Transcript Scissors Congruence in 3D

‫• חזרה קצרה‬
The Art Gallery Theorem •
‫ מימדים‬2-‫ ב‬Scissors Congruence •
‫ מימדים‬3-‫ ב‬Scissors Congruence •
‫הגדרות‬
‫מצולע פשוט – עקום סגור‪ ,‬רצוף וקשיר במישור המורכב מקבוצת קטעים‬
‫שאינם מצטלבים זה עם זה‬
‫גבול המצולע – קבוצת הקודקודים וקבוצת הצלעות‬
‫אלכסון במצולע – קטע המחבר ‪ 2‬צמתים במצולע כאשר כל הקטע נמצא‬
‫בתוך פנים המצולע‬
‫טריאנגולציה של מצולע ‪ -‬פירוק המצולע למשולשים עם מספר האלכסונים‬
‫המקסימאלי שלא נחתכים‪.‬‬
‫‪ – convex angle‬זווית שקטנה מ‪π-‬‬
‫‪ – reflex angle‬זווית שגדולה מ‪π-‬‬
‫מצולע קמור – מצולע שכל זוויותיו קמורות‬
‫פאון (‪ – )polyhedron‬גוף תלת מימדי המורכב מפאות היוצרות יחדיו גוף‬
‫קשיר‪ ,‬חסום וסגור‬
‫משפטים‬
‫• בכל מצולע עם יותר מ‪ 3-‬קודקודים‪ ,‬יש אלכסון‬
‫• לכל מצולע קיימת טריאנגולציה‬
‫• בכל טריאנגולציה של מצולע עם ‪ n‬קודקודים יש ‪ n-2‬משולשים‬
‫ו‪ n-3-‬אלכסונים‬
‫• אלכסון קיים בין כל שני קודקודים לא סמוכים במצולע ⟺ המצולע קמור‬
‫• מספר הטריאנגולציות של מצולע קמור עם ‪ n+2‬קודקודים הוא‬
‫(מספר קטלן)‬
‫• מספר הטריאנגולציות של מצולע כלשהו נע בין ‪ 1‬ל‪Cn-‬‬
‫• לא ניתן לבצע טריאנגולציה לכל פאון‬
‫הבעיה (‪)Victor Klee – 1973‬‬
‫גלריית אומנות עם רצפה בצורת מצולע‬
‫שומר יכול להיות מוצב בכל נקודה במצולע‬
‫שומר יכול לראות ‪ 360‬מעלות סביבו‬
‫מהו המספר המינימאלי של שומרים הדרושים כדי לשמור על כל הגלריה?‬
‫קצת הגדרות ודוגמאות לפני הבעיה עצמה‪..‬‬
‫מה זה לראות משהו באופן מתמטי?‬
‫נקודה ‪ x‬במצולע ‪ P‬נראית מנקודה ‪ y‬ב‪ P-‬אם הקטע ‪ xy‬נמצא כולו ב‪P-‬‬
‫מה זה לכסות מצולע בעזרת שומרים?‬
‫קבוצה של שומרים מכסה מצולע ‪ P‬אם כל נקודה ב‪ P-‬נראית‬
‫על ידי אחד השומרים‬
‫השאלה המתבקשת‪..‬‬
‫מהו המספר המינימאלי של שומרים הנדרשים לכיסוי מצולע?‬
‫זה תלוי ב"מורכבות" המצולע – מספר הקודקודים במצולע‬
‫זה לא מספיק‪..‬‬
‫המספר המינימאלי של שומרים בשני מצולעים עם אותו מספר קודקודים‪,‬‬
‫יכול להיות שונה‬
‫נחפש חסם על מספר השומרים הדרוש‬
‫לכיסוי כל מצולע עם ‪ n‬קודקודים‬
‫שאלה קטנה‬
‫שומר "חזק" – רואה מבעד לאנשים‬
‫שומר "חלש" – לא רואה מבעד לאנשים‬
