Transcript תיאוריית החסם העליון

‫סמינר בגיאומטריה חישובית‬
‫פרק ‪ – 5‬חלק ‪Milestone 2: II‬‬
‫על מה נדבר היום‪:‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪.‬‬
‫הפאון המחזורי (‪.(The cyclic Polytope‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫‪Milestone 2:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר פאה של פאון קמור ‪ P‬להיות ‪ P‬עצמו או תת קבוצה של ‪ P‬מהצורה ‪P  h‬‬
‫באשר ‪ h‬הינו על‪-‬מישור אשר ‪ P‬מוכל כולו באחד מחצאי המרחב הסגור הנגזר מ ‪.h‬‬
‫‪ .2‬עבור קבוצה ‪ X  R d‬נקרא לנקודה ‪ x  X‬נקודה קיצונית לקבוצה אם‬
‫‪ X \ x ‬‬
‫‪x  CONV‬‬
‫נקודה קיצונית‬
‫לא נקודה קיצונית‬
‫‪2‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫‪Milestone 2:‬‬
‫משפט ‪ :1‬יהי ‪ P  R d‬פאון קמור חסום‪.‬‬
‫אזי הנקודות הקיצוניות של ‪ P‬הם קודקודיו‪ ,‬ו‪ P‬הוא הקמור של קודקודיו‪.‬‬
‫•‬
‫נשים לב כי ‪ P‬הינו קמור של מספר סופי של נקודות‪.‬‬
‫•‬
‫נסמן ב ‪ V m‬את קבוצת הנקודות המינימאלית שהקמור שלה הוא ‪.P‬‬
‫•‬
‫נסמן ב ‪ V v‬את קבוצת הקודקודים המייצגים את הקמור‪.‬‬
‫•‬
‫נסמן ב ‪ V e‬את קבוצת הנקודות הקיצוניות של ‪.P‬‬
‫על מנת להוכיח את המשפט נראה שמתקיים‪:‬‬
‫‪Vm  Vv  Ve‬‬
‫•‬
‫נשתכנע כי בדוגמא שלנו השוויון הנ"ל‬
‫‪v1‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪P:‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v9‬‬
‫אכן מתקיים כאשר‪:‬‬
‫‪v8‬‬
‫‪V m  V v  V e  v , v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 ‬‬
‫‪v6‬‬
‫‪v7‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪3‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫•‬
‫‪Milestone 2:‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה ‪.V m  V v  V e‬‬
‫‪ .1‬נשים לב כי מהגדרת נקודה קיצונית לקבוצה ‪ P‬מתקיים‪. V e  V m :‬‬
‫‪ .2‬נראה ‪ : V v  V e‬יהי ‪ v  V v‬קודקוד של ‪ ,P‬אזי קיים על‪-‬מישור ‪ h‬כך ש‬
‫‪P  h  v ‬‬
‫ו ‪ P \ v ‬נמצא באחד מחצאי המרחבים הפתוחים המוגדרים על ידי ‪ ,h‬לכן‬
‫‪P \ v ‬‬
‫הוא קמור‪ .‬סה"כ ‪ v  P‬אך )‪ v  conv ( P \ v ‬ולפיכך ‪ v‬נקודה קיצונית ולכן ‪v  V e‬‬
‫ונקבל ‪. V v  V e‬‬
‫‪ .3‬לבסוף נראה ‪ V m  V v‬ונקבל כי‪:‬‬
‫‪Ve  Vm  Vv  Ve‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪P:‬‬
‫‪1‬‬
‫אם כך יהי ‪ v  V m‬נראה ‪. v  V v‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v9‬‬
‫על מנת להראות ש ‪ v‬קודקוד של ‪P‬‬
‫‪v8‬‬
‫נראה כי קיים ‪ h v‬על‪-‬מישור אשר מכיל את‬
‫‪ P‬בצד אחד ו ‪. P  hv  v ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v6‬‬
