Transcript PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya.
Bentuk Umum :
F
(
x
,
y
,
dy dx
,
d
2
y dx
2 ,....,
d n dx n y
) 0 Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran 2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan 2 ilmu pengetahuan dan teknik.
Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.
Contoh : 1 .
x dy dx
y
2 4 0 2 .
d
2
y dx
2
y dy dx
y
sin
x
0 3 .
d
3
y dx
3 2
d
2
y dx
2 3
y
cos
x
4 .
y
d
3
y dx
3 3 2
d
2
y dx
2 2
yx
4
x
0 5 .
d
4
y dx
4 2
dy dx
3
y
y
2 cos
x
SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Untuk mencari solusi dari PD, harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu, artinya yang memuat persaman itu menjadi benar. Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut sehingga semua koefisien differensial hilang, yang ada hanya hubungan antara variabel x dan y saja, yaitu : F ( x , y ) = 0
Contoh :
d
2
y
4
dx
2 maka : y = 2x 2 atau 0 y = 2x 2 + x , atau y = 2x 2 –5x + 3 merupakan jawab dari PD diatas.
Terlihat bahwa PD diatas mempunyai jawaban tidak tunggal. Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis : y = 2x dimana c 1 2 + c 1 x + c 2 dan c 2 adalah konstanta ,
JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS
• Bentuk umum : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 • 1. PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0 Solusi umum PD :
f
(
x
)
dx
g
(
y
)
dy
c
, c adalah konstanta • contoh : (x+1) dx + (y 2 –3) dy = 0
1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f 1 (x) g 1 (y) dx + f 2 (x) g 2 (y) dy = 0 direduksi dengan mengalikan : ( PD diatas menjadi :
g
1
y
) 1
f
2 (
x
)
f
1 (
x
)
f
2 (
x
)
dx
g
2 (
y
)
dy
o g
1 (
y
) karena telah menjadi PD variabel terpisah, maka solusi PD diatas :
f f
1 ( (
x
)
x
)
dx
2
g
2
g
1 ( (
y
)
dy y
)
c
Contoh :
1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0 2. xy dx + (1 + x
2
) dy = 0 3.
dy dx
4
y xy
3
x
4. cos y dx + (1 + e
–x
) sin y dy = 0
Latihan : 1. (1 + e x )dy + (1 + e -y )dx = 0 2. xln x dy + (e y + e -y )dx = 0 3. tg x dy – ctg y dx = 0 4. 2(1 + x 2 )dy – (1 – y 2 )dx = 0 5. (1 + x 2 ) dy + (1 + y 2 ) dx = 0
3. PD Homogen
Suatu fungsi f(x,y) dikatakan homogen berderajat n , jika : f(λx, λy) = λ n f(x,y) PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 Dikatakan PD Homogen derajat n jika : M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama.
Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan transformasi : y = vx dan dy = v dx + x dv dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan v dengan variabel terpisah.
Contoh :
(
x
2
y
2 )
dx
xydy
0 subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh : (
x
2 (
vx
) 2 )
dx
x
(
vx
)(
vdx
xdv
) 0 (
x
2 2
x
2
v
2 )
dx
x
3
vdv
0
x
2 ( 1 2
v
2 )
dx
x
3
vdv
0 ......
PD
.
variabel terpisah dx x
vdv
( 1 2
v
2 ) 0 dx x
vdv
( 1 2
v
2 ) 0 ln
x
1 4 ln( 1 2
v
2 )
c
ln
x
1 4 ln( 1 2
y
2 )
x
2
c
2.
3. 4. (
x
3
y
3 )
dx
3
x
2
ydy
0
xydx
(
x
2
y
2 )
dy
0 (
x
2 2
y
2 )
dx
3
xydy
0
Latihan : 1. (x 2 + y 2 )dx – 2xydy = 0 2. y (x 2 + y 2 )dx – x{x + (x 2 + y 2 )}dy = 0 3. (x 3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0 4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 0 5. xdy – ydx (x 2 – y 2 )dx = 0
4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga : dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1) Rumus differensial :
dF
F x
dx
F y
dy
..........
..........
.........( 2) Maka dari (1) dan (2) diperoleh : F x M(x, y)........
..........
..........
..........
(3) F y N(x, y)........
..........
..........
..........
.(4)
Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak adalah :
M
y
N x Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4).
Dari persamaan (3) F x M(x, y) F(x, y) M(x, y) dx A(x, y) c(y) Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y c' F y (y)
A
y
c' (y) N(x, y) N(x, y) A y c(y) ( N(x, y) A y )
dy
c
Dari persamaan (4) F
y
N(x, y) F(x, y) N(x, y) dy B(x, y) c(x) Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x F
x
B
x
c' (x) M(x, y) c' (x) M(x, y) B x c(x) ( M(x, y)
B
x )
dx
c
Contoh :
1. (x 2 – y) dx – x dy = 0
M N
( (
x x
, ,
y y
) )
x x
2
y
.........
....
M y N x 1 1 F y N(x, y) F(x, y) N(x, y) dy xdy -xy c(x) Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x c' F
x
(x) x 2
y
c' (x) c(x) M(x, x 2 y) x
dx
1 3 2
x
3
y c
Jadi, F(x, y) xy 1 3 x 3 c
2. (x 2 + y 2 ) dx + 2xy dy = 0 3. (2x + e y ) dx + x e y dy = 0 4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0 6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0
5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD : I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0 merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut.
Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :
M
y
N
N
x
e
f
(
x
)
dx
2. Jika maka
M
y
N
x
g
(
y
)
e M
g
(
y
)
dy
suatu fungsi dari y saja adalah faktor integrasi dari PD tsb.
3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb.
xM
1
yN
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana f(x,y) ≠ g(x,y) , maka
xM
1
yN
adalah faktor integrasi dari PD tersebut.
Contoh:
1. (2y –x 3 ) dx + x dy = 0 2. 3x 2 y 2 dx + (4x 3 y – 12 ) dy = 0 3. (x 2 + y 2 + x) dx + xy dy = 0 4. (x 2 + 3y 2 ) dy – 2xy dx = 0 5. (xy + y 2 ) dx – x 2 dy = 0 6. (x 2 y 3 + 2y) dx + (2x - 2x 3 y 2 ) dy = 0
Latihan : 1. (x 2 – y) dx – xdy = 0 2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0 3. (1 + e 2 )dr + 2re 2 d = 0 4. (4x 3 y 3 5. {x (x 2 + x -1 )dx + (3x 4 y 2 + y 2 ) – y}dx + {y – y -1 (x )dy = 0 2 + y 2 )- x}dy = 0
6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA
dy
Bentuk umum :
dx
y
P(x) Q(x) Persamaan ini mempunyai faktor integrasi :
e
P
(
x
) dx Solusi umum dari PD ini adalah :
y e
P
(
x
) dx
Q
(
x
)
e
P
(
x
) dx
dx
c
Contoh :
1.
dy dx
y
2 e 2x P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e 2x Faktor Integrasi : I = maka solusinya :
ye x
Jadi ,
y
( 2
e
2
x
)
e x dx
2 1 3
e
2
x
ce
x
( 2
e x e
dx
e x
e
3
x
)
dx
2
e x
1 3
e
3
x
c
2.
dy dx
2
y x
x 2
e x
3.
dy dx
y
2 4x
7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
dy
Bentuk umum :
dx
yP
(
x
)
y n Q
(
x
) Dengan transformasi :
z
y
n
1 dan 1 y n
dy dx
1 1 n
dz dx
akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu :
dz dx
( 1
n
)
zP
(
x
) ( 1
n
)
Q
(
x
) yang mempunyai solusi umum :
z
.
e
( 1
n
)
P
(
x
)
dx
( 1
n
)
Q
(
x
) .
e
( 1
n
)
P
(
x
)
dx dx
c
Contoh :
1.
dy dx
y
y
2 ( 1
e
3
x
) 2.
dy dx
y
x y
2 (
x
2 3
x
) 3.
x dy
y dx
y
6 (
x
x
6 ) dx
dy dx
y
xy
2 ln
x
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI
Bentuk umum :
F
(
x
,
y
,
dy dx
,
dy dx
2 ,....,
dy dx
n
) 0 atau F(x,y,p 2 ,….,p n ) = 0 dimana p = dy/dx Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya 1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai : (p – F 1 ) (p – F 2 )….. (p – F n ) = 0 dimana F 1 , F 2 , …., F n adalah fgs x dan y
Langkah 2 menentukan solusi umum (1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu : (p – F 1 ) (p – F 2 )….. (p – F n ) = 0….(*) dimana F 1 , F 2 , …., F n adalah fgs x dan y (2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu : (p – F (p – F 1 2 ) ) dy dx dy dx
F
1 (
x
,
y
)
F
2 (
x
,
y
) 0 f 1 (
x
,
y
,
c
) 0 f 2 (
x
,
y
,
c
) 0 0 …………………………………………………………………..
(p – F 1 ) dy dx
F n
(
x
,
y
) 0
f n
(
x
,
y
,
c
) 0
(3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu tersebut, yaitu : f 1 (x,y,c) . f 2 (x,y,c) …… f n (x,y,c) . = 0
2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum (1). Differensialkan x terhadap p, yaitu :
dx dp
(2).Karena
f
' (
p
) dx f ' (
p
)
dp p
dy dx
maka
dx
1
p
dy shg : 1
p
dy f ' (p) dp dy p f 1 (p) dp y p f ' (p) dp c (3).Solusi umum dari PD telah diperoleh x = f(p) p adalah parameter y =
pf
' (
p
)
dp
c
3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p) Langkah 2 menentukan solusi umum : (1). Differensialkan y terhadap p, yaitu :
dy
f
' (
p
) dy f ' (
p
)
dp dp
p dx f '
dy dx
(p) dp dx 1 p f 1
p
dx (p) dp x 1 p f ' (p) dp c (3). Solusi umum dari PD telah diperoleh y = f(p) p adalah parameter x = 1
p f
' (
p
)
dp
c
contoh : 1. x 2 p 2 + xy p – 6y 2 2. 7p 3 + 3p 2 = x = 0 3. p 3 + 5p 2 + 7p = y 4. x 4 p 4 - 5x 2 y 2 + 4y 4 = 0