Slide 1

ГБОУ школа № 302
Фрунзенского района
Санкт-Петербурга

ПОДОБНЫЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ
9 класс

Учитель математики
Щербань Т.А.


Slide 2

Пропорциональные отрезки
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е.
AB
A
C

CD

D

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если
AB
CD



A1 B1
C 1 D1

B


Slide 3

Определение подобных
треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого.
B

B1
A

C

A1

C1

Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников,
называется коэффициентом подобия
k 

AB
A1 B1



BC
B1 C 1



AC
A1C 1


Slide 4

Отношение площадей подобных
треугольников
Отношением площадей двух подобных треугольников равно
квадрату коэффициента подобия B
S ABC

k

B1

2

S A1 B1C 1

A

C

A1

C1

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
A
BD
DC



AB
AC

или

BD
AB



DC
AC

B

C
D


Slide 5

Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум
углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Дано:
B
ABC, A1B1C1,
B1
A = A1, B = B1
Доказать:
ABC A1B1C1

A

C

A1

C1


Slide 6

Признаки подобия треугольников
II признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то такие треугольники подобны
Дано:
B
ABC, A1B1C1, AB  AC
B1
A1 B1
A1C 1
A = A1

Доказать:
ABC A1B1C1

A

C

A1

C1


Slide 7

Признаки подобия треугольников
III признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
B
Дано:
B1
ABC, A1B1C1,
AB
A1 B1



BC
B1 C 1



AC
A1C 1

Доказать:
ABC
A1B1C1

A

C

A1

C1


Slide 8

Применение подобия к доказательству
теорем
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий
середины двух сторон
B
Средняя линия треугольника
N
M
параллельна одной из его сторон
и равна половине этой стороны
C
A
Дано:
ABC, MN – средняя линия
Доказать:
1
MNAC, MN = AC
2


Slide 9

Применение подобия к решению
задач
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая
делит каждую медиану в отношении 2 : 1,считая от вершины
B
AO
A1O



BO
B1 O



CO
C 1O



2
1

C1

O

A

A1

C
B1


Slide 10

Применение подобия к решению
задач
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, разделяет треугольник на два подобных
прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен
данному треугольнику.
C
ABC ACD,
ABC CBD
ACD CBD

A

D

B


Slide 11

Применение подобия к доказательству
теорем
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на
которые делится гипотенуза этой высотой
C

CD 

AD  DB

A

D

B


Slide 12

Применение подобия к доказательству
теорем
2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,
заключенным между катетом и высотой, проведенной из
вершины прямого угла.
C

AC 

AB  AD ,

BC 

AB  DB

A

D

B