Transcript Kal 2 mdol 11

6. Persamaan Diferensial Tidak Eksak
Bentuk Umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
m n
Disebut PD Tidak Eksak bila


y
x
Cara menyelesaikan :
Dicari fungsi µ(x,y) yang biasa disebut Faktor Integral .
Sehingga µ (.m(x,y) dx + n(x,y) dy) = 0 menjadi PD Eksak
Maka   .m    .n
 

n
m
y
x
y

Faktor Integral : µ =
.n 
x
m
y

.m 

y
n
y
. 
x
.n 
x
.
.m
x
Penyelesaian : F(x,y) =   .( x , y ). m ( x , y ) dx  Q ( y )
Turunkan terhadap y dan disamakan dengan{µ(x,y)n(x,y)} diperoleh Q(y). Sehingga diperoleh
penyelesaian F(x,y) = C.
Contoh – contoh :
Selesaikan persamaan diferensial berikut :
( 9 y2 + 2 x y3 ) dx + ( 9 xy + 2 x2y2 ) dy = 0
Dengan factor integral fungsi dari x.
Jawab :
( 9 y2 + 2 x y3 ) dx + ( 9 xy + 2 x2y2 ) dy = 0
m= 9
y2
+2x
m

y3
 18 y  6 xy
y
n
.n =( 9 xy + 2 x2y2 ) 
 9 y  4 xy
x
m
2
2
n

Jadi y
merupakan PD tidak Eksak.
x

Faktor integral : merupakan fungsi dari x maka y . 

µ=
.n 
x
m
y
µ=
 .x
dx


y
n

.m

2
2
x

2
2
(18 y  6 xy )  ( 9 y  4 x y )
x

.( 9 xy  2 x y )

x
.
x  




x
x
.

.( 9 xy  2 x y )
 x
2
(9 y  2 x y )
 lnµ = ln x
Jadi µ = x.
P D menjadi PD Eksak :
x{( 9 y2 + 2 x y3 ) dx + ( 9 xy + 2 x2y2 ) dy} = 0
(( 9x y2 + 2 x2 y3 ) dx + ( 9 x2 y + 2 x3y2 ) dy = 0
F(x,y) = ( 9 xy
2
 2 x y ) dx  Q ( y )
2
3
F(x,y) = x2 y2 + + Q(y)
0
2
2

.( 9 x  2 xy ) x
2
 x
2
(9 y  2 x y )
F(x,y) = x2 y2 + + Q(y)
.
F
y
 n( x, y )
 9x2 y+2x3y2 + Q’(y) =9x2 y+2x3y2  Q’(y) = 0  Q(y) = C
Jadi F(x,y) =
9
2
x2 y2 + 3 x
2
3
y
3
= C ///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
( 2x3 y2 + x2 y3 ) dx + ( x3 y2 - 2 x2y3 ) dy = 0
Dengan factor integral fungsi dari (xy).
Jawab :
( 2x3 y2 + x2 y3 ) dx + ( x3 y2 - 2 x2y3 ) dy = 0
m
: m=
2x3
y2
+
x2
 y
y3
n
.n =(
x3
y2
-2
)  x
x2y3
 4x y  3x y
3
2
 3 x y  4 xy
2
2
3
2
Jadi  m
y

n
x
merupakan PD tidak Eksak.
Faktor integral : merupakan fungsi dari xy dimisalkan z = xy
maka

x
.
 z
z x


z
y
dan

y
.
 z
z y


z
x
z
y
.  xdan
z
x
. y
•
Faktor Integral :

.n 
x
 
m
y


y
n
.m

 z
y .( x y  2 x y ) 
3

{ 2 x y  2 x y}
2
( z )
lnµ = -2 ln z  µ = z-2 =(xy)-2. 
( xy )
2
4
4
3
2
1
3
(4 x y  4 x y )

 z
2


x(2 x y  x y )
3
2
3
z
3
2 2
2 2
3
( 4 x y  3 x y )  (3 x y  4 x y )
x
 z
2
3

 z
2
2
2



2


2
2 xy ( 2 x  2 y )

z
 2
. 