‫‪v7‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪hv‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪4‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫‪Milestone 2:‬‬
‫‪ .4‬נסמן את הקמור )‪ C  conv (V m \ v ‬ממינימאליות ‪ V m‬נאמר ‪ , v  C‬ולכן הקבוצות‬
‫הקמורות ‪ C‬ו ‪ v ‬זרות זו לזו וניתן להעביר ביניהם על‪-‬מישור ‪ h‬המפריד ביניהם‪.‬‬
‫‪ .5‬נשים לב כי הקבוצה ‪ P \ hv  conv (V m ) \ hv‬הינה קמורה מכיוון שהיא מהווה חיתוך‬
‫של קבוצה קמורה עם חצי המרחב פתוח מ ‪ . h v‬כמו כן כל קטע ‪ vx | x  P \ hv‬חולק‬
‫אך ורק את הנקודה ‪ v‬עם על‪-‬מישור ‪. h v‬‬
‫‪ .6‬ראינו ‪ P \ hv‬קבוצה קמורה וכן ‪ v ‬קבוצה קמורה לכן גם ‪T  ( P \ hv )  v ‬‬
‫קבוצה קמורה‪.‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ .7‬מכיוון ש ‪ T‬קמורה ומכילה את ‪ V m‬היא‬
‫בהכרח מכילה גם את ) ‪P  conv (V m‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪P:‬‬
‫‪C‬‬
‫ולכן ‪ P  hv  v ‬כנדרש‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v9‬‬
‫‪v8‬‬
‫‪v6‬‬
‫‪v7‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪h‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪hv‬‬
‫‪5‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫משפט ‪ :2‬יהי ‪ P  R d‬פאון קמור חסום ותהי ‪ F‬פאה של ‪.P‬‬
‫אזי הקודקודים של ‪ F‬הם בדיוק הקודקודים של ‪ P‬הנמצאים ב‪ F‬ובנוסף הפאות של ‪ F‬הם‬
‫בדיוק הפאות של ‪ P‬אשר מוכלות ב‪.F‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪F‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪G‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪h‬‬
‫‪6‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫•‬
‫תחילה נראה כי הקודקודים של ‪ F‬הם בדיוק הקודקודים של ‪ P‬הנמצאים ב‪.F‬‬
‫נסמן ב‪ V‬את קבוצת הקודקודים עבור הפאון הקמור ‪ ,P‬ו‪ v 0 ... v n -‬את קודקודי ‪ P‬אשר ב‪.F‬‬
‫נשים לב כי ‪ , F  conv (V )  h‬כמו כן בשביל לקבל נקודות על ‪ h‬חייבים להשתמש רק‬
‫בקודקודי ‪ V‬הנמצאים על ‪ h‬ולכן משיקולים דומים לאלו שראינו במשפט הקודם‬
‫מתקיים‪ F  conv (V )  h  conv (V  h ) :‬ולכן ממשפט קודם כל הנקודות‬
‫הקיצוניות של ‪ F‬הם בדיוק הקודקודים של ‪ F‬ואלו הם בדיוק קודקודי ‪ P‬הנמצאים ב‪.F‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪F‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪P‬‬
‫‪7‬‬
‫פאות של פאונים קמורים‪:‬‬
‫•‬
‫נראה כי "פאה של פאה היא פאה" ולהיפך‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פאה (נסמנה ‪ )G‬של ‪ P‬המוכלת ב‪ ,F‬היא גם פאה של ‪ F‬שהיא עצמה פאה של ‪:P‬‬
‫נשתמש באותו על‪-‬מישור (ראה ‪ )h ‬על מנת להראות ש‪ G‬היא פאה של ‪ F‬וכן פאה של ‪.P‬‬
