Differentialrechnung

Mathematikdidaktik B 5. Januar 2010 Daniela Hinz

Was haben wir heute vor?

1) Grundvorstellungen des Ableitungsbegriffs 2) Einführung in die Differenzialrechnung 3) Notation 4) Didaktische Rekonstruktion im Unterricht 5) Kurvendiskussion

1) Grundvorstellungen des Ableitungsbegriffs Mind map

2) Einführung in die Differenzialrechnung

Gruppenarbeit:

1) weitere Grundvorstellungen vom Ableitungsbegriff + geometrisch: Tangente 2) alternativ: Argumentieren im Matheunterricht 3) Computer: CAS (Geogebra) • • • Welches Vorwissen benötigen die Schüler? Was ist der didaktische Nährwert?

Begründet, ob, wann und wie ihr diese Methode/ Arbeitsblätter im Unterricht einsetzen würdet!

3) Notation

Welche Notation?

4) Didaktische Rekonstruktion im Unterricht • • • Studie: Steffen Hahn (seine Promotionsarbeit), Susanne Prediger Forschungsbereich: Didaktische Rekonstruktion Basis: konstruktivistische Lerntheorien Ziele: a) Conceptual Change: Vorstellungsänderung b) ergänzen zusätzlicher alternativer Vorstellungen, situationsangemessene Aktivierung der richtigen Vorstellungen  Bedeutung von Vorwissen  Studie zu Vorwissen

TEST 1: Studenten

• • Wie viele haben die Fragen richtig beantwortet?

Wo liegen die Probleme?

• • • 42% erste Frage richtig 47% zweite Frage richtig Probleme: Ebenenwechsel: Bestand – Änderung, insbesondere: Gegensinnige Kovariation

•

TEST 2: Schüler

Test zum Vorwissen von Schülern Aufgabe der Schüler: -täglicher Umsatz Graph: interpretieren und in inhaltlich bedeutsame Phasen einteilen -Umsatzänderungsgraphen zeichnen

Ergebnisse der Studie

7 von 17 Interview paare: erste Zeichnung wie Klaus

Ergebnisse der Studie

• • • Phaseneinteilung von Henner und Martina 12 Interviewpaare (von 24) legten Phasengrenzen intuitiv auf Wendepunkte und Extremstellen Weitere Interviewpaare legten Intervall um Wendepunkt herum als Intervall mit der höchsten Steigung fest

Fazit aus der Studie

• • • Schüler haben schon weitreichende Vorstellungen Probleme: Ebenenverwechslungen, gegensinnige Kovariation Schüler erkennen Wendepunkte und Extrema als bedeutsame Stellen (ohne Begriffe zu kennen)  geeigneter Unterichtseinstieg

Einstieg über die Ableitung als momentanes/ lokales Änderungsverhalten Zeitungsartikel: Neuverschuldung gesunken  es gibt Wachstumsprozesse mit gegensinnig orientierter Kovariation  Unterscheidung Bestand und Änderung  Einführung der Begriffe lokaler Extrempunkt und Wendestellen als Punkte, an denen sich die Qualität des Wachstums ändert  formaleres Rechnen

Einstieg über die Ableitung als momentanes/ lokales Änderungsverhalten • Erfolge dieser Unterichtssequenz: Schüler machten weniger Fehler als Studenten aber dennoch bei gegensinniger Kovariation nur 60% richtig • Außerdem: Schüler beschrieben in der Studie oft Steigung in Prozent  Möglichkeit der Gegenüberstellung: wann ist was nützlich

Mittagspause!!!

Kurvendiskussion: ja oder nein?

• • • • Bedeutung von Kurvendiskussionen: Anwendung der Differentialrechnung Rasches Skizzieren des Graphen Herleitung theoretischer Ergebnisse allgemeine Untersuchungen (Funktionen mit Parametern/ Kurvenscharen)

Veränderung des Vorgehens bei der Kurvendiskussion 1.Nullstellen

2.Extremstellen

3.Wendepunkte 4. Zeichnen 1. Monotoniebereiche 2. lokale und globale Extremstellen 3. Krümmungsbereiche (kann entfallen) 4. Wendestellen (kann entfallen) 5. Skizze 6. Nullstellen (eventuell mit Näherungsverfahren)

Alternative Aufgaben

Zeichnerisches Ermitteln der Lösungen von Gleichungen/ Ungleichungen

• •

½ (-x 3 + 9x 2 - 24x + 15) = 0 ½ (-x 3 + 9x 2 - 24x + 15) > 0

Beweis von Ungleichungen

• Zeige, dass für alle reellen Zahlen x gilt:

x 4 - x 2 + 1 > 0

Ermitteln Anzahl der Lösungen einer Gleichung/ Ungleichung

Es soll eine gerades quadratisches Prisma (Quader) mit dem Volumen V= 8 m

3

und dem Oberflächeninhalt O=26 m

2

hergestellt werden. Begründe, dass es genau zwei solche Prismen gibt.

f(x) = x 3 – 13x + 16

Untersuchen der Lösungsmenge einer Gleichung/ Ungleichung

Für welche reellen Zahlen c ist die Lösungsmenge der Ungleichung x

3 - 3x 2 > 0

ein zusammenhängendes Intervall?

Überlegungen zur Differenzierbarkeit mit CAS • • • • Untersuchung der Funktionen

f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 - 8x-5 und g(x) = | x - 1 |

Zeichnen der Graphen Zeichnen der Ableitungsfunktionen Vergrößern des Bereiches um x Differenzenquotienten betrachten für Annäherung an x rechts 0 0 = 1 = 1 von links und von

Laut TÜV darf die maximale Steigung nur 60% sein. Erfüllt die geplante Rutsche diese Bedingung?