Transcript פאון
Polyhedra
פאונים
1
ולדיסלב פנקוב
16.01.12
תוכן להיום
•
₋
₋
•
₋
₋
₋
2
6.1הגופים האפלטוניים
פאונים קמורים
פאונים משוכללים
6.2מאפיין של אוילר
הומיאומורפיזם
נוסחת אוילר
גנוס
6.1
הגופים האפלטוניים
3
מה זה פאון (?)Polyhedron
פאון ) (polyhedronזוהי הרחבה של מצולע ( )polygonלתלת מימד.
הגדרה לא פורמלית:
פאון זהו אזור במרחב ,שחסום ע"י מספר סופי של מצולעים שהם
הפאות ( ,)facesכאשר החיתוך בין כל זוג פאות כאלו הוא:
.1ריק
.2קודקוד ()vertex
.3צלע ( )edgeוהקצוות שלו
.1
4
.2
.3
זווית דו-מישור ()Dihedral angle
הגדרה:
זווית דו-מישור ( 𝑏𝑎𝜑) בין שני מישורים (פאות) a, bזוהי הזווית בין שני
האנכים (הנורמלים) 𝑏𝑛 𝑛𝑎 ,של שני המישורים.
או בכתיב ווקטורי:
5
𝑏𝑛 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑏𝑎𝜑 cos
צלע קמורה ()Convex edge
הגדרה:
צלע היא קמורה אם הזווית הדו-מישור בין שתי הפאות שהיא מחברת בתוך
הפאון לא גדולה מ. 𝜋 -
צלע קמורה
6
צלע לא קמורה
פאון קמור ()Convex Polyhedron
הגדרה:
פאון הוא קמור אמ"ם לכל 2נקודות B ,Aבתוך הפאון הקטע ABגם בתוך הפאון.
למה :6.1
פאון הוא קמור אמ"ם כל הצלעות שלו קמורות.
הוכחה (בנפנוף ידיים):
הוכחה פורמלית (פשוטה) אפשר לתת במונחים של פאונים כדוריים לעליהם נדבר בהרצאה הבאה
7
=> נניח בשלילה שיש צלע לא קמורה ,אז יש שתי נקודות B ,Aכך ש ABיוצא מתוך
הפאון .לכן כל הצלעות קמורות.
פנים
<= נניח בשלילה שקיימות נקודות B ,Aכך ש הקטע ABלא
הפאון
מוכל כולו בפאון ,נבחר תת-חתך CDשמחבר שתי פאות
וכולו בחוץ ,אז קיים חתך של הפאון שבו נראה שיש צלעות
לא קמורות ,הפאות צריכות
פנים
חוץ הפאון
להיסגר ולכן הזוויות ביניהם
הפאון
גדולות מ. 𝜋 -
חוץ הפאון
פאון קמור ()Convex Polyhedron
דוגמאות:
לא קמור
8
קמור
מכאן ניתן לראות :שפאות קמורות זה אינו תנאי מספיק בשביל הקמירות של הפאון
אבל הכרחי
פאון קמור ()Convex Polyhedron
תרגיל :6.2
הראה שכל פאה של פאון קמור חייבת להיות מצולע קמור.
הוכחה:
נניח בשלילה שקיימת פאה לא קמורה ,נסמן את (אחד) הקודקוד הלא קמור
ב Aונסתכל על כל הצלעות ש Aמחובר אליהם.
עם כל הצלעות האלו קמורות אז הפאות שבין ACו ABאף פעם לא יפגשו
וישאר שם חור.
A
9
B
C
פאון קמור ()Convex Polyhedron
למה :6.3
לכל קודקוד בפאון קמור סכום הזוויות הצמודות לקודקוד בפאות הצמודות
קטן מ.2𝜋 -
𝜋 𝜋 𝜋
𝜋+ + < 2
אין הוכחה:
2 2 2
גם זאת יותר קל להוכיח במונחים
של פאונים כדוריים.