‫‪‬‬
‫פאה (‪ )G‬של פאה (‪ )F‬של ‪ ,P‬היא פאה של ‪:P‬‬
‫מהנחה ‪ F‬פאה של ‪ P‬לכן קיים על‪-‬מישור ‪ h‬כך ש‬
‫קיים על‪-‬מישור ‪ g‬כך ש‬
‫‪G Fg‬‬
‫וסה"כ נקבל‬
‫‪ Ph‬‬
‫‪ Ph g‬‬
‫מצד שני אם נסובב מעט את ‪ h‬סביב ‪( G‬ראה ’‪ h‬ב‬
‫‪II‬‬
‫‪ , F‬וכמו כן ‪ G‬פאה של ‪ F‬לכן‬
‫‪.G‬‬
‫) נוכל לומר כי ‪ G‬היא גם פאה של ‪P‬‬
‫באשר ‪ . G  P  h ‬בסעיף הקודם ראינו כי מדובר באותם הקודקודים ולכן הפאות שוות‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪g‬‬
‫‪P‬‬
‫‪I ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ II ‬‬
‫‪8‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫עקומת מומנט‪ :‬נגדיר את העקום ‪   ( t , t 2 ,  , t d ) : t  R ‬ב‬
‫‪d‬‬
‫‪R‬‬
‫כעקומת מומנט‪ .‬דוגמאות‪:‬‬
‫‪  ( t , t 2 , t 3 ) : t  R ‬‬
‫•‬
‫‪  ( t , t 2 ) : t  R ‬‬
‫נגדיר פאון מחזורי )‪ :(cyclic polytope‬הקמור של מספר נקודות סופי על‬
‫עקומת המומנט‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫נסמן עקומת מומנט כ ‪   ( t , t 2 ,  , t d ) : t  R ‬ב ‪. R d‬‬
‫•‬
‫למה ‪ :1‬כל על‪-‬מישור ‪ h‬חותך את עקומת המומנט ‪ ‬ב ‪ d‬נקודות לכל היותר‪.‬‬
‫כמו כן אם יש ‪ d‬נקודות חיתוך אזי לא יתכן ש ‪ h‬משיק ל ‪ ‬ולכן בכל נקודת חיתוך‬
‫‪ ‬עובר מצד אחד של ‪ h‬לצידו השני‪.‬‬
‫•‬
‫הוכחה‪ :‬נבטא את על‪-‬מישור ‪ h‬בעזרת המשוואה ‪ , a , x  b‬כאשר מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ . a1 x1  a 2 x 2    a d x d  b‬נשים לב כי נקודה ב ‪ ‬היא מהצורה ) ‪( t , t ,  , t‬‬
‫ואם נקודה זו נמצאת על ‪ h‬אזי מתקיים ‪ a1t  a 2 t 2    a d t d  b  0‬ולכן ‪ t‬הוא שורש‬
‫של פולינום (שונה מאפס) מדרגה ‪ d‬ולפי משפט קיימים לו לכל היותר ‪ d‬שורשים‪.‬‬
‫כמו כן אם ישנם ‪ d‬שורשים שונים אזי כולם חייבים להיות שורשים פשוטים מהצורה‪:‬‬
‫) ‪ Ph ( t )  ( t  z1 )( t  z 2 )  ( t  z d‬ליד כל אחד מהשורשים הפשוטים הפולינום מחליף‬
‫סימן ולכן נוכל להסיק כי ‪ ‬עובר מצד אחד של ‪ h‬לצידו השני‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫ניזכר כי ‪ facet‬הינה פאה ממימד ‪ d-1‬של הפאון‪.‬‬
‫•‬
‫נשים לב כי כל ‪ facet‬נקבעת בעזרת קבוצה )‪ (tuple‬של ‪ d‬קודקודים בלתי תלויים אפינית‪.‬‬
‫למשל בדוגמה עבור ריבוע ‪ d  2‬לכן ה ‪ facet‬הינה הפאה ממימד ‪( 1‬קשת)‬
‫וניתן לייצג כל ‪ facet‬בעזרת קבוצה של ‪ 2‬קודקודים‪.‬‬
‫‪facet #1  a , b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪facet # 4  d , a ‬‬
‫‪facet # 2  b , c ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪facet # 3  c , d ‬‬
‫•‬
‫‪d‬‬
‫אנו מעוניינים לעמוד את מספר ה‪ facets‬בפאון מחזורי‪ .‬לשם כך נעזר בקריטריון הזוגיות‬
