Transcript פרופ' נתי ליניאל האוניברסיטה העברית Leonhard Euler ) (1707-1783 אוילר על שטר של 10 פרנק שוויצרי

‫פרופ' נתי ליניאל‬
‫האוניברסיטה העברית‬
‫‪Leonhard Euler‬‬
‫)‪(1707-1783‬‬
‫אוילר על שטר של ‪ 10‬פרנק שוויצרי‬
‫אוילר – המייסד של תורת הגרפים‬
‫‪ ‬מה זה גרף? גרף בנוי‬
‫• גרפים מישוריים הם סוג‬
‫מקודקודים (נקודות) וצלעות‬
‫מיוחד של גרפים – כאלה‬
‫(קוים המחברים בין‬
‫שניתן לציירם על הדף בלי‬
‫הקודקודים)‪.‬‬
‫שהצלעות ייחתכו זו עם זו‪.‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫הבהרה – כשמציירים גרף במישור מותר‬
‫לצלעות "להתעקם" (אך לא להיחתך)‬
‫‪ ‬כלומר‪:‬‬
‫‪ ‬זהה ל‪:‬‬
‫‪ ‬וגם ל‪:‬‬
‫האם זו אבחנה של ממש?‬
‫‪ ‬האם יש בכלל גרפים שאינם גרפים מישוריים?‬
‫‪ ‬זאת אומרת‪ :‬האם יש גרפים שבכל ניסיון לציירם במישור בהכרח‬
‫יהיו צלעות שייחתכו ביניהן?‬
‫‪ ‬אולי השאלה הזו מעוררת בכם זכרונות‪....‬‬
‫חידה מבית הספר‬
‫‪ ‬שלושה בתים צריכים‬
‫להתחבר לאספקה של גז‪,‬‬
‫חשמל ומים‪ .‬יש לחבר את‬
‫הבתים למקורות האספקה‬
‫בלי שהצינורות ייפגשו‪ .‬האם‬
‫זה אפשרי?‬
‫‪ ‬אוילר הוכיח שלא‪.‬‬
‫‪ ‬איך אפשר להוכיח שהדבר‬
‫בלתי אפשרי???‬
‫הבה ננסה‪...‬‬
‫נוסחת אוילר לגרפים מישוריים‬
‫‪ ‬בגרף מישורי יש ‪ V‬קדקודים‬
‫(נקודות)‪.‬‬
‫‪ E ‬צלעות (הקווים המחברים‬
‫בין הנקודות)‪.‬‬
‫‪ F ‬פאות (ה"מדינות" במפה‪,‬‬
‫המשטחים בציור)‪.‬‬
‫‪ ‬אוילר גילה שתמיד מתקיים‬
‫הקשר‪:‬‬
‫‪V-E+F=2‬‬
‫‪4-5+3=2‬‬
‫שימו לב – אנו חושבים גם על התחום‬
‫שבחוץ כפאה‪ .‬אם זה קצת מבלבל – זו‬
‫איננה בעיה‬
‫על הדבש ועל העוקץ‬
‫מספר הקדקודים = ‪48‬‬
‫‪18‬‬
‫מספר הפאות = ‪17‬‬
‫‪64‬‬
‫‪6‬‬
‫מספר הצלעות = ‪3‬‬
‫(המתמטי)‬
‫‪V-E+F=2‬‬
‫גרפים בדואר‬
‫שני עקרונות חשובים שראינו‬
‫‪ ‬מושג השמורה (אינווריאנטה)‪ :‬כשמשמיטים צלע‪ ,‬המספר ‪V-E+F‬‬
‫איננו משתנה (הוא אינווריאנטי) ונשאר שווה ל‪ ,2-‬אף כי מספר‬
‫הצלעות ‪ E‬ירד ב‪ 1-‬וגם מספר הפאות ‪ F‬ירד ב‪.1-‬‬
‫‪ ‬אינדוקציה מתמטית‪ :‬מסיקים מסקנות בסיטואציה מסובכת על‬
‫סמך המצב בסיטואציה פשוטה ‪ +‬הבנת המעבר בין שתי‬
‫הסיטואציות‪.‬‬
‫נוסחת אוילר מוכיחה שאי אפשר לצייר את גרף‬
‫שלושת הבתים ללא חיתוכים בין הצלעות‬
‫אנו נוכיח שאי אפשר לצייר את הגרף שלהלן‬
‫(הנקרא )‪ )K(5‬ללא חיתוכים בין הצלעות‬
‫אבחנה פשוטה ומועילה‬
‫‪ ‬כשמציירים גרף במישור‪,‬‬
‫סכום ההיקפים של הפאות‬
‫שווה ל‪( 2E-‬פעמיים מספר‬
‫הצלעות)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫מסקנה‬
‫‪ = 2E ‬סכום היקפי הפאות ≥ ‪3F‬‬
