פרופ' נתי ליניאל האוניברסיטה העברית Leonhard Euler ) (1707-1783 אוילר על שטר של 10 פרנק שוויצרי
Download
Report
Transcript פרופ' נתי ליניאל האוניברסיטה העברית Leonhard Euler ) (1707-1783 אוילר על שטר של 10 פרנק שוויצרי
פרופ' נתי ליניאל
האוניברסיטה העברית
Leonhard Euler
)(1707-1783
אוילר על שטר של 10פרנק שוויצרי
אוילר – המייסד של תורת הגרפים
מה זה גרף? גרף בנוי
• גרפים מישוריים הם סוג
מקודקודים (נקודות) וצלעות
מיוחד של גרפים – כאלה
(קוים המחברים בין
שניתן לציירם על הדף בלי
הקודקודים).
שהצלעות ייחתכו זו עם זו.
למשל,
הבהרה – כשמציירים גרף במישור מותר
לצלעות "להתעקם" (אך לא להיחתך)
כלומר:
זהה ל:
וגם ל:
האם זו אבחנה של ממש?
האם יש בכלל גרפים שאינם גרפים מישוריים?
זאת אומרת :האם יש גרפים שבכל ניסיון לציירם במישור בהכרח
יהיו צלעות שייחתכו ביניהן?
אולי השאלה הזו מעוררת בכם זכרונות....
חידה מבית הספר
שלושה בתים צריכים
להתחבר לאספקה של גז,
חשמל ומים .יש לחבר את
הבתים למקורות האספקה
בלי שהצינורות ייפגשו .האם
זה אפשרי?
אוילר הוכיח שלא.
איך אפשר להוכיח שהדבר
בלתי אפשרי???
הבה ננסה...
נוסחת אוילר לגרפים מישוריים
בגרף מישורי יש Vקדקודים
(נקודות).
E צלעות (הקווים המחברים
בין הנקודות).
F פאות (ה"מדינות" במפה,
המשטחים בציור).
אוילר גילה שתמיד מתקיים
הקשר:
V-E+F=2
4-5+3=2
שימו לב – אנו חושבים גם על התחום
שבחוץ כפאה .אם זה קצת מבלבל – זו
איננה בעיה
על הדבש ועל העוקץ
מספר הקדקודים = 48
18
מספר הפאות = 17
64
6
מספר הצלעות = 3
(המתמטי)
V-E+F=2
גרפים בדואר
שני עקרונות חשובים שראינו
מושג השמורה (אינווריאנטה) :כשמשמיטים צלע ,המספר V-E+F
איננו משתנה (הוא אינווריאנטי) ונשאר שווה ל ,2-אף כי מספר
הצלעות Eירד ב 1-וגם מספר הפאות Fירד ב.1-
אינדוקציה מתמטית :מסיקים מסקנות בסיטואציה מסובכת על
סמך המצב בסיטואציה פשוטה +הבנת המעבר בין שתי
הסיטואציות.
נוסחת אוילר מוכיחה שאי אפשר לצייר את גרף
שלושת הבתים ללא חיתוכים בין הצלעות
אנו נוכיח שאי אפשר לצייר את הגרף שלהלן
(הנקרא ) )K(5ללא חיתוכים בין הצלעות
אבחנה פשוטה ומועילה
כשמציירים גרף במישור,
סכום ההיקפים של הפאות
שווה ל( 2E-פעמיים מספר
הצלעות).
3
5
3
5
3
3
5
4
9
מסקנה
= 2E סכום היקפי הפאות ≥ 3F
הסבר :כשאנו מחשבים את סכום היקפי הפאות ,אנו מחברים F
מספרים שכל אחד מהם הוא לפחות ( 3היקפה של כל פאה ,כלומר
מספר הצלעות שלה יכול להיות 5 ,4 ,3וכן הלאה ,אך בוודאי לא
פחות מ.)3-
הוכחנו ,אם כן :בכל גרף מישורי מתקיים
3F ≥ 2E
מדוע ) K(5איננו מישורי?
כאן .E=10 ,V=5מנוסחת
אוילר V-E+F=2יוצא שאם
) K(5הוא מישורי ,אז בהכרח
.F=7כלומר ,אילו היה אפשרי
לצייר את ) K(5ללא חיתוכים
בין הצלעות היינו בהכרח
מקבלים 7פאות.
מדוע ) K(5איננו מישורי
נסכם את מה שכבר ידוע לנו :אילו היה ) K(5מישורי היינו
מקבלים V=5, E=10, F=7
כמו כן ידוע לנו שבגרף מישורי 3F ≥ 2Eאבל
3F=21 < 2E=20
בסתירה להנחתנו .לכן ) K(5איננו מישורי!
מש"ל
ומה בדבר ) K(3,3והחידה המפורסמת?
אותה הוכחה (בעוד תוספת קטנה של מאמץ) מראה
שגם ) K(3,3איננו מישורי.
בעצם ,כ 150-שנה לאחר מותו של אוילר הוכיח
K.Kuratowskiשבמובן מסוים אלו (דהיינו ) K(5ו-
) )K(3,3הן הסיבות היחידות לכך שגרף נתון איננו
מישורי.
