Transcript Презентация "Подобные треугольники " - school

ПОДОБНЫЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ
© Т.И.Каверина, 2009
Пропорциональные отрезки
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е.
AB
CD
A
C
B
D
Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если
AB A1 B1

CD C1 D1
Определение подобных
треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого.
B
B1
A
C
A1
C1
Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников,
называется коэффициентом подобия
AB
BC
AC
k


A1B1 B1C1 A1C1
Отношение площадей подобных
треугольников
Отношением площадей двух подобных треугольников равно
квадрату коэффициента подобия B
S ABC
 k2
S A1B1C1
B1
A
C
A1
C1
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
A
BD AB
BD DC

или

DC AC
AB AC
B
C
D
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум
углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Дано:
B
ABC, A1B1C1,
B1
A = A1, B = B1
Доказать:
ABC A1B1C1
A
C
A1
C1
Признаки подобия треугольников
II признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то такие треугольники подобны
Дано:
B
ABC, A1B1C1, AB  AC
B1
A1 B1 A1C1
A = A1
Доказать:
ABC A1B1C1
A
C
A1
C1
Признаки подобия треугольников
III признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
B
Дано:
B1
ABC, A1B1C1,
AB
BC
AC


A1B1 B1C1 A1C1
Доказать:
ABC
A1B1C1
A
C
A1
C1
Применение подобия к доказательству
теорем
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий
середины двух сторон
B
Средняя линия треугольника
N
M
параллельна одной из его сторон
и равна половине этой стороны
C
A
Дано:
ABC, MN – средняя линия
Доказать:
1
MNAC, MN = AC
2
Применение подобия к решению
задач
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая
делит каждую медиану в отношении 2 : 1,считая от вершины
B
AO BO CO 2



A1O B1O C1O 1
C1
O
A
A1
C
B1
Применение подобия к решению
задач
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, разделяет треугольник на два подобных
прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен
данному треугольнику.
C
ABC ACD,
ABC CBD
ACD CBD
A
D
B
Применение подобия к доказательству
теорем
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на
которые делится гипотенуза этой высотой
C
CD  AD  DB
A
D
B
Применение подобия к доказательству
теорем
2.
Катет
прямоугольного
треугольника
есть
среднее
пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,
заключенным между катетом и высотой, проведенной из
вершины прямого угла.
C
AC  AB  AD ,
BC  AB  DB
A
D
B