‫‪ ‬הסבר‪ :‬כשאנו מחשבים את סכום היקפי הפאות‪ ,‬אנו מחברים ‪F‬‬
‫מספרים שכל אחד מהם הוא לפחות ‪( 3‬היקפה של כל פאה‪ ,‬כלומר‬
‫מספר הצלעות שלה יכול להיות ‪ 5 ,4 ,3‬וכן הלאה‪ ,‬אך בוודאי לא‬
‫פחות מ‪.)3-‬‬
‫‪ ‬הוכחנו‪ ,‬אם כן‪ :‬בכל גרף מישורי מתקיים‬
‫‪3F ≥ 2E‬‬
‫מדוע )‪ K(5‬איננו מישורי?‬
‫‪ ‬כאן ‪ .E=10 ,V=5‬מנוסחת‬
‫אוילר ‪ V-E+F=2‬יוצא שאם‬
‫)‪ K(5‬הוא מישורי‪ ,‬אז בהכרח‬
‫‪ .F=7‬כלומר‪ ,‬אילו היה אפשרי‬
‫לצייר את )‪ K(5‬ללא חיתוכים‬
‫בין הצלעות היינו בהכרח‬
‫מקבלים ‪ 7‬פאות‪.‬‬
‫מדוע )‪ K(5‬איננו מישורי‬
‫‪ ‬נסכם את מה שכבר ידוע לנו‪ :‬אילו היה )‪ K(5‬מישורי היינו‬
‫מקבלים ‪V=5, E=10, F=7‬‬
‫‪ ‬כמו כן ידוע לנו שבגרף מישורי ‪ 3F ≥ 2E‬אבל‬
‫‪3F=21 < 2E=20‬‬
‫בסתירה להנחתנו‪ .‬לכן )‪ K(5‬איננו מישורי!‬
‫מש"ל‬
‫ומה בדבר )‪ K(3,3‬והחידה המפורסמת?‬
‫‪ ‬אותה הוכחה (בעוד תוספת קטנה של מאמץ) מראה‬
‫שגם )‪ K(3,3‬איננו מישורי‪.‬‬
‫‪ ‬בעצם‪ ,‬כ‪ 150-‬שנה לאחר מותו של אוילר הוכיח‬
‫‪ K.Kuratowski‬שבמובן מסוים אלו (דהיינו )‪ K(5‬ו‪-‬‬
‫)‪ )K(3,3‬הן הסיבות היחידות לכך שגרף נתון איננו‬
‫מישורי‪.‬‬
‫למה בכלל מתעניינים בגרפים?‬
‫‪ ‬כשאוילר החל לחקור גרפים לא היתה להם כל‬
‫חשיבות מעשית‪.‬‬
‫‪ ‬היום יש להם חשיבות מדעית הנדסית וכלכלית‬
‫גדולה ביותר – חישבו למשל על העברת מידע‬
‫ברשת האינטרנט‪ ,‬על רשתות תעבורה או תעופה‬
‫או על רשתות של אינטראקציות גנטיות‪.‬‬
www
Protein-Protein interaction
‫עוד חידה מבית הספר‬
‫הגשרים של מחוז קנינסברג‬
‫אוילר כדמות מופת למתמטיקאים‬
‫‪ ‬למתמטיקאים יש תחושה היסטורית חזקה וגם‬
‫יחס מיוחד לאסתטיקה המתמטית‪.‬‬
‫‪ ‬אלו הן הסיבות העיקריות לתחושת ההתפעלות‬
‫שלנו מאוילר‪ :‬העבודות שלו בולטות ביופיין‪,‬‬
‫בגיוונן ובחדשנות שלהן‪.‬‬
‫‪ ‬הוא גם היה במשך מאות שנים המתמטיקאי‬
‫הפורה ביותר על‪-‬פי מספר מאמריו‪ .‬עד ש‪....‬‬
‫פאול ארדש – האוילר של זמננו‬
‫‪ ‬האיש ששבר לראשונה את שיאו‬
‫של אוילר במספר מאמריו‪.‬‬
‫‪" ‬גיבור דורנו" ‪.1913-1996‬‬
‫‪ ‬דמות מרכזית בתורת הגרפים‪,‬‬
‫בתורת המספרים‪ ,‬באנליזה‬
‫מתמטית‪.‬‬
‫המספרים המיוחדים של המתמטיקה‬
‫‪ ‬עוד היוונים הקדמונים הכירו את המספר ‪( π‬היחס בין היקף‬
‫המעגל לקוטרו)‪ .‬כפי שנראה‪ ,‬המספר הזה מופיע גם בהקשרים‬
‫בלתי גיאומטריים‪.‬‬
‫‪ ‬את ‪ π‬אנחנו מכירים עוד מבית הספר‪ ,‬אבל יש עוד קבועים‬
‫חשובים נוספים‪.‬‬
‫‪ ‬שמו של אוילר נקשר במספר …‪ e=2.718281828‬שמשחק תפקיד‬
‫חשוב במגוון רחב של נושאים תיאורטיים ושימושיים‪.‬‬
‫הכירו את ‪e‬‬
