Transcript kal 2 MODUL 10

3. Persamaan Diferensial Linier orde satu
Bentuk Umum :
.
dy
 P( x) y  Q ( x)
dx
Penyelesaian umum diberikan rumus langsung yaitu :
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{  Q ( x ). e 
dx  C }
Contoh-contoh:
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 xy  3 x
dx
Jawab : P(x)= x dan Q(x) = 3x
penyelesaian umum.
.
y e 

xdx
 3 x .e

x ) dx
ye 
 P ( x ) dx
P ( x ) dx

{  Q ( x ). e
dx  C }
dx  C
y e
Catatan Misal U = 1/2 x2
dU

dx

dU = x dx
x

1
2
x
2
1
x
2
{  3 x .e 2 dx  C }
.

xe

e
x
2
U
dx 
dU
U
x
dU

1
e
U

2
ye
y 

x .e

3
1
2
x
2
(
3
e
1
e
z
2
2
1/ 2 x
2
 C)
2
 Ce

1
2
x
2
 sebagai penyelesaian pesamaan diferensial
2
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut : dy  2 y  3 x
dx
x
Jawab :
 P ( x ) dx
P ( x ) dx

penyelesaian umum. y  e 
{  Q ( x ). e
dx  C }
2 / xdx
2 / xdx


y e
{  3 x .e
dx  C }

ye
 2 ln x
{  3 x .e
2 lx 2
dx  C }
.
y x
2
 3 x ( x ) dx  C )
y  x
2
2
(
3
x
 C)  y 
4
4
3
x
2
4
4. Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum : dy
 P ( x) y  Q ( x) y ^ n
dx
Cara Menyelesaikan :
Dibagi yn :
1 dy
y
n
 P ( x) y
1 n
 Q ( x)
dx
Dimisalkan u = y1-n  du = (1-n) y-n dy
1
du
1  n dx

1 dy
n
y dx
Persamaan diferensial akan menjadi:
1
du
1  n dx
 P ( x ). u  Q ( x )
 Cx
2
.
du
dx
 (1  n ) P ( x ). u  (1  n ) Q ( x 
) PD linier orde satu dalam u.
-Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
u  e 
{  q ( x ). e 
dx  C }
Dimana p(x) = (1-n) P(x)
.q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh-contoh:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 y  (2  3 x) y
4
dx
Jawab :
Dibagi y4 : diperoleh
1 dy
y
4
 y
3
 (2  3 x)
dx
Dimisalkan u = y-3  du = (-3) y-4 dy
1
du
 3 dx

1 dy
y
4
dx
Persamaan diferensial akan menjadi:
1
du
 3 dx
du
 u  (2  3 x)
 3 .u   3 ( 2  3 x )  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum : P(x)=-3 dan Q(x)= -6 +9x
.
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
u e 
ue 
{  q ( x ). e 
  3 dx
 3 dx

{  (  6  9 x ). e
dx  C }
u  e {  (  6  9 x ). e
3x
u e {
3x
dx  C }
 (9 x  6 )
e
3 x
3x
dx  C }
e
3
1
y
3
y 
 ( 2  3 x )  1  Ce
1
3
1  3 x  Ce
3x
3x
3x
 C}
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
Jawab :
1 dy
2 2
 y  3x
Dibagi y3 : 3
y dx
dy

dx
2
y  3 xy
3
x
x
Dimisalkan u = y-2  du = (-2) y-3 dy
1
du
 2 dx
1 dy

y
3
Persamaan diferensial akan menjadi:
du

4
dx
1
du
 2 dx

2
u  3x
x
.u   6 x
 PD linier orde satu dalam u. P(x)= -4/x dan Q(x)= - 6x
- Penyelesaian umum :
4
4
dx
x
u e 

p ( x ) dx
ue
1
y
2
4 ln x
{  q ( x ). e 
{  (  6 x ). e
 x (
4
p ( x ) dx
6
2
x
2
 4 ln x
u e
dx  C }

 
dx
x
{  (  6 x ). e
dx  C }
4
u  x {  (  6 x ). x dx  C }
4
dx  C }
 C)
  x dx
1
y
2
 3x
2
 Cx
4
1
y 
3x
2
 Cx
///
4
5. Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
m
n
Disebut Persamaan Diferensial Eksak bila dipenuhi syarat

y
x
Cara menyelesaikan :
Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial tersebut, maka
.
F
y
Maka
dx 
F
F
x
x
dy  0
 m ( x , y ) dan .
F
y
 n( x, y )
F ( x , y )   m ( x , y ). dx  Q ( y )
Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n(x,y) diperoleh Q(y).
Sehingga diperoleh penyelesaian umum PD EKSAK :F(x,y) = C.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut : (2xy-sin x) dx + x2 dy = 0
Jawab :
m= 2 xy – sin x   m  2 x
y
n = x2   n
x
 2x
Jadi merupakan PD Eksak.
Penyelesaian :
.
F(x,y) = x2 y+ cos x + Q(y)
F ( x , y )  ( 2 xy  sin x ) dx  Q ( y )
.
F
y
 x2 + 0 + Q’(y) = x2  Q’(y) = 0  Q(y) = C
 n( x, y )
Jadi penyelesaian umum : F(x,y) = x2 y + cos x = C ///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :(3+ y exy ) dx – ( 3y – x exy) dy = 0
Jawab : m= .(3+ y exy ) 
.n = – ( 3y – x exy) 
Penyelesaian :
m
 e
y
n
x
F ( x , y )   {3  ye
xy )
} dx  Q ( y )
xy
 e
xy
 xye
 xye
xy
Jadi merupakan PD Eksak.
xy
 F(x,y) = 3x + exy + Q(y)
F
. .  n( x, y ) 
y
0+ x exy + Q’(y) = – ( 3y – x exy)
Q’(y) = - 3y  Q(y) = - 3/2 y2 + C
Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 y2 = C ///
TUGAS:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
y  2 cos 3 x
x
 y  (cos x  sin x ) y
dx
dy
3Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dx
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
dx
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(x y2 – x ) dx + ( y + x2y ) dy = 0
2
dx
dy
2Selesaikan persamaan diferensial berikut :

 2 y  (9 x  6 x ) y
3

6  3 ye
xy
6 y  3 xe
xy
4
3