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Symmetry
二十世紀最偉大的物理概念
the discovery of the neutron in 1932
p
n
n
中子與質子幾乎等重！
質量差只有 10−3
物理學家相信自然是沒有巧合的，巧合必定有深意。
許多原子核的性質非常接近
7
3
Li  74 Be
11
5
B116C
差別只是交換了質子與中子。
同時散射實驗顯示 p-p, p-n, n-n之間的核力完全相等！
假想我們將電磁及弱力關掉，然後將所有的質子與中子互換，
p-n 互換
p
n
質子與中子質量幾乎相等！
此時宇宙中唯一的交互作用是強交互作用，兩者交互作用也相同。
在 p-n 互換之後，整個自然世界將運作如常，並沒有變化！
透過物理實驗，你無法辨別互換是否已經發生！
色盲將無法分辨青椒與紅黃椒，將其中兩者互換，他將不會發覺
關閉對顏色的感知，你才會發現它們在形狀上的相似！
電磁及弱力關掉，在 p-n 互換之後，整個自然世界將運作如常，並沒有變化！
這個現象稱為 p-n 互換不變性。
這樣的不變性是一個近似不變性，或部分不變性，只有核力遵守！
不變性的對稱是物理世界美的代表！
這個世界是部分美麗的！
實用主義者！
p,n 的差別在其中一個 u夸克換成了 d夸克
p
n
𝑑
𝑑
𝑢
p-n 互換不變性其實是 u-d 互換不變性
在 u-d 互換之後，宇宙將運作如常，並沒有變化！
𝑢
u-d 互換不變性
𝑑
u 與 d 的分別是人造的，所以可以互換而不影響物理結果！
這樣的變換只有兩個，互換一次後，再互換即回到原狀。
Z2
推廣這個不變性， 假設 u-d 互換時，所有的雙重態也會一起上下互換！
在所有雙重態一起上下互換之後，宇宙將運作如常，並沒有變化！
u-d 互換不變性
雙重態互換不變性
在物理中，不變性是一種對稱性。
日常生活中，對稱的意義是一種平衡或稱為 "patterned self-similarity"
左右對稱
更複雜的對稱
什麼是對稱 Symmetry？
假如我們對一個物體作某個操作（變換），
在操作之後它看起來和操作前一樣，此物體就是這個變換下是對稱的！
左
右
將三角形的左右交換後，它的形狀與之前一模一樣。
Mirror Symmetry 鏡射對稱
左
右
此建築在鏡子的反射變換後，左右互換後，形狀不變！
看此建築，你無法分辨你是在鏡中還是在真實的世界。
風車，在旋轉一個直角的變換下是對稱的。
雪花則是旋轉60°角的變換下是對稱。
一個物體在變換之後，和變換前看來一樣，就是在此變換下對稱！
這跟物理有甚麼關係？
在物理中，對稱性一樣是變換前後的不變性。
物理的條件很多時候是對稱的！
意思是物理的條件在某一個變換之後與之前不變。
l
l
45°
45°
左右兩的鐵環質量一樣，左右鐵棒一樣，彈簧整體是均勻的。
l
l
45°
鏡射變換：可以想像成在鏡中觀察同一個現象。
在鏡中所看到的裝置在物理上與原來是無法分別的。
45°
如此，我們一般預期系統的運動軌跡在此變換之後與之前不變
l
45°
我們可以確定：左右鐵環在運動過程中會一直等高。（否則變換前後會不同）。
物理的條件在變換之後與變換之前一樣。
可以得到：系統的運動在轉換之後與之前不變。
l
45°
此一論證有一個漏洞。
但系統的運動是由物理定律決定的。
物理定律在轉換前後是不變的嗎？
物理定律的變換
l
l
F’
F
a


F  ma
a’
45°
45°
Fx   Fx
Fy  Fy
a x   ax
a y  ay
Fx  max
Fy  ma y


F '  ma '
 Fx   max
鏡射變換
物理定律在鏡射變換前後是不變的。
Fx  max
Fy  may
物理的條件在變換之後與之前一樣
物理定律在變換前後不變。
因此可以確定論證：系統的運動在變換之後與之前不變。
l
45°
l
45°
以下的想像中的物理定律在鏡射變換下就不是不變的！
l
l
F
F’
a
a’
45°
45°

