Slide 1

NUMBER
THEORY
(PART 1)
ง30301 คณิตศาสตรดิ
์ สครีต


Slide 2

จำนวนเต็มกับกำรหำรลงตัว


Slide 3

Q: Which of the following is true?
1. 77 | 7
2. 7 | 77
3. 24 | 24
4. 0 | 24
5. 24 | 0


Slide 4

A:
1.

77 | 7: false because bigger number
can’t divide smaller positive number

2.
3.
4.
5.

7 | 77: true because 77 = 7 · 11
24 | 24: true because 24 = 24 · 1
0 | 24: false, only 0 is divisible by 0
24 | 0: true, 0 is divisible by every
number (0 = 24 · 0)


Slide 5


Slide 6


Slide 7

จำนวนเฉพำะ (Prime Numbers)

11
 15
 51


79
 1001



Slide 8

Programming

จงเขียนโปรแกรมตรวจสอบว่ำ
จำนวนเต็มบวก N เป็ นจำนวน
เฉพำะหรือไม่
 ตัวอย่ำง


Input N: 13
It is a prime number.


Slide 9

ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต


Slide 10


Slide 11





การพิจารณาจานวนเต็มบวกทีม
่ ค
ี ามากๆ
วาเป็
่
่ น
จานวนเฉพาะหรือไม่ ?

จะไดว
p n
้ า่
ถา้ n ไมมี
่ ตวั หารทีเ่ ป็ นจานวนเฉพาะ p ซึง่

แลวจะได
ว
้
้ า่ n จะเป็ นจำนวนเฉพำะ


Slide 12

ตัวอย่ำง




103 เป็ นจานวนเฉพาะหรือไม่
จานวนเฉพาะทีน
่ ้ อยกวาหรื
่ 103อเทากั
่ บ คือ 2, 3, 5
และ 7
เนื่องจาก 2, 3, 5 และ 7 หาร 103 ไมลงตั
ว
่
ดังนั้น 103 เป็ นจำนวนเฉพำะ
693 เป็ นจานวนเฉพาะหรือไม่
จานวนเฉพาะทีน
่ ้ อยกวาหรื
่ 693อเทากั
่ บ คือ 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19 และ 23
เนื่องจาก 3 หาร 693 ลงตัว

จำนวนประกอบ

ดังนั้น 693 เป็ น


Slide 13

ทาแบบฝึ กหัดขอ
3
้
และ 4
 สุ่มผู้โชคดีตอบ
แบบฝึ กหัด 8 คน



Slide 14

จงหำตัวประกอบที่เป็ นจำนวนเฉพำะของ
77077 มำทัง้ หมด


Slide 15

จงหำตัวประกอบที่เป็ นจำนวนเฉพำะของ
77077 มำทัง้ หมด


Slide 16

จงหำตัวประกอบที่เป็ นจำนวนเฉพำะของ
77077 มำทัง้ หมด


ดังนัน้ จะได้
77077 = 77 11 11 13 = 72
112 13


Slide 17

ทาแบบฝึ กหัดขอ
7
้
 สุ่มผู้โชคดีตอบ
แบบฝึ กหัด 4 คน



Slide 18

ขัน้ ตอนวิธีกำรหำร



เรียก a วา่



เรียก b วา่



เรียก q วา่



เรียก r วา่

ตัวตัง้
ตัวหำร
ผลหำร
เศษที่เหลือจำกกำรหำร a ด้วย b


Slide 19

a = bq
ตัวอย่ำง จงหำเศษ r จำกกำรหำร


หาร 400 ดวย
120
้
 เนื่องจาก



หาร 140 ดวย
-72
้
 เนื่องจาก



400 = 120(3)+40
140 = -72(-1) + 68

หาร 5 ดวย
7
้
 เนื่องจาก

5 = 7(0) + 5

ทำแบบฝึ กหัดข้อ 5
 สุ่มผูโ
้ ชคดีตอบคำถำม 4 คน


+r
ดังนั้น r = 40
ดังนั้น r = 68
ดังนั้น r = 5


Slide 20

ตัวหำรร่วมมำก
The greatest common divisor
(GCD)







(3, 9) = 3
(10, 15) =5
(-8, 16) =8
(6, 15) = 3







(-6, 15) =
3
(-7, 0) = 7
(17, 13) 1=
(42, 56) 14
=


Slide 21

ข้อสังเกต


Slide 22

บทนิยำม 4.5


ให้ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ไม่เป็ นศูนย์พร้อม
กัน
จะกล่ำวว่ำ a และ b เป็ นจำนวนเฉพำะ
เป็ นจ
สัมพัทธ์ก็(28,
ต่อเมื5)่อ (a,
b) านวนเฉพาะ
=1
สั มพัทธ ์
(17,
28)
เป็ นจานวนเฉพาะ
สั มพัทธ ์
 (8, 56)
ไมเป็
 (13,
่ นจานวน
เฉพาะสั มพัทธ ์
65)



Slide 23

บทนิยำม 4.6


จะกล่ำวว่ำจำนวนเต็ม a1, a2, …, an เป็ น
1 i  j  n
จำนวนเฉพำะสัมพัทธ์เป็ นคู่ ก็ต่อเมื่อ (ai, aj)
= 1 โดยที่
จงพิจำรณำว่ำจำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ
ต่อไปนี้ เป็ นจำนวนสัมพัทธ์เป็ นคู่หรือไม่






17, 35, 64
3, 5, 11
38, 43, 99
19, 29, 39, 49


Slide 24

วิธีหำ ห.ร.ม. โดยใช้รปู แบบ
บัญญัติ


ให้ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ไม่เป็ นศูนย์และ
เขียนอยู่ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่ำ


Slide 25

ตัวคูณร่วมน้ อย
The least common multiple
(LCM)

[3, 6] =
 [15, 20] =
 [8, 4] =


[6, 10] =
 [12, 10] =
 [11, 5] =



Slide 26

วิธีหำ ค.ร.น. โดยใช้รปู แบบ
บัญญัติ


ให้ a และ b เป็ นจำนวนบวกและเขียนอยู่ใน
รูปแบบบัญญัติ จะได้ว่ำ


Slide 27

พิจำรณำ (24, 36) = 12 และ [24, 36] = 72
จะสังเกตว่ำ 2436 = 864
1272 = 864

นัน่ คือ (24, 36)[24, 36] = 2436 = 864

ทฤษฎีบท 4.8

ให้ a และ b เป็ นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่ำ
ab = (a, b)[a, b]


Slide 28

ทาแบบฝึ กหัดบทที่ 4
ขอ
21
้
 สุ่มผู้โชคดีตอบ
แบบฝึ กหัด 4 คน



Slide 29

Programming
(ch4_1.cpp)เขียนโปรแกรมแสดงตัว
ประกอบทีเ่ ป็ นจานวนเฉพาะของเลข
จานวนเต็มบวก N
 (ch4_2.cpp) เขียนโปรแกรมรับเลข
จานวนเต็ม 3 ตัวแลวตรวจสอบว
าเป็
้
่ น
จานวนเฉพาะสั มพัทธกั
์ นเป็ นคู่ (pairwise
relatively prime)หรือไม่