‫של גייל על מנת לקבוע אילו קבוצות של ‪ d‬קודקודים מהוות ‪.facet‬‬
‫‪11‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫קריטריון הזוגיות של גייל‪ :‬תהי ‪ V‬קבוצת קודקודים של פאון מחזורי ‪ P‬עם סידור ליניארי‬
‫לאורך עקומת המומנט כך שקודקוד גדול יותר מייצג ערך גדול יותר של הפרמטר ‪.t‬‬
‫תהי‬
‫‪F  v 0 , v1 ,  v d 1   V‬‬
‫קבוצה של ‪ d‬קודקודים השייכים ל‪ P‬כך ש‬
‫אזי ‪ F‬מהווה ‪ facet‬של ‪ P‬אם ורק אם לכל שני קודקודים‬
‫‪u, v  V \ F‬‬
‫‪ v1    v d 1‬‬
‫‪.v 0‬‬
‫מספר הקודקודים‬
‫‪ v i  F‬המקיימים ‪ u  v i  v‬הינו זוגי‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪12‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬יהי‬
‫‪hf‬‬
‫על‪-‬מישור הנפרש על ידי ‪ ,F‬אזי ‪ F‬מהווה ‪ facet‬אם ורק אם כל הנקודות בקבוצה‬
‫‪ V\F‬נמצאות באותו צד של ‪. h f‬‬
‫‪ .2‬מכיוון שעקומת המומנט‬
‫נחלקה ל‪ d+1‬חלקים‬
‫‪‬‬
‫חותכת את‬
‫‪ 0 , ,  d‬‬
‫‪hf‬‬
‫בדיוק ב‪ d‬נקודות (הנקודות המייצגות את ‪)F‬‬
‫אשר כל אחד נמצא לחלוטין בצד אחד של ‪. h f‬‬
‫‪ .3‬לכן אם הקודקודים בקבוצה ‪ V\F‬מוכלים כולם בקטעים האי זוגיים כגון‬
‫‪ 1 ,  3 ,‬‬
‫כמו‬
‫בתמונה או לחילופין אם הם כולם מוכלים בקטעים הזוגיים ‪  0 ,  2 , ‬אזי ‪ F‬מהווה ‪.facet‬‬
‫‪ .4‬הנ"ל שקול לקריטריון גייל מכיוון שבין כל ‪ 2‬קודקודים ב ‪ V\F‬יש מספר זוגי של קודקודי ‪.F‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪13‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫משפט‪ :‬מספר ה ‪ facets‬בפאון מחזורי ממימד ‪ d‬עם ‪ n‬קודקודים כאשר ‪  n  d  1 ‬הינו‪:‬‬
‫(‪)i‬‬
‫עבור ‪ d‬זוגי‪.‬‬
‫(‪)ii‬‬
‫עבור ‪ d‬אי זוגי‪.‬‬
‫(‪)iii‬‬
‫‪. n‬‬
‫עבור מספר קבוע ‪ d‬מתקיים סדר גודל של‬
‫‪d /2‬‬
‫‪14‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬מקריטריון גייל נסיק כי מספר ה ‪ facets‬שווה למספר הדרכים לשבץ ‪ d‬מעגלים שחורים‬
‫ו‪ n-d‬מעגלים לבנים כך שישנו מספר זוגי של מעגלים שחורים בין כל שני מעגלים לבנים‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר סידור מזווג‪ :‬אנו נאמר כי סידור של מעגלים שחורים ולבנים הוא סידור מזווג אם‬
‫לכל קטע רציף של מעגלים שחורים יש אורך זוגי‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪15‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .3‬נשים לב כי מספר האפשרויות לסידורים המזווגים של ‪ 2k‬מעגלים שחורים ו ‪ n-2k‬מעגלים‬
‫לבנים הוא‬
‫‪.‬‬
‫מכיוון שעל ידי "מחיקת" כל מעגל שחור שני אנו מקבלים התאמה של "אחד על אחד"‬
‫בבחירת המיקומים של ‪ k‬מעגלים שחורים ב ‪ n-k‬מקומות‪.‬‬