 ˆ
F  ma  ki

 ˆ
F '  ma 'ki
固定的常數 k
Fx   Fx
Fy  Fy
a x   ax
a y  ay
Fx  ma x  k
Fy  ma y
 Fx   max  k Fx  max  k
鏡射變換
藉由實驗可以分辨你是在真實或是鏡中的世界。
Fy  may
這樣的項可以來自一個流動的介質，例如向右吹的風
向右吹的風破壞了鏡射對稱。
流動的風
l
l
F
F’
a
a’
45°
45°

 ˆ
F  ma  ki

 ˆ
F '  ma 'ki
鏡射對稱被破壞的物理定律下，即使條件符合對稱，其運動並沒有鏡射對稱。
流動介質
流動介質
l
45°
物理的條件在變換之後與之前一樣
物理定律在變換前後不變。
可以論證得到：系統的運動在變換之後與之前不變。
l
45°
l
45°
我們就稱此物理系統有對稱性！
在所有雙重態一起上下互換之後，宇宙將運作如常，並沒有變化！
物理條件不變：雙重態上下粒子性質（質量）相同。
物理定律不變：雙重態上下粒子的（強）交互作用滿足一樣的規則。
雙重態互換不變性：互換對稱性。
𝑢
𝑑
這個互換變換，需要定義得更精確一些：
想像一個變換後的世界：將其中變換之後的夸克，稱為𝑢′ , 𝑑′。
𝑢′ 其實是原來的夸克𝑑，而𝑑′其實是𝑢。
因此這兩個新命名的夸克𝑢′ , 𝑑′，與原來的夸克𝑢, 𝑑之間，
有一個很簡單的交換關係：
𝑢
𝑢′
=
𝑑
𝑑
𝑑′
=
𝑢
顏色不變
如果𝑢, 𝑑的差別只是命名上的方便而不是有實質的差異，
𝑢′ , 𝑑′的性質與滿足的物理定律，和𝑢, 𝑑一樣。
變換後的世界與變換前的世界將無法分辨！
變換後的世界並不是一個實質存在的世界。
它是一個想像的世界。
就像日常生活的對稱變換，是讓我們釐清一個物體的形狀的內在性質。
物理的想像的對稱變換，是讓我們釐清物理定律的內在數學結構與性質。
𝑢′
𝑢′
=
𝑑′
𝑑
𝑑
𝑢
變換後的世界由𝑢′ , 𝑑′也組成了質子，
𝑢
𝑢′
=
𝑑
𝑑′
𝑑′
=
𝑢
但 𝑢′ 其實是 𝑑，𝑑 ′ 其實是𝑢 ，變換後世界的質子對應變換前的中子。
中子的性質與滿足的物理定律，尤其是強交互作用，和質子一樣。
變換後的世界與變換前無法分辨！
這個情況與向量分析非常類似：

a  axiˆ  a y ˆj  (ax , a y )
分量法
可是，自然界並沒有所謂 x 軸及 y 軸
𝑥, 𝑦 的差別只是命名而不是實質的，
所以，物理的結果應該與座標軸的選取無關！
既然座標軸的選取是任意的
我可以將兩者互換而不影響！
 x, y    x ' , y '   y , x 
𝑢′
=
𝑑
𝑑′
=
𝑢
令人驚訝的是，在量子力學下互換變換的可能性卻變得更多！
因為量子力學容許量子狀態的疊加，如同兩個波的疊加一般！
因此可以想像𝑢夸克與𝑑夸克分別換成 𝑢夸克與𝑑夸克的疊加狀態！
這兩個疊加態，必須如變換之前一樣，是彼此垂直。
𝑢
𝑢′
=
𝑑
𝑢
𝑢′
=
𝑎∙
𝑢
+ 𝑏∙
𝑑
𝑑
𝑑′
=
𝑢
𝑑′
𝑑′
=
𝑐∙
𝑢
+ 𝑑∙
𝑑
古典
量子
量子力學推廣的 u-d 互換不變性
這與向量的座標軸變換非常類似！
座標軸的選取是任意的
我可以將座標軸旋轉 θ 角，得到一組新的座標軸
在新座標軸量到的座標值與舊的座標值有一定的關係：
 x
 
 y
 x' 
 