‫האם ישנן גלריות בהן מספר השומרים ה"חזקים" המינימאלי הנדרש לכיסוי קטן ממש‬
‫ממספר השומרים ה"חלשים" המינימאלי הנדרש לכיסוי?‬
‫מצולעים חשובים ומספר השומרים הנדרשים בהם‬
‫משולש‪ ,‬מרובע ומחומש‪:‬‬
‫דרוש שומר אחד בלבד‬
‫מצולעים קמורים‪:‬‬
‫דרוש שומר אחד בלבד ולא חשוב היכן ימוקם‬
‫מצולעי ה"כוכב"‪:‬‬
‫דרוש שומר אחד בלבד‬
‫מצולע ה"מסרק"‪:‬‬
‫שומרים‬
‫דרושים‬
‫מצולע עם ‪ n‬קודקודים ו‪" -‬שיניים"‬
‫כל שומר "אחראי" על שן‬
‫תרגיל‬
‫בנה מצולע ומיקום של שומרים כך שהשומרים רואים את כל שפת המצולע‬
‫אך לא את כל פנים המצולע‪..‬‬
‫מה אנו יודעים עד כה על מספר השומרים הדרושים?‬
‫‪ ‬חסם תחתון לבעיה‬
‫‪ n-2 ‬חסם עליון לבעיה‬
‫אולי אפשר טוב יותר?‬
‫רעיון‪ :‬לאחר ביצוע טריאנגולציה‪,‬‬
‫הצבת שומרים בקודקודי המשולשים ולא בתוכם‬
‫משפט – ‪:The Art Gallery Problem‬‬
‫בשביל לכסות מצולע עם ‪ n‬קודקודים‪,‬‬
‫‪ .1‬דרושים לחלק מהמצולעים‬
‫שומרים‪:‬‬
‫‪ .2‬מספיקים לכל המצולעים‬
‫הגדרה‪" :‬אוזן" של מצולע‬
‫קודקודים ‪a,b,c‬‬
‫‪ ab,bc‬צלעות ו‪ ac-‬אלכסון ‪ b ‬נקרא "קצה האוזן"‬
‫משפט‪ :‬בכל מצולע עם יותר מ‪ 3-‬קודקודים יש לפחות שתי "אוזניים"‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי מצולע עם יותר מ‪ 3-‬קודקודים ותהי טריאנגולציה של המצולע‪.‬‬
‫בטריאנגולציה יש ‪ n-2‬משולשים‪.‬‬
‫בכל משולש יש לכל היותר שתי צלעות משפת המצולע‪.‬‬
‫לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬יש לפחות שני משולשים בהם יש שתי צלעות‬
‫משפת המצולע ‪ ‬יש לפחות שתי "אוזניים" במצולע‪.‬‬
‫הערה חשובה – שתי אוזניים לא חולקות צלע של המצולע‬
‫משפט – ‪:The Art Gallery Problem‬‬
‫בשביל לכסות מצולע עם ‪ n‬קודקודים‪,‬‬
‫‪ .1‬דרושים לחלק מהמצולעים‬
‫שומרים‪:‬‬
‫‪ .2‬מספיקים לכל המצולעים‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬ראינו במצולע ה"מסרק"‬
‫‪ .2‬הוכחה בשני שלבים‪:‬‬
‫א‪ .‬תהי טריאנגולציה של מצולע ‪ .P‬נראה שהיא ‪-3‬צביעה‪.‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על מספר קודקודי ‪:P‬‬
‫בסיס – ‪ :n=3‬טריאנגולציה של משולש היא‬
‫המשולש עצמו וברור כי משולש הוא ‪-3‬צביע‬
‫מעבר‪ :‬יש ב‪ P-‬אוזן ‪ abc‬כך ש‪ b-‬הוא קצה האוזן‪.‬‬
‫נגדיר ’‪ – P‬המצולע ‪ P‬ללא ‪.b,ab,bc‬‬