‫נראה דוגמה עבור ‪ k=2‬ו ‪ .n=6‬במקרה זה ישנם ‪ 4‬כדורים שחורים ו‪ 2‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫מכיוון שהסידור מזווג‪ ,‬מעגלים שחורים יגיעו באורך זוגי‪ .‬ולכן הנ"ל יכול להיות (‪ 4‬בחר ‪6=)2‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪16‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .4‬עתה נחזור לבעיה המקורית‪ ,‬ונביט תחילה במקרה בו ‪ d‬אי זוגי מהצורה‬
‫‪d  2k  1‬‬
‫‪.‬‬
‫בסידור תקין של מעגלים אנו מחויבים לסידור מספר מעגלים שחורים אי זוגי בהתחלה‬
‫או בסוף (אך לא בשניהם)‪.‬‬
‫•‬
‫במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בהתחלה נמחק את המעגל השחור‬
‫הראשון ונסדר בזיווג ‪ 2k‬מעגלים שחורים ו‪ n-1-2k‬מעגלים לבנים כמו מקודם‪:‬‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בסוף נמחק את המעגל השחור‬
‫‪.‬‬
‫האחרון ונסדר בזיווג את המעגלים הנותרים‪:‬‬
‫סך הכל הנ"ל מבסס את הנוסחה עבור מקרה של ‪ d‬אי זוגי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪17‬‬
‫הפאון המחזורי‪:‬‬
‫•‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .5‬עבור ‪ d‬זוגי מהצורה‬
‫‪ 2k‬‬
‫‪ . d‬מספר המופעים העוקבים של מעגלים שחורים בהתחלה‬
‫יכול להיות זוגי או אי זוגי‪.‬‬
‫אפשרויות‪.‬‬
‫•‬
‫במקרה הזוגי מתקיים סידור מזווג קלאסי כהגדרתו אשר נסכם לכדי‬
‫•‬
‫במקרה האי זוגי נשים לב כי מתחייב שיישארו גם מספר אי זוגי של מעגלים שחורים‬
‫בסוף ולכן היות ובמקרה זה המעגל הראשון והאחרון נקבעו להיות שחורים "נמחק"‬
‫אותם (היות והם מקובעים במקומם לא נספור אותם בחישוב) לבסוף נקבל במקרה זה‬
‫סידור מזווג של )‪ 2(k-1‬מעגלים שחורים ו ‪ n-2k‬מעגלים לבנים המוסיפים לנו‬
‫אפשרויות‪.‬‬
‫•‬
‫סך הכל מסכימת האפשרויות בשני האפשרויות עבור ‪ d‬זוגי נקבל‪:‬‬
‫אפשרויות כנדרש‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫תיאוריית החסם העליון עוסקת בתכונה ייחודית של מספר הפאות בפאון המחזורי‪.‬‬
‫משפט החסם העליון‪ :‬מבין כל הפאונים הקמורים ממימד‬
‫‪d‬‬
‫עם‬
‫‪n‬‬
‫קודקודים‪ ,‬הפאון‬
‫המחזורי ממקסם את מספר הפאות בכל מימד‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫בפרק זה אנו נראה תוצאה משעורת על סדר הגודל למספר הפאות המקסימאלי‪.‬‬
‫משפט החסם העליון האסימפטוטי‪ :‬לפאון קמור ממימד‬
‫היותר‬
‫‪ facets‬ולכל היותר‬
‫עבור מספר קבוע ‪ d‬מתקיים סדר גודל של‬
‫‪d 1‬‬
‫‪d /2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫עם‬
‫‪n‬‬
‫קודקודים‪ ,‬יש לכל‬
‫פאות סך הכל‪.‬‬
‫עבור שני הגורמים‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫ראשית נראה נכונות משפט זה עבור פאונים סימפליציאלים (‪)simplicial polytope‬‬
‫בהם כל אחד מה ‪ facets‬מהווה סימפלקס‪.‬‬
‫•‬
‫סימפלקס הוא קמור של קבוצת נקודות בלתי תלויות אפינית ב‬