 y' 
x'  xcos  ysin  ,
y'  xsin   ycos
 x
 
 y
 x' 
 
 y' 
x'  xcos  ysin  ,
y'  xsin   ycos
這個變換稱為座標軸旋轉變換，或就簡稱旋轉變換。
此旋轉變換有連續分布的無限多個，由一個連續變數 𝜃 標定。
物理的結果應該與座標軸的選取無關！
這與量子力學推廣的雙重態互換不變性非常類似！
𝑢
𝑢′
=
𝑎∙
𝑢
+ 𝑏∙
𝑑
𝑑′
𝑑′
=
𝑐∙
𝑢
+ 𝑑∙
𝑑
意思是你可以重新選擇兩個 u 與 d 的線性疊加來作為新的 u 與 d。
物理的定律與結果應該跟你的選擇無關。
𝑢
𝑢′
=
𝑎∙
𝑢
+ 𝑏∙
𝑑
𝑑′
𝑑′
=
𝑐∙
𝑢
+ 𝑑∙
𝑑
這樣的變換也是有連續分布的無限多個。
只要滿足適當條件的四個複數 a,b,c,d 就給出一個變換！
u 
以矩陣來描寫這些變換更加方便！將𝑢夸克與𝑑夸克寫成列： 
d 
a  b 1
a b 
 適當條件： 2
2
U  
c  d 1
c d 
ac*  bd *  0
2
 u   u' 
u 
      U  
 d   d '
d 
*
a
b

a


   *
UU   
c d  b
u-d 互換現在有無限多個可能的變換，
2
c* 
 1
*
d 
 u   u' 
u
      U  
 d   d '
d 
a b 

U  
c d 
U U  1
detU  1
滿足條件的2 × 2矩陣就給出一個變換！
2 × 2矩陣的四個複數 a,b,c,d 滿足五個條件。
因此變換由三個連續實數來標訂
這些連續分布的矩陣的集合組成一個群，稱為 SU(2)！
Isospin SU(2)
連續分布的群稱為李群：Lie groups.
由矩陣的性質，我們可以重新以一個2 × 2矩陣𝐴的指數函數來表示所有的𝑈 矩陣。
𝑈=
𝑒 −𝑖𝐴
1
= 1 − 𝑖𝐴 + −𝑖𝐴
2
2
1
+
−𝑖𝐴
3!
3
+⋯
𝑈 = 𝑒 −𝑖𝐴
但𝐴矩陣必須符合某些條件以使𝑈矩陣滿足它的條件。
𝑈 矩陣是 unitary 𝑈 † = 𝑈 −1，那麼 𝐴 矩陣必須是Hermitian：𝐴† = 𝐴
det𝑈 = 1，那麼 𝐴 矩陣必須是Traceless：tr𝐴 = 0
𝐴=
𝑎re
𝑏re + 𝑖𝑏im
→
𝑐re + 𝑖𝑐im
𝑑re + 𝑖𝑑im
𝑎re + 𝑖𝑎im
𝑐re + 𝑖𝑐im
1
𝑐re − 𝑖𝑐im
𝜃3
→
𝑑re
2 𝜃1 + 𝑖𝜃2
𝜃1 − 𝑖𝜃2
−𝜃3
可見 Hermitian and Traceless 的2 × 2矩陣有三個線性獨立的分量：
𝜎1
𝜎2
𝜎3
𝐴 = ∙ 𝜃1 + ∙ 𝜃2 + ∙ 𝜃3
2
2
2
0
𝜎1 =
1
1
0
𝑈 = 𝑒 −𝑖𝐴 =
𝜎2 =
0 −𝑖
𝑖 0
𝜎
𝜎
𝜎
−𝑖 21 ∙𝜃1 + 22 ∙𝜃2 + 23 ∙𝜃3
𝑒
𝜎1,2,3
2
𝜎3 =
就稱為Isospin SU(2) 的 generators
1 0
0 −1
3
= exp −𝑖
𝑖=1
𝜎𝑖
∙𝜃
2 𝑖
𝑈 矩陣如同旋轉一般可以以三個角度𝜃1,2,3 來標定
0
𝜎1 =
1
1
0
𝜎2 =
0 −𝑖
𝑖 0
𝜎3 =
1 0
0 −1
這三個 generators 彼此的對易關係：
0 1
𝜎1 , 𝜎2 =
∙
1 0
𝑖 0
−𝑖
=
−
0 −𝑖
0
0 −𝑖
0 −𝑖
0 1
−
∙
𝑖 0
𝑖 0
1 0
0
1 0
= 2𝑖
= 2𝑖 𝜎3
𝑖
0 −1
1 1
1
𝜎 , 𝜎 = 𝑖 𝜎3
2 1 2 2
2
這三個 generators 彼此的對易關係正是三個方向的角動量的對易關係。
𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 = 𝑖 𝐿𝑧
這個相似度不只是如此，如果直接看自旋為1/2的粒子狀態：
𝑐1
𝑐1 ↑ + 𝑐2 ↓ = 𝑐
狀態
2
在此二維向量空間上，角動量可以表示為：
1 0
𝐿𝑥 =
2 1
1
0
1 0 −𝑖
𝐿𝑦 =
2 𝑖 0
1 1 0
𝐿𝑧 =
2 0 −1
在量子力學中，旋轉算子就是角動量線性組合的指數函數：
3
𝑅 = 𝑒 −𝑖
𝐿𝑥 ∙𝜃1 +𝐿𝑦 ∙𝜃2 +𝐿𝑧 ∙𝜃3
= exp −𝑖
𝐿𝑖 ∙ 𝜃𝑖
𝑖=1
自旋1/2的電子態的三個角動量與 Isospin SU(2)的三個generator一模一樣。
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於自旋1/2 的電子態的3D 旋轉。
𝑈↔𝑅
u,d 的雙重態在數學上就對應自旋向上與向下的雙重態！
 u  
    