‫‪ ‬נניח (בעולם קצת אחר משלנו‪ )...‬שהבנק שלכם מציע לכם תוכנית‬
‫חיסכון בריבית שנתית של ‪ .100%‬אתם יכולים להפקיד ‪1₪‬‬
‫בתחילת השנה ולקבל ‪ 2₪‬בסופה‪.‬‬
‫‪ ‬הבנק המתחרה מציע תוכנית של ‪ 50%‬לחצי שנה‪ .‬כאן תקבלו‬
‫‪ (1.5)2=2.25‬שקלים בסוף השנה‪.‬‬
‫‪ ‬וכן הלאה‪ .‬התחרות עזה‪ .‬יש גם בנק אחר הנותן‬
‫‪ 33⅓%‬מדי שליש שנה‪ ,‬וכו'‪.‬‬
‫מה יוצא לי מכל זה?‬
‫מספר הבנק‬
‫פרק הזמן הבסיסי‬
‫אחוז ריבית‬
‫סכום מצטבר לשנה‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬שנה‬
‫‪100‬‬
‫‪₪2‬‬
‫‪2‬‬
‫½ שנה‬
‫‪50‬‬
‫‪₪2.25‬‬
‫‪3‬‬
‫⅓ שנה‬
‫⅓‪33‬‬
‫‪₪2.37‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ⅟4‬שנה‬
‫‪25‬‬
‫‪₪2.44‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ⅟n‬שנה‬
‫‪100/n‬‬
‫‪₪(1+⅟n)n‬‬
‫סחרחורת של רווחים???‬
‫‪ ‬האם נוכל לנצל את התחרות הפרועה בין הבנקים ולהגדיל את‬
‫רווחינו ללא סוף?‬
‫‪ ‬לא! מתברר שיש גבול עליון לסכום שנוכל להשיג גם אם פרקי‬
‫הזמן בין חידושי ההפקדות יתקצרו לאפס‪ .‬הסכום המירבי שאותו‬
‫נוכל להשיג מהפקדה של ‪ 1₪‬הוא בדיוק ‪ e‬שקלים‪( .‬כזכור‬
‫…‪.)e=2.718‬‬
‫סכומים אינסופיים‬
‫‪ ‬העיסוק במושג האינסוף היה אחד ממוקדי העניין העיקריים‬
‫במתמטיקה במהלך הדורות‪ .‬כפי שאנו לומדים לחבר מספרים‬
‫בילדותנו‪ ,‬חשוב לנו להבין מה קורה כשמסכמים אינסוף‬
‫מחוברים‪ .‬העניינים מסתבכים‪ ,‬כמובן‪.‬‬
‫עוד היוונים הקדמונים ידעו ש‪...‬‬
‫כמובן‪...‬‬
‫‪ ‬אם נסכם מספרים גדולים מדי‪ ,‬הסכום יהיה אינסופי‪ .‬בלשון‬
‫מתימטית‪ ,‬הטור‬
‫…‪1+1+1+1+‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪ ‬אבל אולי העניינים מסתדרים כשהמחוברים הולכים וקטנים?‬
‫לאו דווקא‬
‫‪ ‬אוילר הראה שגם הסכום‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪ ‬למען הדיוק‪ ,‬הוא הראה שסכום ‪ n‬המחוברים הראשונים הוא‬
‫בקירוב‪:‬‬
‫‪ ‬כשהביטוי ‪ ln x‬הוא בקירוב מספר הספרות של ‪ ,x‬כפול ‪2.30‬‬
‫לא די בכך שהמחוברים קטנים‬
‫‪ ‬על מנת שהסכום האינסופי יתכנס‪ ,‬המחוברים צריכים להיות‬
‫קטנים מספיק‪.‬‬
‫‪ ‬המתמטיקאים של התקופה ידעו שהסכום האינסופי‬
‫מתכנס‪ .‬אולם זה היה אתגר לכל החוקרים בתקופה לחשב מהו‬
‫הסכום של הטור האינסופי הזה‪.‬‬
‫‪ ‬אוילר הראה כי‪:‬‬
‫ניסים מתמטיים‬
‫‪ ‬אחת הנוסחאות המפורסמות שהוכיח אוילר‬
‫היא‬
‫הנחשבת לאחת הנוסחאות המרהיבות בכל‬
‫המתמטיקה‪ .‬אוילר עצמו (בויכוח מפורסם‬
‫שהיה לו עם דידרו ]‪ )[Diderot‬ראה בנוסחה‬
‫זו ראייה לקיומו של האלוהים‪( .‬מה שמראה‬
‫שגם מתמטיקאים דגולים עשויים לאחוז‬
‫באמונות הבל‪)....‬‬
‫אוילר ו‪-‬‬