Transcript BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA 2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal)

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
2.1 Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat
aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a. y  2 x 2  5
b. y  x 2  9
Definisi:
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana
himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan
semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi
A
B
f
Notasi: f : A →B
x
y = f(x)
Daerah asal
Daerah hasil
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi
itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x
dan y memenuhi:
2
f  {( x, y ) / 2 x  5}
x
0
1
-1
2
-2
y
5
7
7
13
13
…
10
205
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);
(2,13);(-2,13);(10,205)
Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.
1
Catatan:
1. Himpunan A, B є 
2. Fungsi:
y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df }
5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }
y
y = f(x)
y
Wf
x
x
Df
Soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian
tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.
a. y = 2x + 1
b. y = x2 - 1
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a.
b.
c.
d.
Secara verbal :
Secara numerik :
Secara visual :
Secara aljabar :
dengan uraian kata-kata.
dengan tabel
dengan grafik
dengan aturan/rumusan eksplisit
2
Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai
satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons)
Biaya B(w) (rupiah)
0<w ≤ 1
1.000
1< w ≤ 2
1.250
2<w ≤3
1.500
3<w ≤4
1.750
4<w ≤5
2.000
3. Secara visual
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
B
R
u
p
i
a
h
2.000
1.500
1.000
w
0
1
2
3
Ons
4
5
3
4. Secara aljabar
Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi
berikut.
1.000, jika 0  w  1
1.250, jika 1  w  2

B ( w)  1.500, jika 2  w  3
1.750, jika 3  w  4

2.000, jika 4  w  5
2.2 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi linear
Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta
a = kemiringan garis
b = perpotongan garis dengan sumbu-y
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = 
y
Grafik:
y = ax + b
b
x
2. Polinomial
Bentuk umum:
y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,
n = derajat polinom ( an 0)
Daerah asal:
Df = 
4
Grafik:
Polinom derajat 2:
y
y = P(x) = ax2 + bx + c,
D = b2 - 4ac
y = P(x)
y
y
x
c
x
a < 0, D > 0
c
x
y = P(x)
c
y = P(x)
a < 0, D = 0
y
a < 0, D < 0
y
y
y = P(x)
y = P(x)
c
c
x
y = P(x)
c
x
a > 0, D > 0
x
a > 0, D = 0
a > 0, D < 0
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
a. y = x2 + 2x - 1
b. y = -2x2 + 2x - 4
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn ,
Daerah asal: Df = 
Grafik:
y
0
y=x
x
y
0
nє
y
y = x2
x
0
y = x3
x
5
4. Fungsi akar
Bentuk Umum: y  f ( x)  n x ,
n  2,3, 4,...
Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap
Df = , Wf = , jika n ganjil
y
Grafik:
y
y2 x
y3 x
x
0
0
x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a. y 
x 1
y  x2  2 x  2
b.
5. Fungsi kebalikan
Bentuk umum: y 
1
,
x
x0
Daerah asal dan daerah hasil:
Grafik:
Df =  - {0}, Wf =  - {0}
y
y
0
1
x
x
6
6. Fungsi rasional
Bentuk umum:
Daerah asal:
y
P( x)
Q( x) dimana: P, Q adalah polinom
Df =  - { x | Q(x) = 0}
Contoh:
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
x2
x 1
a. y 
b. y  2
x 1
x 1
7. Fungsi aljabar
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a. f ( x) 
x 1
x 1
b. f ( x) 
x 2
x2  1
 ( x  2) 3 x  1
Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.
7
8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
y
Grafik:
y = sin x
1
-2π
π
0
-π
2π
x
-1
8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
Grafik:
y
y = cos x
1
π
-π
-2π
0
2π
x
-1
8.3 Fungsi tangen
sin x
,
cos x
Daerah asal : Df =  - {π/2 + nπ | n є }
Daerah hasil: Wf = 
Bentuk umum: y  f ( x)  tan x 
x dalam radian
8
y
Grafik:
y = tan x
1
-2π
--π
0
π
2π
x
-1
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
Bentuk umum:
1
, x dalam radian
cos x
1
b. y  f ( x)  cosec x 
, x dalam radian
sin x
1
c. y  f ( x)  cot x 
, x dalam radian
tan x
a. y  f ( x)  sec x 
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1
b. -1 ≤ cos x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π)
d. cos x = cos (x + 2 π)
e. tan x = tan (x + π)
9
9. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f(x) = ax,
a>0
Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0,
Grafik:
y
) 
y
y = ax , a > 1
y = ax , 0 < a < 1
1
1
x
0
0
1
x
1
10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x,
a>0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0,
Grafik:
), Wf = 
y
y = loga x
1
0
1
x
10
11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri
invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
Contoh:
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
1. f ( x)  4 x  1
3. f ( x)  10 x
5. f ( x)  log10 x
7. f ( x)  2t 5    t 2
2. f ( x )  tan 2 x
4. f ( x ) 
x6
x6
x2
6. f ( x)  x 
x2
log10 x
8. f ( x)  x10 
2 x  x2
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(piecewise function)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah
fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku
pada bagian tertentu dari daerah asal.
y
Contoh:
x0
x
1. f ( x) | x | 
 x x  0
y = |x|
1
x
-1 0
1
11
x

2. f ( x)   2  x
0

y
0  x 1
y = f(x)
1 x  2
x2
x
0
1
2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan x.
y
y = f(x)
0  x 1
0
3
1
1

x

2

2
f(x) = x 
2 x3
1
2
=
3
x
3 x 4
0
1
2
3
4
Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.
y
f(x)
-x
y = f(x)
x
x
Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
12
Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.
y
y = f(x)
f(x)
-x
x
x
-f(x)
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi
ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4
c. f(x) = x2 + cos x
b. f(x) = x + sin x
d. f(x) = 2x - x2
14. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
y
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika
f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
y
y = f(x)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
Fungsi f naik
x
y = f(x)
x1
x2
Fungsi f turun
x
13
Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi
turun pada selang I.
I = [0,  )
I = [  , 2]
a. f(x) = x2
b. f(x) = sin x
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian
3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi
a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x) + c
y
y = f(x+c)
y = f(x)
y = f(x-c)
c
c
c
c
y = f(x) - c
x
14
2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan
faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak
dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar
dengan faktor c.
4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar
dengan faktor c.
y
y
y = 2 cos x
2
2
y = cos x
1
y = cos x
y = ½ cos x
1
y = cos 2x
0
π
2π
x
0
-1
-1
-2
-2
π
x
2π
y = cos ½ x
15
c. Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y
y
y = f(x)
y = f(x)
y = f(-x)
f(x)
f(x)
x
x
-x
x
x
y = -f(x)
-f(x)
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1. f(x)= |x-1|
3. f(x)= sin 2x
2. f(x) = x2+2x+1
4. f(x) = 1 - cos x
16
OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Df+g = Df
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Df-g = Df
Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x)
Dfg = Df
Dg.
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Df/g = {Df
Dg.
Dg.} – {x | g(x)= 0}
Contoh:
Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
1. f ( x)  x 2
g ( x)  x
2. f ( x)  1  x
g ( x)  1  x
Komposisi fungsi
Definisi: [Komposisi fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f(g(x))
di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
17
Dg
a
x
g
Wg Df
f
Wf
g(a)
g(x)
f(g(x))
f°g
Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
1. f ( x)  x 2
1
2. f ( x) 
x
g ( x)  x
g ( x)  x  1
18