!אבל גם זהו אינו תנאי מספיק בשביל קמירות:
10
אותם זוויות ,אבל אחד קמור ואחד לא
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
הגדרה:
פאון קמור נקרא משוכלל אם כל הפאות שלו הן מצולעים משוכללים חופפים זה לזה
ולכל קודקוד יש אותו מספר פאות הצמודות אליו.
לעומת דו מימד ,בתלת מימד יש מספר מאוד סופי של פאונים משוכללים:
משפט :6.4
חמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים בתלת מימד.
משפט זה נוסח(ללא שימוש באלגברה) ע"י אוקלידס בספר "יסודות" ,שם נאמר
שככל שיש יותר פאות סביב קודקוד כך גם סכום הזוויות סביב קודקוד גדל ולכן אי
אפשר לארוז אותם בלי לפגוע בקמירות.
11
עשרימון
()Icosahedron
תריסרון
()Dodecahedron
תמניון
()Octahedron
קובייה
()Cube
ארבעון
()Tetrahedron
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
הוכחה:
• בהינתן פאון משוכלל 𝑃
• נסמן ב 𝑘 את מספר הקודקודים של כל פאה של 𝑃 ,ונסמן ב 𝑚 את מספר
הפאות הצמודות לכל קודקוד של 𝑃
• סכום הזוויות במצולע משוכלל בעל וכל זווית ) 𝜋(𝑘 − 2צלעות הוא 𝑘
2
היא 𝜋 1 −
𝑘
• אז לכל קודקוד של 𝑃 צמודות 𝑚 זוויות בגודל
בפאון קמור סכום זה קטן מ2𝜋 -
• לכן נקבל:
12
2
m𝜋 1 −
𝜋< 2
𝑘
2 2
< 1 −
𝑚 𝑘
𝑘𝑚 − 2𝑘 + 2𝑚 + 4 < 4
(𝑘 − 2)(𝑚 − 2) < 4
2
𝑘
𝜋 1 −ולפי למה 6.3
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
הוכחה (המשך):
• אז קבלנו (𝑘 − 2)(𝑚 − 2) < 4
• כיוון ש 𝑘,𝑚 ≥ 3נקבל 5זוגות }𝑚 {𝑘,שנקראים Schläfli symbolעל שם מתמטיקאי
שוודי מהמאה ה Ludwig Schläfli 19-שפיתח מערכת סימנים לכתיב מבנה פאונים
משוכללים ומשוכללים למחצה:
13
שם הפאון
𝑘
𝑚
𝑚()(𝑘 − 2
ארבעון
()Tetrahedron
3
3
1
4
קובייה
()Cube
4
3
2
8
12
תמניון
()Octahedron
3
4
2
6
12
8
תריסרון
()Dodecahedron
5
3
3
20
30
12
עשרימון
()Icosahedron
3
5
3
12
30
20
V
(#קודקודים)
E
(#צלעות)
F
(#פאות)
6
4
6
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
מה אם ? 𝑘 − 2 𝑚 − 2 = 4
נקבל מישור אין סופי שלא נחשב לפאון
:𝑘 = 3,𝑚 = 6
:𝑘 = 4,𝑚 = 4
:𝑘 = 6,𝑚 = 3
14
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
ניתן לשנות את ההגדרה של פאונים משוכללים ולקבל פאונים חדשים עם תכונות חדשות:
הגופים של ארכימדס -מקיימים את ההגדרה של פאון משוכלל רק מורכבים מכמה סוגים של
מצולעים משוכללים ,אבל אותו מבנה פאות לכל קודקוד ,בנוסף הם לא מנסרות(לא מעניין).
אם נוותר גם על הקמירות אז נקבל את 75הפאונים האחידים ( ,)uniform polyhedraבינהם
נמצא התריסרון הגדול(.)great dodecahedron
15
התריסרון הגדול
()great dodecahedron
גופים של ארכימדס
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
תרגיל :6.5
מצא את 10הגופים של ארכימדס שמורכבים רק משני סוגים של מצולעים שונים.