 d  
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於自旋1/2 的電子態的3D 旋轉。
（但並不是真的旋轉）。
u,d 的雙重態在數學上就對應自旋向上與向下的雙重態！
 u  
    
 d  
強交互作用在對應的 Isospin “旋轉” 變換下是不變的！
3
𝑈 = exp −𝑖
𝑖=1
𝜎𝑖
∙𝜃
2 𝑖
 u   u' 
u
      U  
 d   d '
d 
SU(2)的結構與三度空間旋轉群一模一樣！
要了解 Isospin SU(2) 就研究 3D 旋轉即可！
S𝑈(2)~𝑂(3)
旋轉變換是老朋友了！
F
F’
a’
將一個物理系統作旋轉！
所有可能的旋轉的集合稱為旋轉變換群。
以上的旋轉變換與坐標軸的變換是等價的。
將座標軸旋轉 θ 角，即可得到一組新的座標軸
當觀察者所選觀察座標發生變化
觀察得到的物理量就會發生變化
( x, y )
( x' , y ' )
被動變換
主動變換
座標軸旋轉後，描述一個向量的分量就會取一組新的值，
新分量與舊分量的關係適用於任一向量，因此如同所有向量作一致的變換。
x'  xcos  ysin  ,
y'  xsin   ycos
被動變換與主動變換是等價的
座標軸旋轉
F
F’
a’
旋轉變換
被動座標軸旋轉（轉座標軸）與將整個系統做反向旋轉（座標軸不變）效果是等價的！
F
F’
a’
物理的定律應該與座標軸的選取無關！
旋轉變換前後的物理定律必須一樣！ 因此無法以物理方法分辨旋轉變換前後。


F  ma


F '  ma'
變換後，力向量與加速度向量都改變了，但兩者相等的定律不變！
觀察量可能隨著旋轉的變換而改變，但連接這些物理量的物理定律是不變的。
在牛頓力學中，如何保證旋轉變換後，物理定律可以不變？


F  ma


? ma'
F' 
注意等式兩邊都是向量。此定律可以寫成分量等式：
Fx  max Fy  ma y
Fx '  max ' Fy '  ma y '
所有的向量分量在座標軸旋轉下滿足一樣的變換式：
Fx '  Fx cos  Fy sin  ax '  ax cos  a y sin 
Fy '  Fxsin   Fy cos a y '  axsin   a y cos
Fx  max
注意分量等式的左右滿足同樣的轉換關係
Fx '  Fx cos  Fy sin 


F  ma
a x '  a x cos  a y sin 


F '  ma'
如果等式兩邊都是向量，就保證公式不隨座標軸變換而改變！
F
F’
a’