‫לפי ההנחה‪ P’ ,‬הוא ‪-3‬צביע ‪ P ‬הוא ‪-3‬צביע‬
‫ב‪ .‬לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬לפחות צבע אחד מופיע ≤ פעמים‪.‬‬
‫נמקם את השומרים בקודקודים אלו‪.‬‬
‫הכללות לבעיה שראינו‪:‬‬
‫• הגבלת הצורה של המצולעים‬
‫• הגדלת מגוון הצורות‬
‫• אפשרות תזוזה לשומרים‬
‫עוד משפטים‪:‬‬
‫• כדי לכסות את החוץ של מצולעים עם ‪ n‬קודקודים‪,‬‬
‫דרושים שומרים לחלק מהמקרים ומספר זה מספיק לכולם‪.‬‬
‫• כדי לכסות מצולעים עם ‪ n‬קודקודים שזוויותיהם ישרות בלבד‪,‬‬
‫דרושים שומרים לחלק מהמקרים ומספר זה מספיק לכולם‪.‬‬
‫‪Choose the‬‬
‫‪Minimal Color‬‬
‫‪4 colors‬‬
‫‪Coloring‬‬
‫‪Add‬‬
‫‪Diagonals‬‬
‫‪Convex‬‬
‫‪Quadrilateralization‬‬
‫‪Polygon‬‬
‫סיכום קצר על ‪ 2‬מימדים‬
‫• הצבת שומר בכל קודקוד זה לפחות פי ‪ 3‬יותר מהמספר המינימאלי הנדרש‬
‫• ההוכחה של ה‪ Art Gallery Problem-‬התבססה על כך שניתן לבצע‬
‫טריאנגולציה לכל מצולע‬
‫מה לגבי ‪ 3‬מימדים?‬
‫• מכיוון שלא ניתן לבצע טריאנגולציה לכל פאון‪ ,‬ההוכחה של‬
‫ה‪ Art Gallery Problem-‬לא תקפה כאן‬
‫• הצבת שומר בכל קודקוד לא מספיק תמיד על מנת לכסות את כל הפאון‬
‫מושגים‬
‫חיתוך של מצולע ‪ ,P‬חותך את ‪ P‬למספר סופי של מצולעים פשוטים קטנים יותר‬
‫חיתוך של ריבוע‬
‫חיתוך של ריבוע‬
‫לא חיתוך של ריבוע‬
‫בהינתן חיתוך של מצולע ‪ ,P‬ניתן לבצע סידור מחדש של המצולעים הקטנים‬
‫למצולע חדש ‪  Q‬ברור כי ל‪ P-‬ול‪ Q-‬יש את אותו השטח‬
‫אומרים כי המצולעים ‪ P,Q‬הם ‪"( scissors congruent‬חופפים לאחר גזירה")‬
‫אם ‪ P‬ניתן לחיתוך ל‪ P1,…Pn-‬מצולעים שיכולים להיות מסודרים מחדש כך‬
‫שנקבל את ‪Q‬‬
The
Greek Cross
‫משפט‪ :‬כל משולש הוא "חופף לאחר גזירה" עם מלבן כלשהו‬
‫הוכחה‪ :‬בהינתן משולש‪..‬‬
‫• בחר את הצלע הארוכה ביותר שלו כבסיס עם אורך ‪b‬‬
‫• בצע חיתוך אופקי במחצית הדרך מהבסיס לקודקוד המשולש העליון‬
‫• בצע חיתוך לאורך האנך מהקודקוד העליון לחיתוך האופקי‬
‫• סדר את החלקים מחדש למלבן‬
‫כאשר ‪ a‬הוא אורך האנך היורד מהקודקוד העליון‬
‫שטח המלבן =‬
‫לבסיס המשולש שבחרנו‬
‫משפט‪ :‬כל שני מלבנים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה"‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו שני מלבנים ‪ R1‬ו‪ R2-‬כאשר אורכם המלבנים הוא ‪ l1‬ו‪ l2-‬וגובהם‬