הוכחה:
• נניח שפאון קמור 𝑃 מורכב ממצולעים 𝑇1ו.𝑇2 -
• נסמן ב 𝑘1 -את מספר הקודקודים של 𝑇1וב 𝑘2 -של .𝑇2
• נסמן ב 𝑚1 -את מספר המצולעים 𝑇1שצמודים לכל קודקוד וב 𝑚2 -את .𝑇2
• אז נחשב סכום זווית בכל קודקוד ונפעיל את למה ( 6.3כמו קודם):
2
2
+ 𝑚2 𝜋 1 −
𝜋< 2
𝑘1
𝑘2
2𝑚1
2𝑚2
𝑚1 −
+ 𝑚2 −
<2
𝑘1
𝑘2
𝑘1 , 𝑘2 > 2
𝑘1 ≠ 𝑘2
𝑚1 , 𝑚2 > 0
𝑚1 + 𝑚2 > 2
𝑚1 𝜋 1 −
16
וולפרם אלפה מציע 29פתרונות שלמים ,אז נבחר את המתאימים:
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
תרגיל :6.5
מצא את 10הגופים של ארכימדס שמורכבים רק משני סוגים של מצולעים שונים.
הוכחה:
10הפתרונות הטובים:
𝟏𝑘
𝑘2
𝟏𝒎
𝒎2
17
2
1
6
3
2
2
4
3
2
1
8
3
2
1
6
4
3
1
4
3
1
4
4
3
2
2
5
3
2
1
10
3
2
1
6
5
1
4
5
3
פאון משוכלל ()Regular Polyhedron
תרגיל :6.6
הוכח שבפאון משוכלל כל הזוויות הדו-מישוריות של כל הצלעות שוות.
הוכחה (אינטואיציה):
נחסום כדור בתוך הפאון ,ומכל שתי פאות נוריד אנך למרכז הכדור ולצלע
המשותפת ,ונקבל מצולעים חופפים לכל זוג פאות (מטעמי סימטריה):
מרכז כדור
18
פאון כללי משוכלל ()Regular Polytope
פאון כללי משוכלל ארבע מימדי:
מורכב מפאונים משוכללים תלת מימדים מחוברים ביחד במימד הרביעי.
דרך אחת לייצג גופים אילו היא על ידי הטלת מסגרת התיל ( )Wire-frameשל הצורה
לתלת מימד ,שיטה זאת נקראת תרשים שלגל (.)Schlegel diagram
יש 6פאונים כללים משוכללים בארבע מימדים ו 3בכל מימד מעל.
את כל הפאונים המשוכללים בארבע מימדים מצאו 2000שנה אחרי האלו בשלושה
מימדים .כיום לפאונים כללים יש הרבה שימושים ויישומים והם נמצאים תחת מחקר
אקטיבי כיום.
19
-120תא
()hecatonicosachoron, 120-cell
היפרקובייה
()Hypercube
6.2
מאפיין של אוילר
20
פאון ()Polyhedron
נגדיר מחדש את הפאון:
הגדרה:
• פאון מורכב מפאות ,צלעות וקודקודים.
• נגביל כל פאה להיות מצולע קמור(מצולע לא קמור ניתן פשוט לפרק למצולעים
קמורים).
• חלקים אלה יוצרים ביחד את פני השטח של הפאון אם הם מקיימים את
שלושת תנאים הבאים:
.1חיתוך :חיתוך כל שתי פאות הוא ריק ,קודקוד יחיד או צלע(כולל הקצוות).
.2טופולוגיה מקומית :לכל נקודה pעל פני השטח של הפאון יש סביבה
שהומיאומורפית לדיסק פתוח.
.3טופולוגיה גלובלית :פני השטח של הפאון הם קשירים – לכל שתי נקודות על
פני השטח קיים מסלול שעובר על פני השטח שמחבר אותם.
21
הומיאומורפיזם ()Homeomorphism
הגדרה:
שני משטחים 𝑆2 ,𝑆1הן הומיאומורפים אם קיים הומיאומורפיזם ביניהם.