F  ma


F '  ma'
如果物理定律等式兩邊都同時是向量（或純量、張量），保證公式在旋轉變換下不變
牛頓力學的物理定律是旋轉對稱。
如果物理條件（位能，質量分布等）也是旋轉對稱，這個系統整體就有旋轉對稱性。
物理定律的不變，來自於自然界的無法觀測量 unobservable！
F
F’
a’

 ˆ
F  ma  ki
流動介質
旋轉變換的不變，即是因為宇宙沒有一個絕對的 x 軸及 y 軸
如果宇宙充滿一個流動的介質，那麼不同軸的選擇就有不同的結果！
旋轉的不變性就會被借質的流速所破壞！
用物理定律或運動方程式的不變來討論對稱實在不方便
運動方程式是由 Lagrange 導出
如果變換後的 𝐿′ 與原來的 𝐿 相等，𝐿 → 𝐿′ = 𝐿，例如:
𝑝2 𝑐
𝐿=
+
2𝑀 𝑟
𝐿 所得出的運動方程式與 𝐿′ 所得出的運動方程式是相同的！
𝐿 的不變性對 𝐿 有很強的限制。
𝐿 在旋轉變換下的不變性，要求位能只能是純量的函數。
例如以下的位能就不允許： V(r ) = cx
這樣的位能會破壞旋轉對稱。
與其討論物理定律的不變性，不如直接討論𝐿的不變性更加方便。
以Lagrange來看， 𝐿 如同具體物件的對稱般，的確在對稱變換下是不變！
Symmetry
如果物理遵守旋轉對稱性：
出現在物理定律中的物理量必須能分類為純量、向量、或張量。
在旋轉變換下，這些物理量遵守各自的變換規則：
例如若是向量：一個旋轉變換，就對應一個3 × 3矩陣，適用於任一向量
3
𝑉𝑗 → 𝑉
𝑗′
𝑀 𝑗𝑖 ∙ 𝑉 𝑖
=
𝑖=1
𝑥
𝑥′
cos 𝜃
𝑦 → 𝑦′ = sin 𝜃
𝑧
0
𝑧′
− sin 𝜃
cos 𝜃
0
𝑥
0
0 ∙ 𝑦
𝑧
1
張量則較複雜。但亦類似。
所以每一種物理量，就是對旋轉變換的一個代表或表現 representation!
定理：一個連續的變換群的變換，在它的 representation空間可以寫成矩陣。
而變換所對應的矩陣可以寫成 generator 矩陣的指數函數：
𝑁
𝑀 𝜃𝑖 = exp −𝑖
𝑋𝑖 ∙ 𝜃𝑖
𝑖=1
generator 矩陣的對易子會是generator 矩陣的線性疊加：
𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 =
𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑋𝑘
𝑘
整個連續的變換群就由其generators，以及其對易關係決定！
以3D旋轉為例，其generators 就是三個角動量：
3
𝑀 𝜃1,2,3 = exp −𝑖
𝐿𝑖 ∙ 𝜃𝑖
𝑖=1
𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 = 𝑖𝐿𝑥
角動量對易關係
物理定律的對稱性有甚麼具體結果？
一個連續變換群的變換，所對應的矩陣可以寫成 generator 矩陣的指數函數
𝑁
𝑀 𝜃𝑖 = exp −𝑖
𝑋𝑖 ∙ 𝜃𝑖
𝑖=1
在古典物理中，由物理的對稱性可得，每一個 generator 就對應一守恆量！
Translation invariance
Momentum Conservation
Rotation invariance
