UNIDAD No. 1
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Transcript UNIDAD No. 1
Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
ECUACIONES EXACTAS
Diferencial total
Dada la función z=f(x,y), se dice que la
f
f
expresión:
dz
x
dx
es su diferencial total.
y
dy
Ejemplo
Si z=4x2y-2xy3+3x
Entonces:
dz = (8xy-2y3+3)dx + (4x2-6xy2)dy
Es el diferencial total de la función z.
Ecuación diferencial exacta
La igualdad: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es una
ecuación diferencial exacta si y sólo si el
primer miembro de la igualdad es una
diferencial total.
Solución de una ED exacta
Encontrar la solución de una ecuación
diferencial exacta es obtener una función
f(x,y) tal que su diferencial total sea
exactamente la ecuación diferencial dada.
Solución de una ED exacta...
Usando la notación de la diferenciación
parcial, tenemos: M f , N f
x
y
Si volvemos a derivar estas ecuaciones,
pero ahora con respecto a la otra variable:
M
y
f
2
yx
,
N
x
f
2
xy
Si las derivadas parciales son continuas:
f
2
yx
f
M
2
xy
lo que significa que:
y
N
x
.
Teorema
La condición necesaria y suficiente para
que la ecuación diferencial
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 sea exacta es que:
M
y
N
x
.
Método de solución
1.
2.
Dada una ecuación diferencial, vemos si
es exacta.
Aplicamos la definición:
f x M ( x, y )
3.
o
f y N ( x, y )
Integramos con respecto a x o con
respecto a y:
f
M ( x , y ) dx
o
f
N ( x , y ) dy
Método de solución…
4.
Al resultado lo derivamos con respecto a y
o con respecto a x:
fy
5.
6.
M ( x , y ) dx
y
o
fx
N ( x , y ) dy
x
Igualamos de nuevo el resultado a N(x,y)
o a M(x,y).
Integramos por última vez esta ecuación.
Solución de ED exactas
Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
1.
( 2 x 5 y ) dx ( 5 x 3 y ) dy 0
2.
( 2 y 2 xy 4 x 6 ) dx ( 2 x 3 x y 1) dy 0
3.
4.
2
3
2
2
( 2 x 6 x y ) dx ( 3 x 2 xy ) dy 0
2
dy
dx
3
xy CosxSenx
2
y (1 x )
2
con
y(0) 2
con
y ( 1) 0
Factores integrantes
A veces, para una ecuación diferencial no
exacta M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es posible
encontrar un factor integrante m(x,y) de
modo que:
m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0
sea una diferencial exacta.
Factores integrantes…
En un intento por encontrar m, regresamos
al criterio de exactitud.
La ecuación:
m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0
es exacta si y sólo si: (mM)y=(mN)x.
Por la regla para la derivada del producto,
tenemos que:
mMy+myM = mNx+mxN
pero también:
mxN-myM=(My-Nx)m
Factores integrantes…
En la ecuación mxN-myM=(My-Nx)m
M, N, My y Nx son funciones conocidas de x
y y, la dificultad para determinar la incógnita
m(x,y) es que se debe resolver una
ecuación diferencial parcial.
Como no estamos preparados para ello, se
hace una suposición “simplificadora”.
Suponga que m es una función de una
variable.
Factores integrantes…
Suponga, por ejemplo, que m depende sólo de x.
dm
y my 0
En este caso: m x
dx
Así:
mxN-myM=(My-Nx)m se puede escribir como
dm
dx
M
y
Nx
m
N
Estamos en una situación sin solución si el
cociente (My-Nx)/N depende de x y y. Sin embargo
si después de simplificar, el cociente depende
sólo de x, entonces la ecuación d m M y N x
m
es una ED ordinaria
dx
N
de primer orden.
Factores integrantes…
M
y
Nx
dx
.
Esto nos conduce a que: m ( x ) e
De manera análoga, se deduce que si m
depende sólo de la variable y, entonces:
dm
Nx M
dy
y
N
m
M
En este caso, si el cociente (Nx-My)/M
depende solamente de y, entonces la
ecuación se puede resolver para m y en
N M
este caso:
dy
x
m( y) e
y
M
.
Problemas
Resuelva la ecuación diferencial mediante
la determinación de un factor integrante
adecuado.
1.
2.
3.
( 2 y 3 x ) dx 2 xydy 0
2
y ( x y 1) dx ( x 2 y ) dy 0
Cosxdx (1
2
y
) Senxdy 0