‫•‬
‫סימפלקס משוכלל ממימד ‪ d‬הוא קמור של ‪ d+1‬נקודות כאשר המרחקים בין כל ‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫נקודות זהה‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫יהי ‪ P‬פאון סימפליציאלי ממימד ‪ d‬אזי‪:‬‬
‫‪.I‬‬
‫מתקיים‬
‫‪.II‬‬
‫וכן‬
‫הנ"ל יוכיח את הטענה אסימפטוטית עבור פאונים סימפליציאלים מכיוון שמספר‬
‫הפאות ממימד‬
‫בהכרח קטן מ‬
‫‪ -‬מספר כלל‬
‫קבוצות‬
‫הקודקודים‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫נראה נכונות המשפט עבור פאונים סימפליציאלים‪.‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪d  d ‬‬
‫‪d  1  (    1)  d      ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫•‬
‫ניזכר כי מתקיים‪:‬‬
‫•‬
‫נעבור אל הפאון הדואלי הפשוט *‪ .P‬עלינו להראות כי מתקיים‬
‫וגם‬
‫•‬
‫נשים לב כי לכל פאה של *‪ P‬יש לפחות קודקוד אחד‪ ,‬וכל קודקוד של פאון פשוט ממימד ‪d‬‬
‫הוא חלק מ (‪)incident‬‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫פאות‪ .‬מכאן נקבל את האי שוויון הראשון‪.‬‬
‫עתה נחסום את מספר הקודקודים במונחי מספר הפאות ממימד‬
‫‪.‬‬
‫נסובב את הפאון *‪ P‬כך שלאף אחד מהקודקודים לא תהיה קורדינטה משותפת‬
‫‪.‬‬
‫(כך שאין קשת אופקית)‬
‫‪21‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫נביט על קודקוד ‪ v‬עם ‪ d‬קשתות מכוונות היוצאות ממנו‪.‬‬
‫קשתות היוצאות ממנו כלפי מטה או לפחות‬
‫לפי עקרון שובח היונים יש לפחות‬
‫קשתות כלפי מעלה‪.‬‬
‫•‬
‫במקרה בו לפחות‬
‫מהקשתות יוצאות כלפי מעלה כל קבוצה של‬
‫עולות מהוות פאה ממימד‬
‫•‬
‫במקרה בו לפחות‬
‫עבורה ‪ v‬הינו הקודקוד הנמוך ביותר‪.‬‬
‫מהקשתות יוצאות כלפי מטה כל קבוצה של‬
‫יורדות מהוות פאה ממימד‬
‫•‬
‫קשתות‬
‫קשתות‬
‫עבורה ‪ v‬הינו הקודקוד הגבוה ביותר‪.‬‬
‫להלן דוגמה עבור ‪ d=3‬כאשר ‪ 2‬קשתות עולות מ ‪ v‬ואכן בפאה המתאימה ממימד‬
‫‪v2‬‬
‫הינו הקודקוד התחתון ביותר‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫מתקיים שהקודקוד ‪ v‬הוא הנמוך ביותר‬
‫הראנו עתה שלפחות בפאה אחת ממימד‬
‫או הגבוה ביותר‪.‬‬
‫•‬
‫מכיוון שהקודקוד הנמוך והגבוה ביותר הינם ייחודיים בכל פאה‪ ,‬מספר הקודקודים הוא לא‬
‫יותר מפעמיים מספר הפאות ממימד‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫סך הכל נקבל את האי השוויון השני‪:‬‬
‫‪v‬‬
‫‪23‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫נותר לנו להראות את נכונות החסם העליון עבור פאונים אשר אינם סימפליציאלים‪.‬‬
‫•‬
‫למה ‪ :1‬לכל פאון קמור ‪ P‬ממימד ‪ d‬קיים פאון סימפליציאלי ‪ Q‬ממימד ‪ d‬כך שמתקיים‬
‫וגם‬
‫•‬
‫עבור ‪.k=1,2….,d‬‬
‫הוכחת למה ‪:1‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ V‬קבוצת הקודקודים של ‪ P‬ויהי‬