Angular Momentum Conservation
量子力學：一個連續變換對狀態的作用可以以一個算子來描述：
𝑁
𝐺 𝜃𝑖 = exp −𝑖
𝑋𝑖 ∙ 𝜃𝑖
𝑖=1
變換算子可以寫成 generator 算子的指數函數
例如旋轉變換算子可以寫成角動量算子的指數函數。
在量子力學，對稱性隱含，𝐻會與該守恆量(𝑋)具有共同本徵態
𝐻, 𝑋 = 0
𝐻會與該守恆量(𝑋)對易commute
𝐻的本徵態，也就是L2 、Lz的本徵態 𝑙, 𝑚
旋轉變換算子可以寫成 generator 角動量算子的指數函數
因此所有旋轉算子在此空間中的作用已完全被決定！
L2 、Lz的本徵態 𝑙, 𝑚 所展開的空間就是一個旋轉變換群的 Representation。
所有的能量本徵態都可以對稱群 SU(2) 的 Representation來分類！
æ 1 ö
ç
÷
ç 2 ÷
ç 1 ÷
ç - ÷
è 2 ø
1
𝑙=
2
3
𝑀 = exp −𝑖
𝜎𝑖 ∙ 𝜃𝑖
𝑖=1
Doublet 2
角動量的本徵態為基底所展開的一個個空間，稱為3D旋轉的 Representation.
𝑙=0
Singlet
æ 1 ö
ç
÷
ç 2 ÷
ç 1 ÷
ç - ÷
è 2 ø
1
𝑙=
2
Doublet 2
æ 1 ö
ç
÷
ç 0 ÷
ç -1 ÷
è
ø
𝑙=1
Triplet 3
3
𝑙=
2
Quartet 4
0
æ
ç
ç
ç
ç
è
3/2
1/ 2
-1 / 2
-3 / 2
ö
÷
÷
÷
÷
ø
SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於3D 旋轉。
因此3D旋轉的Representation就是 SU(2)的Representation！
𝑙=0
0
æ 1 ö
ç
÷
ç 2 ÷
ç 1 ÷
ç - ÷
è 2 ø
𝑙=
æ 1 ö
ç
÷
0
ç
÷
ç -1 ÷
è
ø
𝑙=1
æ
ç
ç
ç
ç
è
3/2
1/ 2
-1 / 2
-3 / 2
ö
÷
÷
÷
÷
ø
𝑙=
1
2
3
2
Singlet
Doublet 2
Triplet 3
Quartet 4
在旋轉變換中，一個Representation中的狀態會”轉”（變換）到其他狀態。
如果物理在旋轉變換下是不變的，一個Representation中的所有狀態性質相同。
狀態會”轉”（變換）到其他狀態，但在旋轉中，𝐿2 是不變的，
一個Representation中的狀態不會被”轉”到其他 𝑙 不同的Representation中。
因此一個特定𝑙的 Representation 在對稱變換下是封閉的 closed！
如果量子物理系統有一個連續對稱性：
所有的能量本徵態都可以對稱的 Representation來分類！
一個 Representation 在對稱變換下是封閉的 closed！
如果物理在旋轉變換下是不變的，一個Representation中的所有狀態性質相同。
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就是 3D 旋轉（但並不是真的旋轉）。
u,d 的雙重態在數學上就對應自旋向上與向下的雙重態！
 u  
    