למה בכלל מתעניינים בגרפים?
כשאוילר החל לחקור גרפים לא היתה להם כל
חשיבות מעשית.
היום יש להם חשיבות מדעית הנדסית וכלכלית
גדולה ביותר – חישבו למשל על העברת מידע
ברשת האינטרנט ,על רשתות תעבורה או תעופה
או על רשתות של אינטראקציות גנטיות.
www
Protein-Protein interaction
עוד חידה מבית הספר
הגשרים של מחוז קנינסברג
אוילר כדמות מופת למתמטיקאים
למתמטיקאים יש תחושה היסטורית חזקה וגם
יחס מיוחד לאסתטיקה המתמטית.
אלו הן הסיבות העיקריות לתחושת ההתפעלות
שלנו מאוילר :העבודות שלו בולטות ביופיין,
בגיוונן ובחדשנות שלהן.
הוא גם היה במשך מאות שנים המתמטיקאי
הפורה ביותר על-פי מספר מאמריו .עד ש....
פאול ארדש – האוילר של זמננו
האיש ששבר לראשונה את שיאו
של אוילר במספר מאמריו.
" גיבור דורנו" .1913-1996
דמות מרכזית בתורת הגרפים,
בתורת המספרים ,באנליזה
מתמטית.
המספרים המיוחדים של המתמטיקה
עוד היוונים הקדמונים הכירו את המספר ( πהיחס בין היקף
המעגל לקוטרו) .כפי שנראה ,המספר הזה מופיע גם בהקשרים
בלתי גיאומטריים.
את πאנחנו מכירים עוד מבית הספר ,אבל יש עוד קבועים
חשובים נוספים.
שמו של אוילר נקשר במספר … e=2.718281828שמשחק תפקיד
חשוב במגוון רחב של נושאים תיאורטיים ושימושיים.
הכירו את e
נניח (בעולם קצת אחר משלנו )...שהבנק שלכם מציע לכם תוכנית
חיסכון בריבית שנתית של .100%אתם יכולים להפקיד 1₪
בתחילת השנה ולקבל 2₪בסופה.
הבנק המתחרה מציע תוכנית של 50%לחצי שנה .כאן תקבלו
(1.5)2=2.25שקלים בסוף השנה.
וכן הלאה .התחרות עזה .יש גם בנק אחר הנותן
33⅓%מדי שליש שנה ,וכו'.
מה יוצא לי מכל זה?
מספר הבנק
פרק הזמן הבסיסי
אחוז ריבית
סכום מצטבר לשנה
1
1שנה
100
₪2
2
½ שנה
50
₪2.25
3
⅓ שנה
⅓33
₪2.37
4
⅟4שנה
25
₪2.44
.
.
.
.
n
⅟nשנה
100/n
₪(1+⅟n)n
סחרחורת של רווחים???
האם נוכל לנצל את התחרות הפרועה בין הבנקים ולהגדיל את
רווחינו ללא סוף?
לא! מתברר שיש גבול עליון לסכום שנוכל להשיג גם אם פרקי
הזמן בין חידושי ההפקדות יתקצרו לאפס .הסכום המירבי שאותו
נוכל להשיג מהפקדה של 1₪הוא בדיוק eשקלים( .כזכור
….)e=2.718
סכומים אינסופיים
העיסוק במושג האינסוף היה אחד ממוקדי העניין העיקריים
במתמטיקה במהלך הדורות .כפי שאנו לומדים לחבר מספרים
בילדותנו ,חשוב לנו להבין מה קורה כשמסכמים אינסוף
מחוברים .העניינים מסתבכים ,כמובן.
עוד היוונים הקדמונים ידעו ש...
כמובן...
אם נסכם מספרים גדולים מדי ,הסכום יהיה אינסופי .בלשון
מתימטית ,הטור
…1+1+1+1+
מתבדר.
אבל אולי העניינים מסתדרים כשהמחוברים הולכים וקטנים?
לאו דווקא
אוילר הראה שגם הסכום
מתבדר.
למען הדיוק ,הוא הראה שסכום nהמחוברים הראשונים הוא
בקירוב:
כשהביטוי ln xהוא בקירוב מספר הספרות של ,xכפול 2.30
לא די בכך שהמחוברים קטנים
על מנת שהסכום האינסופי יתכנס ,המחוברים צריכים להיות
קטנים מספיק.
המתמטיקאים של התקופה ידעו שהסכום האינסופי
מתכנס .אולם זה היה אתגר לכל החוקרים בתקופה לחשב מהו
הסכום של הטור האינסופי הזה.
אוילר הראה כי:
ניסים מתמטיים
אחת הנוסחאות המפורסמות שהוכיח אוילר
היא
הנחשבת לאחת הנוסחאות המרהיבות בכל
המתמטיקה .אוילר עצמו (בויכוח מפורסם
שהיה לו עם דידרו ] )[Diderotראה בנוסחה
זו ראייה לקיומו של האלוהים( .מה שמראה
שגם מתמטיקאים דגולים עשויים לאחוז
באמונות הבל)....
אוילר ו-