompleks yang tidak
cukup diselesaikan dengan menggunakan
teknik aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama,
kalkulus diferensial dan kalkulus integral
yang saling berhubungan melalui teorema
dasar kalkulus.


KALKULUS adalah konsep matematika yang
mempelajari mengenai analisis tingkat
perubahan dari suatu fungsi
KALKULUS terdiri 2 bidang studi
- kalkulus diferensial, tingkat perubahan
rata-rata atau seketika dari suatu fungsi
- kalkulus integral, mengenai pencarian nilai
fungsi asal bila diketahui nilai perubahannya
dan juga penentuan luas bidang dibawah
kurva yang dibatasi oleh sumbu X
PENEMU Operasi matematika untuk
diferensial dan integral adalah Isaac Newton
( warga negara Inggris)
PENERAPAN diferensial untuk
membandingkan perubahan dari suatu
keseimbangan lama ke suatu keseimbangan
baru (Analisis statis komparatif)
Analisis tingkat perubahan nilai
keseimbangan variabel endogen terhadap
perubahan dalam parameter khusus atau
variabel eksogen


TITIK KRITIS MAKSIMUM
MAKSIMUM RELATIF
MAKSIMUM ABSOLUT (INTERVAL)
TITIK KRITIS MINIMUM
MAKSIMUM RELATIF
MAKSIMUM ABSOLUT (INTERVAL)
LANGKAH-LANGKAH
UNTUK DERIVATIF PERTAMA =O, dan CARI
NILAI “X” MISAL Xo
MASUKAN NILAI “Xo” KE DERIVATIF KEDUA
JIKA f ”(X) < 0, MAKSIMUM RELATIF PADA TITIK
(Xo, f (Xo)
JIKA f”(X) > 0, MAKA TITIK MINIMUM NEGATIF
JIKA F”(X) = 0, UJI DERIVATIF GAGAL DAN TIDAK
DAPAT DISIMPULKAN SECARA PASTI, KEMBALI
KE UJI DERIVATIF PERTAMA ATAU YG LEBIH
TINGGI
CARI TITIK KRITIS DENGAN DERIVATIF PERTAMA
dY
 2 X  12  0
dX
2 X  12
X 6
MASUKAN NILAI X=6 KE PERSAMAAN PERTAMA
Y = -X 2 +12X + 2
= -6 2 + 12 . 6 + 2
= 38
TITIK KRITIS (6,38)
DERIVATIF KEDUA f “ (X) = -2 , -2 < 0 BERARTI TITIK
MAKSIMUM RELATIF
DERIVATIF PERTAMA
f’ (X) = 3X2 -24X + 36 =0
Atau 3 (X2 -8X + 12)
Sehingga (X-2)(X-6)
Titik kritis X1=2 dan X2=6
Masukan titik kritis X1=2 dan X2=6 ke
persamaan semula
Y= f(X) = X3-12X2+36X+8
 Untuk X =2 maka
(2)3-12. (2)2+36.(2)+8 =40 ; titik (2,40)
 Untuk X =6 maka
(6)3-12. (6)2+36.(6)+8 = 8; titik (6,8)
Jadi titik kritisnya adalah titik (2,40) dan titik
(6,8)
Uji DERIVATIF KEDUA
f’ (X) = 3X2 -24X + 36
F” (X) = 6X-24
UNTUK X=2 ; f’’ (X) = 6.2 -24 =-12 < 0,
maksimum
UNTUK X=6 ; f’’ (X) = 6.6 -24 =12 > 0,
MINIMUM

f(X) = X2 -4X +3
2.
f(X) = X2 -6X +8
3.
f(X) = X3 -6X2 +9X +5
4.
f(X) = 2X2 -5X +8
5.
f(X) = 3X2 -6X +10
6.
f(X) = X3 +X2 - X +1
CARILAH TITIK MAKSIMUM ATAU MINIMUM
DARI FUNGSI-FUNGSI DIATAS DENGAN
MENGGUNAKAN UJI DERIVATIF PERTAMA
DAN KEDUA
1.