z
3

 z
F
2
z
( x y )
.
z
1
( xy )
2
{( 2x3 y2 + x2 y3 ) dx + ( x3 y2 - 2 x2y3 ) dy }= 0 menjadi PD Eksak.
 0+x + Q’(y) = x – 2y  Q’(y) = -2y Q(y)=-y2
F(x,y) = x2 + xy –y2 = C ///
y
2
2
(2x+y)dx + (x-2y) dy = 0  PD Eksak
Penyelesaian :
F(x,y) =  ( 2 x  y ) dx  Q ( y ) F(x,y) = x2 + xy + Q(y)
.
3
 n( x, y )
4
4
3
3
 z 3
2 2
2 2
3
(4 x y  3 x y  3 x y  4 x y )
(  x y {2 y  2 x }
2
{x y  2 x y )  (2 x y  x y )
Persamaan Diferensial orde dua derajat satu
Bentuk Umum :
2
a
d y
dx
2
b
dy
 c. y  Q ( x )
dx
Cara menyelesaikan :
(1). Dicari penyelesaian karakteristik :
2
a
d y
dx
2
b
dy
 c. y  0
dx
dy
Gunakan simbul D = dx
Maka diperoleh : a D2 y + b D y + c y = o
( a D2 + bD + c ) y = 0 karena y ≠ 0 maka
( a D2 + bD + c ) = 0
Dicari akar-akar dari D ada 3 kemungkinan yaitu :
.i) D1 = D2 = α maka penyelesaian karakteristik y = C1 eα x + C2 x eα x
.ii) D1 =α D2 = β maka penyelesaian karakteristik y = C1 eα x + C2 e β x
.iii) D1,2= α + .i β maka penyelesaian karakteristik y = eα x (C1 cosβ x +C2 sin β x}
(2) Dicari penyelesaian partikuler :
d y
dy
2
a
dx
2
 b
 c. y  Q ( x )
dx
Dengan metode koefisien tak tentu dapat ditabelkan penyelesaian partikuler sebagai berikut :
Q(x)
Penyelesaian Partikuler
.x
========= y = Ax + B
.x2
========= y = A x2 + Bx + C
.x3 ========== .y = A x3 + B x2+ Cx + D
.ekx
========= y = A ekx
.sin kx Atau cos kx  .y = A cos kx + B sin kx.
=======================================
Penyelesaian umum = penyelesaian karakteristik + penyelesaian partikuler.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
2
d y
dx
2
5
dy
 6. y  3 x  1
2
dx
(1)Dicari penyelesaian karakteristik : d y  5 dy  6 . y  0
dy
dx
dx
Gunakan simbul D = dx
Maka diperoleh : D2 y + 5 D y + 6 y = o
( D2 + 5D + 6 ) y = 0 karena y ≠ 0 maka ( D2 + 5D + 6 ) = 0
D-3)(D-2)=0
•
D1 = 3 D2 = 2 maka penyelesaian karakteristik y = C1 e3 x + C2 e 2 x
2
2
(2) Dicari penyelesaian partikuler :
2
d y
dx
2
5
dy
dx
 6. y  3 x  1
2
Dengan metode koefisien tak tentu maka penyelesaian partikuler adalah:
.y = A x2 + Bx + C
dy
dx
2
 2 Ax  B
d y
dan
dx
 2A
2
2 A  5 ( 2 Ax  B )  6 .( Ax  Bx  C )  3 x  1
2
2
Kesamaan koefisien : x2  6A = 3  A= ½
.x  10 A + 6 B = 0  B =
Konstan 2A +5B + 6C = 1
1
25
 6 C  1 

C 
6
25
36
y  12 x  6 x  3625
maka penyelesaian partikuler :
2
5
Penyellesaian Umum : y = C1 e3 x + C2 e 2 x + 12 x  6 x 
2
2. ..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
2
(1)Dicari penyelesaian karakteristik :
dy
5
6
d y
dx
Gunakan simbul D = dx
Maka diperoleh : D2 y + 4 D y + 4 y = o
2
4
dy
dx
5
2
d y
dx
2
4
 4. y  0
dy
dx
25
36
///
 4 . y  3 sin 2 x
( D2 + 4D + 4 ) y = 0 karena y ≠ 0 maka ( D2 + 4D + 4 ) = 0
(D + 2)2=0
D1 = D2 = -2 maka penyelesaian karakteristik y= C1 e-2 x + C2 x e-2x
2
(2) Dicari penyelesaian partikuler : d y2  4 dy  4 . y  3 sin 2 x
dx
dx
Dengan metode koefisien tak tentu maka penyelesaian partikuler adalah:
.y = A cos 2x + B sin 2x
dy
dx
  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x
2
dan
d y
dx
2
  4 A cos 2 x  4 B sin 2 x
• 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x  4 (  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x )  4(A cos 2x + B sin 3x= 3 sin2x
Kesamaan koefisien : sin 2x  -4B -8A+4B=3 - 8 A = 3 maka A= .cos 2x -4A +4B+4B = 0  8B= 4A
3
3
2B = - 8  B = - 16
3
3
maka penyelesaian partikuler y = - 8 cos 2x - 16
Penyelesaian umum
3
3
y = C1 e-2 x + C2 x e-2x- 8 cos 2x - 16 sin 2x///
sin 2x
3
8
TUGAS:
y
y
y
( 3 x sin
 y cos ) dx  x cos
dy  0 .
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
x
x
x
y
)
x
2 2
2 y
2 2 y
dengan factor integral fungsi dari (
2 x y  xy e ) dx  x y e dy  0
2 Selesaikan persamaan diferensial berikut
1 :
xy
2
Dengan factor integral fungsi dari (
3 Selesaikan persamaan diferensial berikut :
2
d y
dx
4
2
dy
2
d y
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dx
2
2
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dx
2
dy
 4 . y  3e
5x
dx
2
d y
 9 . y  3 cos 2 x
dx
4
dy
dx
 y  3 x  sin 3 x
2