הומיאומורפיזם הוא פונקציה חח"ע ,רציפה שגם ההופכית שלה(קיימת) ורציפה.
לא פורמלי:
ניתן לחתוך את 𝑆1לכמה חתיכות ,כל אחת למתוח ולקפל באופן רציף ואז לחבר בחזרה
באותו אופן שגזרנו ולקבל את .𝑆2
פאון הומיאומורפי לכדור נקרא פאון כדורי.
22
הומיאומורפיזם ()Homeomorphism
תרגיל :6.10
הראה דוגמאות ששלושת התנאים בהגדרת ההומיאומורפיזם הם הכרחיים בשביל שקילות
טופולוגית:
(aחח"ע
(bרציפות
(cהפיכה רציפה
פתרון:
(a
(b
23
(c
נוסחת אוילר ()Euler's formula
אחד התגליות החשובות ביותר בתורת הפאונים הייתה נוסחת אוילר שהתגלתה
ב 1750ע"י לאונרד אוילר ( )Leonhard Eulerוהיא אומרת שסכום הקודקודים והפאות
גדול ב 2ממספר הצלעות:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
אוילר לא הוכיח את הנוסחה עד הסוף ,הראשון שהביא הוכחה מלאה היה אדריאן-
מארי לז'נדר ( )Adrien-Marie Legendreשהוכיח אותה ב.1794
אז רבים שמו לב כי פאונים (לא רק קמורים) מקיימים את הנוסחה ללא יוצא מן הכלל,
ולכן הרבה מאוד זמן חשבו שהתריסרון הגדול ( )great dodecahedronהוא לא פאון
בגלל שהתייחסו אליו כאוסף מחומשים משוכללים שחותכים זה את זה ,כמו שעשה
יוהנס קפלר ( ,)Johannes Keplerבמקום להסתכל עליו כאוסף של משולשים.
התריסרון הגדול ( )great dodecahedronהוא אחד מארבעת הפאונים המשוכללים
הלא קמורים שנקראים פאוני קפלר-פוינסוט (.)Kepler-Poinsot polyhedra
24
נוסחת אוילר ()Euler's formula
תרגיל :6.11
חשב את 𝐹 𝑉 − 𝐸 +עבור התריסרון הגדול ( )great dodecahedronבשני דרכים:
(aאוסף משולשים חופפים
(bאוסף מחומשים משוכללים חופפים שחותכים זה את זה
פתרון:
3
(aסה"כ יש 60משולשים לכן ;32 𝑉 = 12 + 20 = 32; 𝐸 = 60 ∗ 2 = 90; 𝐹 = 60
+ 60 − 90 = 2
5
(bסה"כ יש 12מחומשים לכן ;12 + 12 𝑉 = 𝐹 = 12; 𝐸 = 12 ∗ 2 = 30; 𝐹 = 12
− 30 = −6
25
נוסחת אוילר ()Euler's formula
למת עזר:
לעץ (גרף) עם 𝑛 קודקודים יש 𝑛 − 1צלעות.
הוכחה:
אינדוקציה:
: 𝑛 = 1קודקוד אחד אין צלעות.
: 𝑛 => 𝑛 + 1נוריד קודקוד עלה (יש כזה כי אין מעגלים בגרף) ואת הצלע אליו הוא מחובר
ונקבל 𝑛 − 1צלעות ,אז מלכתחילה היו 𝑛 צלעות ו 𝑛 + 1קודקודים.
26
𝑛
𝑛+1
נוסחת אוילר ()Euler's formula
משפט :6.12
לכל פאון 𝑃 שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
הוכחה:
נוכיח זאת בשלבים:
.1בהינתן פאון 𝑃 נבנה גרף פשוט 𝐺.
.2נמצא את העץ הפורש 𝑇 של הגרף 𝐺.
.3נבנה את הגרף הדואלי ∗ 𝐺 של 𝐺.
.4נמצא את העץ הפורש ∗ 𝑇 של הגרף ∗ 𝐺.
.5נפעיל את למת העזר על 𝑇 ו ∗ 𝑇.