‫‪vV‬‬
‫נעבור על הקודקודים אחד אחד‪ .‬ונגדיר פעולת‬
‫‪  pushing‬באופן הבא‪:‬‬
‫נבחר קודקוד‬
‫‪v  P‬‬
‫במרחק לכל היותר ‪ ‬מ ‪ , v‬אשר אינה על אף על‪-‬מישור הנגזר‬
‫מקודקודי הקבוצה ‪ .V‬ונגדיר את הקבוצה ’‪ V‬להיות ‪. V   V \ v   v '‬‬
‫כך נעבור על כל קודקוד בקבוצה ‪ V‬ונבצע ‪  v pushing‬נקבל קבוצת קודקודים חדשה‬
‫המהווה פאון סימפליציאני‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫הוכחת למה ‪:1‬‬
‫‪ .2‬עלינו להראות שלכל פאון ‪ P‬עם קבוצת קודקודים ‪ V‬ולכל ‪ , v  V‬קיים‬
‫‪ 0‬‬
‫כך שדחיפת ‪‬‬
‫של ‪ v‬לא מפחיתה את מספר הפאות בפאון הפשוט הנוצר ‪.Q‬‬
‫‪ .3‬תהי ‪ U⊂V‬קבוצת הקודקודים של הפאה ממימד ‪ K‬של ‪ P‬עבור ‪ ,0 ≤k≤d-1‬נסמן ב’‪ V‬את‬
‫קבוצת הקודקודים שנוצרה מ ‪ V‬לאחר דחיפת ה ‪ ‬של הקודקוד ‪. v‬‬
‫•‬
‫•‬
‫אם ‪ v  U‬אזי לא הזזנו קודקוד ב‪ U‬ובהכרח ‪ U‬מהווה גם פאה של )’‪ ,conv(V‬לכן נניח כי ‪. v  U‬‬
‫אם‬
‫‪vU‬‬
‫וגם‬
‫נמצא בקמור האפיני של‬
‫‪v‬‬
‫‪U \ v ‬‬
‫אזי‬
‫‪U \ v ‬‬
‫מהווה פאה ממימד ‪ K‬עבור‬
‫)’‪.conv(V‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪U  v1 , v 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪25‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫הוכחת למה ‪:1‬‬
‫אם‬
‫‪vU‬‬
‫אך ‪ v‬אינו נמצא בקמור האפיני של‬
‫‪U \ v ‬‬
‫נראה כי‬
‫‪U   U \ v   v ‬‬
‫מהווה פאה‬
‫ממימד ‪ K‬עבור )’‪.conv(V‬‬
‫נשים לב כי הקמור האפיני של ‪ U‬זר לקבוצה הקומפקטית )‪.conv(V\U‬‬
‫אם נזיז את ‪ v‬במרחק קטן גם הקמור האפיני של ‪ U‬יזוז במרחק קטן‪.‬‬
‫לכן קיים‬
‫‪ 0‬‬
‫כך שאם נזיז את‬
‫‪v‬‬
‫במרחק ‪ ‬ממקומו המקורי הקמור של ‪ U‬ו)‪conv(V\U‬‬
‫יישארו זרים זה לזה ולכן ‪ U   U \ v   v ‬מהווה פאה ממימד ‪ K‬עבור )’‪ conv(V‬לאחר‬
‫דחיפת ה ‪ ‬של‬
‫‪v‬‬
‫‪.‬‬
‫‪U   v1 , v ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪U  v1 , v ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪26‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫‪ :h vector‬עבור פאון קמור ‪ P‬ב‬
‫‪d‬‬
‫‪R‬‬
‫נגדיר ‪ h vector‬מהצורה ‪ h0 , h1 ,..., hd ‬באשר‬
‫‪hi‬‬
‫הוא מספר הקודקודים אשר לכל אחד מהם יש בדיוק ‪ i‬קשתות היוצאות כלפי מעלה‪.‬‬
‫•‬
‫בפאון פשוט מתקיים‬
‫•‬
‫ניזכר בהגדרת ‪ f vector‬מהצורה ‪‬‬
‫‪h0  h d  1‬‬
‫עבור הקודקוד הגבוה והנמוך ביותר בהתאמה‪.‬‬
‫‪f 1 ,..., f d‬‬
‫‪  f 0 ,‬באשר‬
‫‪fi‬‬
‫מייצג את מספר הפאות‬
‫ממימד ‪ i‬ב‪.P‬‬
‫•‬
‫נבקש לקשור בין ה‪ h vector‬וה‪ f vector‬באופן הבא‪:‬‬
‫כל קודקוד ‪ v‬שנספר ב‬
‫הוא הקודקוד הנמוך ביותר עבור בדיוק‬
‫פאות ממימד ‪,k‬‬
‫ולכל פאה ממימד ‪ k‬יש בדיוק קודקוד אחד נמוך ביותר ולכן‪:‬‬