‫של המלבנים הוא ‪ h1‬ו‪ h2-‬בהתאמה‪.‬‬
‫נניח כי ‪ ,SR1 = SR2‬לכן מתקיים ‪.l1 * h1 = l2 * h2‬‬
‫• אם ‪ h1=h2‬סיימנו‬
‫• אחרת נניח בלי הגבלת הכלליות ש‪h2<h1≥l1<l2 :‬‬
‫• אם ‪ 2l1<l2‬נחתוך את ‪ R2‬באמצע לאורכו ונערום את שני החלקים שנוצרו‪.‬‬
‫אם עדיין ’‪ ,2l1’<l2‬נמשיך בפעולה שנעשתה עד שאי שוויון זה לא יתקיים‬
‫נשים לב – בכל שלב עדיין מתקיים ‪2h2=h2’<h1‬‬
‫• לבסוף מקבלים כי‪:‬‬
‫‪h2<h1≥l1<l2≥2l1‬‬
‫משפט‪ :‬כל שני מלבנים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה"‬
‫הוכחה (המשך)‪:‬‬
‫נשים את המלבנים‬
‫זה על זה ונעביר את‬
‫הישר ‪ xy‬באופן הבא‪:‬‬
‫נראה ‪ A1=A2‬ומכך ינבע כי ‪ B1=B2‬כיוון שלפי ההנחה ‪ SR1=SR2‬ו‪ C-‬שטח משותף‬
‫‪ A1‬דומה ל‪:∆xoy-‬‬
‫גובהו של ‪A1‬‬
‫היחס ב‪∆xoy-‬‬
‫בסיסו של ‪A1‬‬
‫‪‬‬
‫בסיסו של ‪A2‬‬
‫‪ A2‬דומה ל‪A1-‬‬
‫‪ A1 ‬ו‪ A2-‬חופפים‬
‫משפט‪ :‬כל שני מצולעים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה"‬
‫תכונה חשובה‪" :‬חפיפה לאחר גזירה" הוא יחס טרנזיטיבי‬
‫משפט‪ :‬כל שני מצולעים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה"‬
‫הוכחת המשפט‪:‬‬
‫יהיו ‪ P,Q‬שני מצולעים בעלי שטח זהה ‪s‬‬
‫• ניתן לבצע טריאנגולציה על ‪ P‬כך ש‪ P-‬יחתך ל‪ n-‬משולשים‬
‫• כל משולש הוא "חופף לאחר גזירה" למלבן‬
‫• כל מלבן הוא "חופף לאחר גזירה" למלבן בעל בסיס באורך ‪1‬‬
‫• נערום את כל המלבנים אחד על השני ונקבל מלבן עם‬
‫בסיס באורך ‪ 1‬וגובה ‪s‬‬
‫• את אותן פעולות ניתן לבצע על ‪Q‬‬
‫• מטרנזיטיביות יחס ה‪"-‬חפיפה לאחר גזירה"‪,‬‬
‫‪ P‬ו‪ Q-‬ניתנים ל"חפיפה לאחר גזירה"‬
‫הפעלת האלגוריתם על ‪:The Greek Cross‬‬
‫נניח‪ :‬שטחו של המצולע = ‪5/2‬‬
‫‪ ‬שטח כל משולש לאחר הטריאנגולציה = ‪1/4‬‬
‫‪ ‬אורך בסיסו של כל משולש = ‪1‬‬
‫‪ ‬אורך בסיסו של כל מלבן = ‪ 1‬וגובהו = ‪1/4‬‬
‫‪ ‬אורך בסיסה של ערימת עשרת המלבנים = ‪ 1‬וגובהה = ‪5/2‬‬
‫הפעלת האלגוריתם על ריבוע‪:‬‬
‫נניח שטחו של הריבוע = ‪5/2‬‬
‫‪ ‬שטח כל משולש לאחר הטריאנגולציה = ‪5/4‬‬
‫‪ ‬אורך בסיסו של כל משולש =‬
‫וגובהו =‬
‫‪ ‬אורך בסיסו של כל מלבן =‬
‫‪ ‬מכיוון שבסיסו של כל מלבן > ‪ 2*1‬יש צורך לבצע חיתוך‪:‬‬
‫וגובהו =‬