27
נוסחת אוילר ()Euler's formula
משפט :6.12
לכל פאון 𝑃 שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
הוכחה (המשך):
.1נבחר באקראי פאה של 𝑃 ,נמחק אותה ואת החור שהתקבל נמתח עד שניתן יהיה להטיל
את מה שנותר על מישור בלי שאף שתי צלעות יחתכו (זהו בעצם תרשים שלגל של הפאון):
את הגרף שיתקבל נסמן ב 𝐺 ולו יש 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות כולל פאת החוץ ,כמו ל .P
28
נוסחת אוילר ()Euler's formula
משפט :6.12
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
הוכחה (המשך):
.2נבנה עץ פורש 𝑇 של הגרף 𝐺:
גם ל 𝑇 יש 𝑉 קודקודים
29
נוסחת אוילר ()Euler's formula
משפט :6.12
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
הוכחה (המשך):
.3נבנה את הגרף הדואלי ∗ 𝐺 של 𝐺:
קודקודי הגרף ∗ 𝐺 יהיו פאות של 𝐺 (זה כולל את הפאה החיצונית) ופאות הגרף ∗ 𝐺 יהיו
קודקודים של 𝐺.
לשני הגרפים אותו מספר צלעות 𝐸
30
נוסחת אוילר ()Euler's formula
משפט :6.12
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
הוכחה (המשך):
.4נמצא את עץ פורש ∗ 𝑇 של הגרף ∗ 𝐺:
נבחר את הצלעות של ∗ 𝑇 להיות הצלעות שלא בחרנו בבניית 𝑇.
כיוון שב 𝑇 אין מעגלים ∗ 𝑇 פורש את ∗ 𝐺.
ב ∗ 𝑇 אין מעגלים אחרת חלק מהקודקודים של 𝐺 היו נסתרים מהשער ו 𝑇 לא היה פורש את 𝐺.
לכן ∗ 𝑇 פורש את ∗ 𝐺.
31
∗𝑇
כחול𝑇 -אדום
נוסחת אוילר ()Euler's formula
משפט :6.12
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹 =𝐸+2
הוכחה (המשך):
.5נפעיל את למת העזר על 𝑇 ו ∗ 𝑇.
ב ∗ 𝑇 יש 𝐹 קודקודים ולפי הלמה 𝐹 − 1צלעות.
ב 𝑇 יש 𝑉 קודקודים ולפי הלמה 𝑉 − 1צלעות.
לפי בניית ∗ 𝑇 מספר הצלעות הכולל של ∗ 𝑇 ו 𝑇 זה בדיוק 𝐸.
לכן קבלנו:
𝐸 = )(𝐹 − 1) + (𝑉 − 1
𝑉+𝐹 =𝐸+2
∎
32
∗𝑇
כחול𝑇 -אדום
נוסחת אוילר ()Euler's formula
תרגיל :6.13
תבנה פאון 𝑃 ע"י הדבקה של 𝑘 תריסרונים בשורה ובדוק את נוסחת אוילר עבור 𝑃.
פתרון:
בתריסרון יש לנו:
𝑉 = 20
𝐸 = 30
𝐹 = 12
𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 20 − 30 + 12 = 2
אז בהדבקה של 𝑘 תריסרונים נקבל:
𝑉 = 20 ∗ 𝑘 − 𝑘 − 1 ∗ 5 = 15𝑘 + 5
𝐸 = 30 ∗ 𝑘 − 𝑘 − 1 ∗ 5 = 25𝑘 + 5
𝐹 = 12 ∗ 𝑘 − 𝑘 − 1 ∗ 2 = 10𝑘 + 2
𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 15𝑘 + 5 − 25𝑘 − 5 + 10𝑘 + 2 = 2
33
גנוס ()Genus
עד עכשיו כל הפאונים שראינו היו הומיאומורפים לכדור ,אבל טורוס-פאוני לדוגמה לא הומיאומורפי
לכדור אלא לטורוס עצמו.