TC = f (Q)
AVERAGE COST (AC) = TC / Q = f(Q)/Q
MARGINAL COST (MC) = TINGKAT PERUBAHAN
DARI BIAYA TOTAL (TC) TERHADAP PERUBAHAN
SATU UNIT PRODUK YANG DIHASILKAN
ISTILAH MARGINAL PENGGANTI “DERIVATIF” DALAM
MATEMATIKA
MARGINAL COST (MC) = DERIVATIF PERTAMA
TOTAL COST (TC)
MARGINAL AVERAGE COST (MAC) = DERIVATIF
PERTAMA BIAYA RATA-RATA
• TC = 0,2 Q2 + 500Q + 8000
1. FUNGSI BIAYA RATA-RATA (AC) = TC/Q
AC = TC/Q = TC = (0,2 Q2 + 500Q + 8000 )/Q
= 0,2 Q + 500 + 8000/Q
2. JUMLAH PRODUK AGAR BIAYA RATA-RATA MINIMUM
DENGAN DERIVATIF PERTAMA BIAYA RATA-RATA=0
AC = 0,2 Q + 500 + 8000/Q
0,2 Q + 500 + 8000 . Q -1
dAC / dQ = 0,2 -8000 .Q-2 = 0
0,2 = 8000 / (Q2)
0,2 Q2 = 8000
Q2 = 40.000 ; Q = 200
UJI TITIK MINIMUM DENGAN DERIVATIF KEDUA
d’ AC / dQ = 0,2 -800 .Q -2
D’’ AC / dQ =16000 .Q -3 = 16.000/Q3
UNTUK Q = 200 MAKA 16.000/2003 > 0 ; MINIMUM
SUBSTITUSIKAN NILAI Q =200 KE PERSAMAAN
AC = 0,2 Q + 500 + 8000/Q = 0,2 . 200 + 500 + 8000/200 = 580





TR = P. Q DIMANA P = f (Q) SEHINGGA
TR = f(Q) . Q
AR = TR /Q = P.Q/Q = P
AR = P = f(Q) ; DIMANA f(Q) ADALAH FUNGSI
PERMINTAAN
MR = dTR/dQ
PERMINTAAN P= f(Q)P =18 – 3Q
TR = P. Q = f(Q) . Q
= (18 – 3Q ). Q= 18Q -3Q2
UNTUK MAKS MAKA dTR/dQ=0
dTR/dQ=0
TR = 18Q -3Q2
dTR/dQ = 18 – 6.Q =0;
6Q = 18 ; Q = 3
UNTUK Q = 3,
TR = 18. 3 -3.(3)2 = 54-27= 27
MAKSIMUM TR PADA TITIK (3,27)
MR = MARGINAL REVENUE = dTR/dQ
TR = 18Q -3Q2 (GAMBAR KURVA)
MR = dTR/dQ = 18 – 6 Q (GAMBAR KURVA)
AR = TR/Q = 18 -3Q (GAMBAR KURVA)
30
25
20
15
10
TR
5
AR
0
-5
-10
-15
-20
-25
0
1
2
3
4
5
6
MR
SOAL
JIKA FUNGSI BIAYA TOTAL ADALAH

TC=4 + 2Q + Q2

TC = (1/50)Q2 +6Q + 200

TC = Q3 + Q + 8
CARILAH :
BIAYA
RATA-RATA
MINIMUM
GAMBARKANKURVA BIAYA TOTAL
RATA-RATA DALAM SATU DIAGRAM
DAN
DAN
SOAL
FUNGSI PERMINTAAN SUATU PRODUK ADALAH
:
1.
P = 24 -7Q
2.
P = 12 – 4 Q
3.
P = 212 – 3 Q
4.
P = 550 – Q
HITUNGLAH PENERIMAAN TOTAL MAKSIMUM
GAMBARKAN KURVA AR, MR, DAN TR DALAM
SATU DIAGRAM

LABA (Π) = TR – TC
 TR = P.Q DIMANA P = f(Q)
 DAN TC = f(Q)TC



Π = P. Q – (TC)
LABA MAKSIMUM , dicari dengan menghitung
derivatif pertama dari fungsi LABA atau
dΠ/dQ = Π’
PENGAUJIAN TERHADAP TITIK MAKSIMUM ,
dengan mencari derivatif kedua dari fungsi
LABA.

Elastisitas harga dari permintaan dapat didefinisikan
sebagai perubahan persentase jumlah yang diminta
oleh konsumen yang diakibatkan oleh perubahan
persentase dari harga barang itu sendiri.

(ELASTISITAS KONSTAN)ELASTISITAS FUNGSI
PERMINTAAN HIPERBOLA SAMA SISI
FUNGSI UMUM

ELASTISITAS NYA ADALA KONSTAN = -m
