Transcript UNIDAD No. 1

Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
ECUACIONES EXACTAS
Diferencial total

Dada la función z=f(x,y), se dice que la
f
f
expresión:
dz 
x
dx 
es su diferencial total.
y
dy
Ejemplo

Si z=4x2y-2xy3+3x
Entonces:
dz = (8xy-2y3+3)dx + (4x2-6xy2)dy
Es el diferencial total de la función z.
Ecuación diferencial exacta

La igualdad: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es una
ecuación diferencial exacta si y sólo si el
primer miembro de la igualdad es una
diferencial total.
Solución de una ED exacta

Encontrar la solución de una ecuación
diferencial exacta es obtener una función
f(x,y) tal que su diferencial total sea
exactamente la ecuación diferencial dada.
Solución de una ED exacta...

Usando la notación de la diferenciación
parcial, tenemos: M   f , N   f
x
y
Si volvemos a derivar estas ecuaciones,
pero ahora con respecto a la otra variable:
M
y
 f
2

yx
,
N
x
 f
2

xy
Si las derivadas parciales son continuas:
 f
2
yx
 f
M
2

xy
lo que significa que:
y

N
x
.
Teorema

La condición necesaria y suficiente para
que la ecuación diferencial
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 sea exacta es que:
M
y

N
x
.
Método de solución
1.
2.
Dada una ecuación diferencial, vemos si
es exacta.
Aplicamos la definición:
f x  M ( x, y )
3.
o
f y  N ( x, y )
Integramos con respecto a x o con
respecto a y:
f 
 M ( x , y ) dx
o
f 
 N ( x , y ) dy
Método de solución…
4.
Al resultado lo derivamos con respecto a y
o con respecto a x:
fy 
5.
6.

M ( x , y ) dx

y
o
fx 

N ( x , y ) dy

x
Igualamos de nuevo el resultado a N(x,y)
o a M(x,y).
Integramos por última vez esta ecuación.
Solución de ED exactas

Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
1.
( 2 x  5 y ) dx  (  5 x  3 y ) dy  0
2.
( 2 y  2 xy  4 x  6 ) dx  ( 2 x  3 x y  1) dy  0
3.
4.
2
3
2
2
( 2 x  6 x y ) dx  ( 3 x  2 xy ) dy  0
2
dy
dx
3
xy  CosxSenx
2

y (1  x )
2
con
y(0)  2
con
y (  1)  0
Factores integrantes

A veces, para una ecuación diferencial no
exacta M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es posible
encontrar un factor integrante m(x,y) de
modo que:
m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0
sea una diferencial exacta.
Factores integrantes…
En un intento por encontrar m, regresamos
al criterio de exactitud.
La ecuación:
m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0
es exacta si y sólo si: (mM)y=(mN)x.
 Por la regla para la derivada del producto,
tenemos que:
mMy+myM = mNx+mxN
pero también:
mxN-myM=(My-Nx)m

Factores integrantes…
En la ecuación mxN-myM=(My-Nx)m
M, N, My y Nx son funciones conocidas de x
y y, la dificultad para determinar la incógnita
m(x,y) es que se debe resolver una
ecuación diferencial parcial.
 Como no estamos preparados para ello, se
hace una suposición “simplificadora”.
 Suponga que m es una función de una
variable.

Factores integrantes…

Suponga, por ejemplo, que m depende sólo de x.
dm
y my  0
En este caso: m x 
dx
Así:
mxN-myM=(My-Nx)m se puede escribir como
dm
dx

M
y
 Nx
m
N
Estamos en una situación sin solución si el
cociente (My-Nx)/N depende de x y y. Sin embargo
si después de simplificar, el cociente depende
sólo de x, entonces la ecuación d m M y  N x

m
es una ED ordinaria
dx
N
de primer orden.
Factores integrantes…

M
y
Nx
dx
.
Esto nos conduce a que: m ( x )  e
 De manera análoga, se deduce que si m
depende sólo de la variable y, entonces:

dm

Nx  M
dy
y
N
m
M
En este caso, si el cociente (Nx-My)/M
depende solamente de y, entonces la
ecuación se puede resolver para m y en
N M
este caso:
dy

x
m( y)  e
y
M
.
Problemas

Resuelva la ecuación diferencial mediante
la determinación de un factor integrante
adecuado.
1.
2.
3.
( 2 y  3 x ) dx  2 xydy  0
2
y ( x  y  1) dx  ( x  2 y ) dy  0
Cosxdx  (1 
2
y
) Senxdy  0