את ההבדל בין כדור לטורוס ראינו בהרצאה קודמת ע"י השערת פואנקרה ),)Poincaré conjecture
כל מעגל על פני השטח של הכדור ניתן לכווץ לנקודה באופן רציף ובטורוס לא (מעגל סביב לטורוס).
ע"י הוספת חורים לפאון ניתן לקבל אינסוף פאונים שאף אחד מהם לא הומיאומורפי לאחר.
הגדרה:
מספר החורים בפאון נקרא הגנוס ( )genusשל הפאון.
כאשר מספר חורים זהו מספר מסילות פשוטות מקסימלי שלא חותכות זו את זו ,וכאשר
חותכים את פני השטח של הפאון לפי אותם המסילות הם נשארים קשירים.
34
פאון עם גנוס 4
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
ההנחה שעשינו כשהוכחנו את נוסחת אוילר היא שהפאון הומיאומורפי לכדור ,מה שבעצם
אפשר לנו לקחת ולהטיל את הפאון על מישור(טורוס לדוגמה אי אפשר להטיל על מישור באופן
רציף).
אז עכשיו ננסה להרחיב את הנוסחה גם לפאונים עם חורים (עם גנוס גדול מ .)0 -
מציאת הגנוס של הפאון הוא דבר לא קל(למטה) ,אבל זה ימצא לבד ע"י הנוסחה המורחבת.
לעומת זאת שאוילר הרכיב את הנוסחה שלו לפאונים ,זוהי אינווריאנטה טופולוגית למשטחים
יותר כלליים.
נקח משטח Sהומיאומורפים לפאון ,כדי לבדוק את נוסחת אוילר על המשטח נצייר גרף קשיר 𝐺
על המשטח 𝑆 שיחלק את 𝑆 לקודקודים ,צלעות ופאות ,אנו אומרים ש 𝐺 משוכן על 𝑆.
צלעות של 𝐺 יכולות להיפגש רק בקודקודים ,והפאות של 𝐺 הומיאומורפיות למצולעים.
35
כדור משוכן ע"י רשת ריבועית
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
הגדרה:
עבור משטח 𝑆 שמשוכן ע"י גרף 𝐺 ל 𝑉 קודקודים 𝐸 ,צלעות ו 𝐹 פאות ,המאפיין של אוילר של
המשטח הוא:
𝐹𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+
מכאן ניתן לראות שהמאפיין של אוילר של המשטח תלוי בגרף 𝐺 שמשוכן עליו ,אבל מהמשפט
הבא מסתבר שזה תלוי רק בגנוס של המשטח!
אז הנה נוסחת אוילר המורכבת שלראשונה הושגה ע"י Simon L'Huilierב .1813
משפט :6.15
עבור משטח 𝑆 עם גנוס 𝑔 המאפיין של אוילר של המשטח הוא:
𝑔𝜒 𝑆 = 2 − 2
הוכחה:
נוכיח באינדוקציה שלכל גרף 𝐺 שמשוכן על 𝑆 מתקיים:
𝐹 2 − 2𝑔 = 𝑉 − 𝐸 +
36
עבור 𝑔 = 0כבר הוכחנו זאת במשפט 6.12
𝑉−𝐸+𝐹 =2
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
משפט :6.15
עבור משטח 𝑆 על גנוס 𝑔 המאפיין של אוילר של המשטח הוא:
𝑔𝜒 𝑆 = 2 − 2
הוכחה (המשך):
אז בהינתן וזה נכון לכל גנוס קטן מ 𝑔 -נוכיח שזה נכון גם ל 𝑔:
נניח 𝑆 משטח עם גנוס 𝑔 ועליו משוכן גרף 𝐺 ,נבחר מעגל λב 𝐺 שלא מחלק את המשטח
לשניים (אפשרי אם גנוס גדול מאפס) ,ונחתוך את Sלאורך המעגל λונאטום את החורים בשתי
פאות חדשות ,נקבל משטח חדש 𝑆 ′עם גנוס .𝑔 − 1
לאורך המעגל λמספר הצלעות והקודקודים יוכפל ולכן לא ישנה את 𝑆 𝜒 אבל זה גם יוסיף שתי
פאות חדשות ולכן באינדוקציה נקבל:
𝜒 𝑆 + 2 = 𝜒 𝑆′ = 2 − 2 𝑔 − 1
𝑔𝜒 𝑆 = 2 − 2
37
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
נשים לב שההוכחה הייתה בלתי תלויה מחלוקת הגרף 𝐺 ,זה בעצם היה הוכח כתנאי התחלה
𝑔 = 0כאשר נעזרנו במשפט ,6.12משם פשוט שינינו את המספר באינדוקציה בלי להיזכר
מזה בכלל הגרף 𝐺.