‫כאשר עבור ‪ i<k‬מתקיים‬
‫‪27‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫נביט בדוגמה הבאה‪.‬‬
‫אנו יודעים כי בקובייה מתקיים‪:‬‬
‫מס' הקודקודים‬
‫‪f0  8‬‬
‫מס' הקשתות‬
‫‪f 1  12‬‬
‫מס' ה‪facets‬‬
‫‪f2  6‬‬
‫הקובייה עצמה‬
‫‪f3  1‬‬
‫נחשב את ה ‪:h vector‬‬
‫‪6‬‬
‫‪h 0  1 | vertex  8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪h1  3 | vertices  4 , 6 , 7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪h 2  3 | vertices  2 , 3 , 5‬‬
‫‪h 3  1 | vertex  1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪28‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫‪h0  1‬‬
‫‪f0  8‬‬
‫‪h1  3‬‬
‫‪f 1  12‬‬
‫‪h2  3‬‬
‫‪f2  6‬‬
‫‪h3  1‬‬
‫‪f3  1‬‬
‫נשתכנע כי אכן מתקיים‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪29‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫באופן דומה נוכל להיעזר ב‪ f vector‬על מנת לשחזר את ה‪: h vector‬‬
‫נחזור ונציב לאחור‪:‬‬
‫‪h0  1‬‬
‫‪f0  8‬‬
‫‪h1  3‬‬
‫‪f 1  12‬‬
‫‪h2  3‬‬
‫‪f2  6‬‬
‫‪h3  1‬‬
‫‪f3  1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫ראינו כי מתקיים‪:‬‬
‫‪h0  1‬‬
‫‪f0  8‬‬
‫‪h1  3‬‬
‫‪f 1  12‬‬
‫‪h2  3‬‬
‫‪f2  6‬‬
‫‪h3  1‬‬
‫‪f3  1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫קיבלנו את נוסחת אוילר‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪31‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫כמו כן ראינו כי מתקיים‪:‬‬
‫‪h0  1‬‬
‫‪f0  8‬‬
‫‪h1  3‬‬
‫‪f 1  12‬‬
‫‪h2  3‬‬
‫‪f2  6‬‬
‫‪h3  1‬‬
‫‪f3  1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪32‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫ראינו אם כן כי נוכל להיעזר ב‪ f vector‬על מנת לשחזר את ה‪: h vector‬‬
‫•‬
‫נשים לב כי שכאשר הגדרנו את ה‪ h vector‬בחרנו כיוון מסוים אליו השוונו את מספר‬
‫הקשתות היוצאות כלפי מעלה מכל קודקוד‪ ,‬אולם עתה מהנוסחה הנ"ל אנו יכולים‬
‫להסיק את ה‪ h vector‬בעזרת ה‪ f vector‬והנ"ל נכון ללא קשר לכיוון שנבחר‪.‬‬
‫לכל ‪.i=0,1,…,d‬‬
‫•‬
‫על ידי הפיכה של ‪ P‬נוכל להסיק כי‬
‫•‬
‫השוויונות הנ"ל ידועות כ ‪ Dehn-Sommerville relations‬והם כוללות את הנוסחה‬
‫הסטנדרטית של אוילר עבור פאונים ממימד ‪. f 0  f 2  f 1  2 :3‬‬
‫‪33‬‬
‫תיאוריית החסם העליון‪:‬‬
‫•‬
‫סה"כ עבור פאון סימפליציאלי ‪ P‬נוכל להגדיר את ה‪ h vector‬בעזרת ה‪ h vector‬של‬
‫הפאון הדואלי הפשוט *‪ P‬כאשר‪:‬‬
‫•‬
‫נוכל לנסח את תיאוריית החסם העליון במונחי ה‪.h vector‬‬
‫לכל פאון סימפליציאלי ממימד ‪ d‬עם ‪ f 0  n‬קודקודים מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪34‬‬