 d  
強交互作用在對應的 Isospin “旋轉” 變換下是不變的！
所有的基本粒子（能量本徵態）都落在的 SU(2) 的 Representations
這些Representations就是Isospin SU(2)”角動量”的本徵態組合。
一個Representation中的所有基本粒子性質（質量）相等。
夸克與輕子是雙重態 Doublet
所有雙重態 Doublet 都以相同方式變換
u 
u
   U   
d 
d 
c
c
   U   
s
s
3
𝑈 = exp −𝑖
𝑖=1
 e 
 e 
   U   
e
e
𝜎𝑖
∙𝜃
2 𝑖
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於自旋1/2 的電子態的3D 旋轉。
u-d 互換後，很多東西也要跟著換！
就像旋轉變換下的張量！
u
d
u
d
u-d 互換後，W+-W-也要跟著換！
W+
W
W-
𝑢
𝑢′
=
𝑎∙
𝑢
+ 𝑏∙
𝑑
𝑑′
𝑑′
=
𝑐∙
𝑢
+ 𝑑∙
𝑑
au  bd
d
cu  bd
W-
u
W-
+
u
W
W+
u
+
除了𝑊 ± ，還需要一個中性的 𝑊 3
W

W3 W

顯然是一個 triplet
W3
W 3
W
𝑊+
𝑊3
𝑊 − 是一個 triplet
W  
W  
 3
 3
W   V  W 
W  
W  




V是 3×3 的矩陣，與U 連鎖
所有 Triplet 都以相同方式互換的三人組
SU(2) 的 Representations 中只有一個是 3維！
我們已早有一個3維的 representation了呀！3D 向量： 𝑉𝑥
𝑉𝑦
兩個 Triplet 必須是同一個空間
可知 𝑊 +
𝑊±
=
𝑊3
𝑊 − 是 𝑉𝑥
𝑊 1 ∓ 𝑖𝑊 2
2
𝑉𝑦
𝑊1
𝑉𝑧 的線性組合
𝑊2
𝑊 3 ~ 𝑉𝑥
𝑉𝑦
𝑉𝑧
𝑉𝑧
SU(2) 的 特定維度的Representations 只有一個！
s s
Singlet
u 
u
   U   
d 
d 
W  
W  
 3
 3
W   V  W 
W  
W  




Doublet 2
  
  
 0
 0
   V   
  
  
 
 
   
   
 
 
 
 
 0   Y  0 
 
 
  
  




Triplet 3
Quartet 4
而單單靠維數就決定了它屬於哪一個Representation
如同3D旋轉的向量，無論其具體物理意義，同一個Representation以同一方式變換。
在同一個 Representation中的粒子，因 SU(2)不變性，變換後不改變自然
因此性質（質量及強作用力）必須相同！
所有𝜋的質量很接近！
不只單一基本粒子可以以 representation來分類
幾乎所有的物理，例如基本粒子的組合，也可以以 representation來分類
例如 triplet 𝜋’s 與 doublet
𝑝
的組合：
𝑛
這類似，在量子力學課程中，角動量的相加。
這個寫法可以用來研究𝜋’s 與核子的散射！
在 𝜋 ’s 與核子的散射反應中，iso角動量是不變的。
而且相同的總 𝑙 的所有散射反應率都相等
3
2
3
3 3
3 1
3 1
→
~
→
~ ⋯ ≡ ℳ3
2
2 2
2 2
2 2
1
2
1
1 1
1
1
1
1
→
~
→
−
− ~ ⋯ ≡ ℳ1
2
2 2
2
2
2
2
以上的討論很容易即可推廣到多個物件
Ｎ個相似物件或狀態，在量子力學下的變換，而不會影響自然定律
2
1
3

N
1
1’
2
2’

古典
i , i  1 N
變換前的 N 個狀態或物件
N’
N
i' , i  1 N 變換後的狀態是原來狀態的線性組合
量子
There is a unitary operator U connecting the two bases
i  i'  U i
SU(N)
U U  1 detU  1
所有與它們相關的物理態都必須可以分類為 SU(N) 的 Representation
在同一個 Representation中的粒子（或物理量），變換後不改變自然
因此性質（質量及強作用力）必須相等（物理量必須相等）
對稱還可以幫助我們發現宇宙深藏的秘密。
質量類似的重子與介子的分類圖。
重子與介子是 SU(3) 的 representation! (8) Octet
所有的基本粒子（能量本徵態）都必須落在對稱群的 Representations
一個Representation中的所有基本粒子性質（質量）相等。
由此可以推論中子與介子的物理遵守 SU(3) 不變性。
72
強作用力的 SU(3)不變性
3 個相似物件 u,d,s，在量子力學下的變換，而不會影響自然定律
合理推論（但不是確證）這三個相似物體就是重子及介子的組成成分！
重子與介子由強力性質相同 u,d,s 組成，因此遵守 u-d-s 互換不變性，即 SU(3)，
因此它們必須是SU(3) 的 Representation!
73
SU(3)不變性的根源：
強交互作用的基本元件：夸克與膠子的交點。
膠子是味盲Flavor Blind
同樣的 Feynman 圖適用於所有風味的夸克
同樣的 Feynman rule- g 耦合常數適用於所有風味的夸克
關掉電弱作用並忽略夸克質量後，所有夸克彼此將沒有分別。
但嚴格來講，質量無法忽略，
t,b,c夸克實在比u,d,s重很多，因此只有u,d,s三個夸克的互換不變性比較有用！
強交互作用遵守 SU(3)不變性
Isospin SU(2) 就是 SU(3) 的一個子集。但它在電弱作用中扮演重要角色。
75
Isospin SU(2) Symmetry 對稱
 u' 
u
   U   
 d '
d 
 c' 
c
   U   
 s' 
s
 'e 
 e 
   U   
 e' 
e
在 Isospin SU(2)變換之後，強交互作用的 𝐿 不變！
a b 

U  
c d 
U U  1