בנוסף קבלנו תכונה גלובלית -גנוס ,מתכונה לוקלית של בחירת הגרף 𝐺 .מאפיין של אוילר
הפך למפתח בחקר מרחבים טופולוגיים כללים:
זה הסכום לסירוגין של מספרי בטי ( ,)Betti numbersשמכיל את הדרגה של קבוצות
הומולוגיה( )homology groupsלאותו מרחב.
לא נמשיך לחקור עוד בכיוון הזה D:אבל נשתמש בזה בפרק הבא להוכחת משפט גאוס-בונט
(.)Gauss-Bonnet
38
נוסחת אוילר ()Euler's formula
תרגיל :6.16
בדוק את נוסחת אוילר עבור הפאון הבא:
פתרון:
𝑉 = 32 ∗ 2 = 64
𝐸 = 57 ∗ 2 + 32 = 146
𝐹 = 22 ∗ 2 + 32 = 76
𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 64 − 146 + 76 = −6 ≠ 2
2 − 2𝑔 = −6
𝑔=4
39
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
תרגיל :6.17
מצא את המאפיין של אוילר ואת הגנוס של פאונים הבאים:
פתרון:
𝑉 = 26
𝐸 = 55
𝐹 = 27
𝜒 𝑆 = 𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 26 − 55 + 27 = −2
2 − 2𝑔 = −2
𝑔=2
40
𝑉 = 5 ∗ 6 = 30
𝐸 = 8 ∗ 6 + 3 ∗ 8 = 72
𝐹 = 6 + 3 ∗ 8 = 30
𝜒(𝑆) = 𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 30 − 72 + 30 = −12
2 − 2𝑔 = −12
𝑔=7
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
תרגיל :6.18
למרות שנוסחת אוילר מתוכננת למשטחים קשירים ,היא עובדת גם למשטחים כללים יותר.
מצא את המאפיין של אוילר עבור קובייה עם חלל ריק בצורת קובייה.
האם זה זהה לכל ספרה טופולוגית עם חלל ריק בצורת ספרה טופולוגית?
פתרון:
𝜒 𝑆 =2+2=4
𝑔 = −1
אותו דבר לכל ספרה טופולוגית.
41
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
נשים לב שממשפט )𝜒 𝑆 = 2 − 2𝑔( 6.15המאפיין של אוילר תמיד זוגי.
זה נכון לכל משטח סגור אבל עבור משטחים חתוכים זה יכול להיות גם אי זוגי (דוגמאות
בהמשך).
42
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
תרגיל :6.19
מצא את נמאפיין של אוילר עבור דיסק טופולוגי.
פתרון:
𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+𝐹 =3−3+1=1
2 − 2𝑔 = 1
𝑔 = 0.5
43
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
תרגיל :6.20
מצא את המאפיין של אוילר עבור קובייה פתוחה.
פתרון:
𝜒(𝑆) = 𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 8 − 12 + 5 = 1
2 − 2𝑔 = 1
𝑔 = 0.5
44
מאפיין של אוילר ()Euler's characteristic
תרגיל :6.20
מצא את המאפיין של אוילר עבור רצועה גלילית.
פתרון:
𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+𝐹 =4−6+2=0
2 − 2𝑔 = 0
𝑔=1
45
סוף
תודה על ההקשבה
46