‫אורך בסיסו של כל מלבן חדש =‬
‫‪ ‬כעת יש לבצע חיתוך נוסף וסידור כך שמקבלים‪:‬‬
‫אורך בסיסו של כל מלבן חדש לאחר חיתוך = ‪ 1‬וגובהו = ‪5/4‬‬
‫‪ ‬אורך בסיסה של ערימת שני המלבנים = ‪ 1‬וגובהה = ‪5/2‬‬
‫ראינו כי ב‪ 2-‬מימדים‪ ,‬מצולעים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה"‬
‫האם זה נכון ב‪ 3-‬מימדים?‬
‫האם שני פאונים בעלי אותו נפח הם "חופפים לאחר גזירה"?‬
‫מסתבר שלא‪..‬‬
‫במצולע – הזוויות מוגדרות רק בקודקודים‬
‫בפאון – הזוויות מוגדרות גם לאורך כל צלע‬
‫כמה הגדרות‪:‬‬
‫זווית דו‪-‬מישור (‪ – )dihedral angle‬זווית המוגדרת בין שני מישורים‬
‫בפאון –זווית הדו מישור של צלע‬
‫היא הזווית בין שתי הפאות הסמוכות לה‬
‫באופן פורמאלי – הזווית המוגדרת בין‬
‫שני האנכים היוצאים מהצלע לשתי הפאות‬
‫הסמוכות לה‬
‫כמה הגדרות (המשך)‪:‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪ f:RQ‬המקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫כל פונקציה המקיימת תנאים אלא תקרא ‪d-function‬‬
‫זווית רציונאלית – זווית שהיא כפולה של מספר רציונאלי ב‪π-‬‬
‫זווית אי רציונאלית – זווית שהיא אינה כפולה של מספר רציונאלי ב‪π-‬‬
‫לכל ‪ d-function‬ולכל ‪ q∋Q‬מתקיים ‪πf(q*(=0‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫כמה הגדרות (המשך)‪:‬‬
‫לכל צלע ‪ e‬בפאון‪:‬‬
‫)‪ – l(e‬אורך הצלע‬
‫‪ – (e)ϕ‬זווית הדו מישור של הצלע‬
‫עבור פונקציה ‪ f‬שהיא ‪ – (e))ϕm(e) = l(e)*f( :d-function‬המסה של הצלע‬
‫‪– Dehn Invariant‬‬
‫משפט‪ :‬לכל פונקציה ‪ f‬שהיא ‪ d-function‬ולכל פאון ‪ P‬שגזרו אותו‬
‫לפאונים ‪ P1,…,Pn‬מתקיים‪Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn) :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫תהי פונקציה ‪ f‬שהיא ‪ d-function‬ויהי פאון ‪ .P‬לאחר גזירת ‪ P‬למספר‬
‫פאונים‪ ,‬כל צלע ‪ e‬של תת פאון כלשהו של ‪ P‬יכולה להיות רק באחת‬
‫מהאפשרויות הבאות‪:‬‬
‫נראה כי הסכום‬
‫‪ e .1‬מוכלת בצלע של ‪P‬‬
‫הנ"ל מתקיים‪.‬‬
‫‪ e .2‬נמצאת בפנים של ‪ P‬על אחת מפאותיו‬
‫‪ e .3‬נמצאת בפנים של ‪ P‬ממש‬
‫ שגזרו אותו‬P ‫ ולכל פאון‬d-function ‫ שהיא‬f ‫ לכל פונקציה‬:‫משפט‬
Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn) :‫ מתקיים‬P1,…,Pn ‫לפאונים‬
