Transcript prezentacja 5 ()

Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa
MAEW00104
MAP1064
Gabriel Szuter, 170877
Wydział Elektroniki
Kierunek Teleinformatyka
Temat: Ilustracja metody Monte Carlo obliczania
całek podwójnych.
Metoda Monte Carlo liczenia całek podwójnych:
Całkę
 f ( x, y)dxdy gdzie D to obszar zamknięty w kwadracie
D
[a,b] x [a,b] obliczamy w następujący sposób:
• Losujemy niezależnie liczby u1, u2, … , un oraz v1, v2, … , vn z rozkładu
jednostajnego U[0, 1];
• Przekształcamy xk= a + (b - a)uk i yk= a + (b - a)vk dla k = 1, 2, . . . , n;
(b  a) 2 n
• Jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy:  f ( x, y)dxdy 
f ( xk , y k )

n k 1
D
przy czym f ( xk , yk ) przyjmujemy 0 dla punktów leżących poza D.
Zajmijmy się teraz kolejno różnymi funkcjami:
1)
Niech D będzie kwadratem [0,2] x [0,2], natomiast
f ( x, y )  xy
Policzmy dokładną wartość całki:
y 2
x2
 y 
x 
0 dx 0 xydy 0  x 2  dx  0 2 xdx  2 2   4
y 0
x 0
2
2
2
2
2
2
Wylosowane liczby będziemy przeliczać następująco:
xk=2uk
yk=2vk
Nasza całka przyjmie postać:

D
4 n
f ( x, y)dxdy   f ( xk , yk )
n k 1
Policzmy wartości całki dla różnych rzędów n
• Dla n=100:

D
• Dla n=1000:

D
• Dla n=3000:

D
4
f ( x, y )dxdy 
109,3832  4,375
100
4
f ( x, y )dxdy 
 991,0437  3,964
1000
4
f ( x, y )dxdy 
 2994,684  3,993
3000
Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki
Błąd bezwzględny
Wartość
prawdziwa
4
0
n=100
4,375
0,375
n=1000
3,964
0,036
n=3000
3,993
0,007
Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych
losowaniach:
5
35
4,8
30
4,6
4,4
25
4,2
20
n=100
15
4
3,8
10
3,6
5
3,4
3,2
0
<3,5
3.63.7
3.83.9
4.04.1
4.24.3
3
4.44.5
70
5
60
4,8
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
4,6
50
4,4
40
n=1000
30
4,2
4
3,8
20
3,6
10
3,4
3,2
0
<3,5
3.63.7
3.83.9
4.04.1
4.24.3
4.44.5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
3
5
4,8
4,6
4,4
n=3000
4,2
4
3,8
3,6
3,4
3,2
<3,5
3.63.7
3.83.9
4.04.1
4.24.3
4.44.5
3
Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie
całki
Wartość
Błąd
bezwzględny
Błąd względny
Minimalna
wartość
3,254
0,746
18,65%
Maksymalna
wartość
4,826
0,826
20,65%
Minimalna
wartość
3,72
0,28
7%
Maksymalna
wartość
4,345
0,345
8,63%
Minimalna
wartość
3,815
0,185
4,63%
Maksymalna
wartość
4,228
0,228
5,7%
n=100
n=1000
n=3000
2)
Teraz niech obszar będzie ograniczony krzywymi:
y  ( x  1) 2
y  x 1
y  x  3
Funkcją niech pozostanie:
f ( x, y )  xy
Policzmy dokładną wartość całki:
1
x 1
0
( x 1)
 dx 
2
2
3 x
1
( x 1) 2
xydy   dx
 ( x  1) 2 ( x  1) 4
0 x 2  2
1

y  x 1
y  3 x
2
 y2 
 y2 
xydy   x 
dx   x 
dx 


2
2
2
2

 y  ( x 1)

 y  ( x 1)
0
1
1
2

 (3  x ) 2 ( x  1) 4
dx   x

2
2


1

dx 

1
1
x[ x 2  2 x  1  ( x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1)]dx 

20
2
1
  x[9  6 x  x 2  ( x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1)]dx 
21
1
2

1
4
3
2
  x (  x  4 x  5 x  6 x ) dx   x (  x 4  4 x 3  5 x 2  2 x  8) dx  

2  0
1

 x6 4 x5 5x 4 2 x3
1   x 6 4 x 5 5 x 4
3
2




2
x






4
x




2  6
5
4
6
5
4
3


 x 1
x

0

x 1
x2




1  1 4 5
1 4 5 2
  64 4  32 5 16 2  8





2






4

4





4



 
2  6 5 4
5
4
3
6 5 4 3
  6

83 173 256



 2,133
120 120 120
Policzmy wartości całki dla różnych n:
• Dla n=100:

D
• Dla n=1000:

D
• Dla n=3000:

D
4
f ( x, y )dxdy 
 57,9316  2,317
100
f ( x, y )dxdy 
4
 518,5422  2,074
1000
4
f ( x, y )dxdy 
1611,314  2,148
3000
Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki
Błąd bezwzględny
Wartość
prawdziwa
2,133
0
n=100
2,317
0,184
n=1000
2,074
0,059
n=3000
2,148
0,015
Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych
losowaniach:
3
35
2,8
30
2,6
2,4
25
2,2
n=100
20
15
2
1,8
10
1,6
5
1,4
1,2
0
<1,6
1,71,8
1,92,0
2,12,2
2,32,4
1
2,52,6
100
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
3
2,8
80
2,6
2,4
60
2,2
n=1000
40
2
1,8
1,6
20
1,4
0
1,2
<1,6
1,71,8
1,92,0
2,12,2
2,32,4
2,52,6
1
140
3
120
2,8
100
2,6
2,4
80
2,2
n=3000
60
40
2
1,8
1,6
20
1,4
0
1,2
<1,6
1,71,8
1,92,0
2,12,2
2,32,4
2,52,6
1
Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie
całki
Wartość
Błąd
bezwzględny
Błąd względny
Minimalna
wartość
1,327
0,806
37,79%
Maksymalna
wartość
2,923
0,79
37,04%
Minimalna
wartość
1,961
0,172
8,06%
Maksymalna
wartość
2,337
0,204
9,56%
Minimalna
wartość
1,938
0,195
9,14%
Maksymalna
wartość
2,227
0,094
4,41%
n=100
n=1000
n=3000
3)
Nasz obszar umieśćmy w kwadracie: [2,5] x [2,5]
Niech będzie on ograniczony prostymi:
y=3,
y = (0,5x - 2)2 + 2 ,
Nasza funkcja będzie miała postać:
y = (x - 4)3 + 2
f ( x, y )  x  y
Policzmy dokładną wartość całki:
4
3
2
1

 x2  2
2

 dx 
5
2
( x  y )dy   dx
4
y 3
3
 ( x  y)dy 
( x  4)3  2
y 3


y 
y 
dx ...  13,029
2  xy  2   1 2 dx  4  xy  2 
y  x  2   2
y ( x  4 )3  2
4
2
2
5

2
Policzmy wartości całki dla różnych n:
xk  2  3uk
yk  2  3vk

D
•
Dla n=100:

D
•
Dla n=1000:

D
•
Dla n=3000:

D
9 n
f ( x, y)dxdy   f ( xk , yk )
n k 1
9
f ( x, y )dxdy 
161,3058  14,518
100
9
f ( x, y )dxdy 
1408,79  12,679
1000
9
f ( x, y )dxdy 
 4340,608  13,022
3000
Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki
Błąd bezwzględny
Wartość
prawdziwa
13,029
0
n=100
14,518
1,489
n=1000
12,679
0,35
n=3000
13,022
0,007
Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych
losowaniach:
25
21
20
19
15
17
15
10
n=100
5
13
11
0
9
<9
9,810,6
11,212
12,813,6
14,415,2
1616,8
80
70
60
50
40
30
20
10
0
7
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
21
19
17
n=1000
15
13
11
9
<9
9,810,6
11,212
12,813,6
14,415,2
1616,8
7
140
21
120
19
100
17
80
n=3000
60
15
13
40
11
20
9
0
7
<9
9,810,6
11,212
12,813,6
14,415,2
1616,8
Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie
całki
Wartość
Błąd
bezwzględny
Błąd względny
Minimalna
wartość
7,169
5,86
44,98%
Maksymalna
wartość
20,149
7,12
54,65%
Minimalna
wartość
10,732
2,297
17,63%
Maksymalna
wartość
15,038
2,009
15,42%
Minimalna
wartość
11,906
1,123
8,62%
Maksymalna
wartość
14,123
1,094
8,4%
n=100
n=1000
n=3000
4)
Niech obszar znajduje się w kwadracie: [2,6] x [2,6]
Zamknijmy go prostymi:
y  ( x  4) 2  6
Funkcją pozostanie:
y  sin( 2 x)  4
f ( x, y )  x  y
Policzmy dokładną wartość całki:
Znajdźmy punkty przecięcia się prostych zamykających obszar:
sin( 2 x)  4  ( x  4) 2  6
6( x  4 ) 2
x=2,272
lub
x=5,707
y 6( x  4 ) 2

y2 
dx  ( x  y)dy    xy  
dx  ...  32,629

2  y sin(2 x ) 4
2, 272
sin(2 x )  4
2, 727 
5, 707
5, 707
Policzmy wartości całki dla różnych n:
xk  2  4uk
yk  2  4vk

D
• Dla n=100:

D
16
f ( x, y )dxdy 
 221,297  35,407
100

• Dla n=1000:
D
• Dla n=3000:

D
16 n
f ( x, y)dxdy   f ( xk , yk )
n k 1
16
f ( x, y )dxdy 
1954,588  31,273
1000
16
f ( x, y )dxdy 
 6101,056  32,539
3000
Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki
Błąd bezwzględny
Wartość
prawdziwa
32,629
0
n=100
35,407
2,778
n=1000
31,273
1,356
n=3000
32,539
0,09
Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych
losowaniach:
50
48
40
43
30
38
n=100
20
10
33
28
23
0
<28 28- 29- 30- 31- 32- 33- 34- 35- 36- 37- >38
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
18
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
50
48
40
43
30
38
n=1000
20
33
28
10
23
0
<28
2930
3132
3334
3536
18
3738
70
60
48
50
43
40
38
n=3000
30
20
33
28
10
23
0
<28
2930
3132
3334
3536
3738
18
Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie
całki
Wartość
Błąd
bezwzględny
Błąd względny
Minimalna
wartość
18,659
13,97
42,81%
Maksymalna
wartość
49,338
16,709
51,21%
Minimalna
wartość
28,701
3,928
12,04%
Maksymalna
wartość
38,533
5,904
18,09%
Minimalna
wartość
29,26
3,369
10,33%
Maksymalna
wartość
35,603
2,974
9,11%
n=100
n=1000
n=3000
Wnioski:
• Widzimy, iż wraz ze wzrostem ilości losowanych
liczb błąd przybliżenia maleje;
• Przy n=3000 we wszystkich przypadkach
zostało uzyskane zadowalające przybliżenie;
• Im mniejszą część kwadratu zajmuje badany
obszar, tym bardziej błąd przybliżenia rośnie.
Do obliczeń, a także rysowania wykresów użyto
następujących aplikacji:
• MS Excel
• Derive 6
Obszary całkowania i funkcje podcałkowe na
podstawie własnej wyobraźni 