:)‫הוכחה (המשך‬
P ‫ מוכלת בצלע של‬e .1
ϕ(e) = the diredral angle of P along e
ϕ1)e),…,ϕk(e) – the set of dihedral angles of P1,…,Pk along e
l(e)*f(ϕi(e)) – the mass contributed by Pi along e
:‫ לאחר הגזירה היא‬e ‫סך הכל המסה של‬
‫משפט‪ :‬לכל פונקציה ‪ f‬שהיא ‪ d-function‬ולכל פאון ‪ P‬שגזרו אותו‬
‫לפאונים ‪ P1,…,Pn‬מתקיים‪Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn) :‬‬
‫הוכחה (המשך)‪:‬‬
‫‪ e .2‬נמצאת בפנים של ‪ P‬על אחת מפאותיו‬
‫במקרה זה סכום כל הזוויות הינו ‪ π‬לכן מקבלים כי‬
‫כלומר‪ ,‬אין כל מסה לצלע שנוצרה לאחר הגזירה של ‪P‬‬
‫ונמצאה על פאה של ‪P‬‬
‫‪ e .3‬נמצאת בפנים של ‪ P‬ממש‬
‫באופן דומה למקרה ‪ 2‬מקבלים כי‬
‫ושוב לצלע מסוג זה אין כל מסה‬
‫‪ ‬סך הכל המסה לאחר הגזירה של ‪ P‬תלויה רק בצלעות ‪ ,P‬כל צלע‬
‫מופיעה פעם אחת בלבד וסכום אורכי הצלעות לאחר הגזירה=)‪l(e‬‬
‫‪ ‬סכום המסות לאחר הגזירה = המסה של הפאון לפני הגזירה‬
‫משפט‪ :‬יהיו ‪ P,Q‬פאונים ותהי פונקציה ‪ f‬כלשהי שהיא ‪.d-function‬‬
‫אם )‪ Df)P)≠Df(Q‬אז ‪ P‬ו‪ Q-‬אינם חופפים לאחר גזירה‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נוכיח בשלילה‪.‬‬
‫נניח כי ‪ P‬ו‪ Q-‬חופפים לאחר גזירה‪.‬‬
‫‪‬ישנה גזירה של ‪ P‬לפאונים ‪ P1,…,Pn‬כך שניתן להרכיב מהם את ‪Q‬‬
‫‪‬לפי המשפט הקודם‪ Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn)=Df(Q) :‬בסתירה!‬
‫סוף סוף הגענו לתוצאה‪..‬‬
‫דוגמה נגדית לכך ששני פאונים בעלי בסיס שניתן לחפיפה לאחר‬
‫גזירה‪ ,‬גובה זהה ואותו נפח אינם ניתנים לחפיפה לאחר גזירה‪...‬‬
‫‪ 3‬צלעות מאורך ‪1‬‬
‫וזווית דו מישור‪:‬‬
‫‪ 3‬צלעות מאורך‬
‫וזוויות דו מישור‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ Df(T1)≠Df(T2‬עבור ‪ f‬מסוימת‬
‫‪ T1,T2 ‬אינם ניתנים לחפיפה לאחר גזירה‬
‫קבוצת זוויות הדו מישור היא‪:‬‬
‫‪ ‬לכל פונקציה ‪ f‬שהיא‬
‫‪ d-function‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ ‬נבחר פונקציה ‪ f‬שהיא ‪d-function‬‬
‫המקיימת‪Df(T2)≠0 :‬‬
‫‪T1‬‬
‫‪T2‬‬
‫נניח כי ‪ l(e) = 1‬לכל ‪ e‬בקובייה‬
‫משפט שלא נוכיח‪:‬‬
‫הפאונים ‪ P‬ו‪ Q-‬ניתנים לחפיפה לאחר גזירה אם )‪ Df(P)=Df(Q‬לכל‬
‫פונקציה ‪ f‬שהיא ‪d-function‬‬