Transcript Le calcul à `école élémentaire
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Le calcul
aux cycles 2 et 3
Animation pédagogique
Septembre et Octobre 2010
Circonscription de Loudéac
Olivier LE MERCIER – CPC - IEN de Loudéac
Philippe CHEVÉ – Maître E - RASED de Loudéac
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Sommaire
J’ai lu pour vous : document Eduscol
Les techniques opératoires
Le calcul mental
Conclusion - Synthèse
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« J’ai lu pour vous »
Des idées fortes du document Eduscol
du 8 septembre 2010
sur « Le nombre au cycle 2 »
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Pourquoi ce document…
Ce corpus de textes se propose d’aider les enseignants
dans la mise en œuvre des programmes 2008 au cycle 2,
en favorisant la continuité des apprentissages de la
maternelle à l’élémentaire.
Dans chacun des articles, les auteurs apportent des
éléments didactiques et pédagogiques et font des
propositions concrètes de mise en œuvre.
Le choix a été fait de commencer par les questions
numériques au cycle 2, car une bonne approche du
nombre à ce niveau est essentielle pour la suite des
apprentissages en mathématiques mais aussi dans les
autres domaines.
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Les mathématiques, regard sur 50 ans de
leur enseignement à l’école
fin des années 50 et début des années 60, calcul et arithmétique (du CP au
CEP) reposaient sur la parfaite maîtrise des quatre opérations, la
connaissance opératoire du système métrique et la capacité à résoudre
des problèmes parfois sophistiqués.
en 1970, l’apparition des mathématiques modernes. Le postulat sur lequel
reposait la réforme était que, sous-jacentes aux activités cognitives et à
leur développement, dont celles liées au calcul et à la résolution de
problèmes, se situaient des savoirs et savoir-faire plus abstraits et plus
fondamentaux relatifs à la logique.
Depuis 1977, 1978 et 1980, (y compris ceux de 1985, 1995 et 2002) des
programmes rédigés autour de deux axes centraux :
les connaissances se construisent
la notion de problème est centrale
Les programmes 2008 marquent un tournant : L’importance de la mémoire
et des automatismes dans l’acquisition des savoirs et savoir-faire est
soulignée.
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De nouveaux savoirs scientifiques sur les difficultés
que rencontrent les élèves en mathématiques
1ère difficulté : Le passage au symbolique
Apparemment, la perception des quantités et de leurs
transformations, la possibilité de les comparer, constituent des
capacités de base ne nécessitant pas d’apprentissage.
En revanche, la mise en correspondance de ces quantités
avec des systèmes de symboles, qu’il s’agisse de la suite
orale des nombres, des configurations de doigts, des abaques
ou des chiffres arabes pose problème à tous les enfants.
La compréhension de la numération de position et sa
mobilisation dans la résolution des opérations nécessitent un
enseignement long sans doute jusqu’en fin de CE2.
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De nouveaux savoirs scientifiques…
2ème difficulté : Passage des transformations
(analogiques) aux opérations (symboliques)
Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et
facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait,
partage…) laisse souvent à penser à tort qu’ils maîtrisent ou au moins
comprennent les opérations.
Cette surestimation est d’autant plus vraie lorsque lesdites opérations ne
font que simuler le déroulement des opérations.
Ex :
Si Paul a 3 billes et que je lui en donne 4, le fait de transcrire 3 + 4 = 7
n’assure en rien que l’addition est acquise !
C’est en variant les situations que l’élève peut être amené à découvrir le
sens des opérations élémentaires et en généraliser l’utilisation en
s’éloignant d’une conception immature qui associe de manière sommaire
des transformations et des opérations.
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De nouveaux savoirs scientifiques…
Il est établi que l’efficacité de la résolution des opérations passe
à la fois par l’apprentissage et l’exercice de procédures (par
exemple en calcul mental) jusqu’à leur automatisation, ceci afin
de réserver l’attention aux activités qui ne peuvent être
automatisées :
compréhension des énoncés,
raisonnement,
rapport entre les unités dans les grandeurs et mesures
…
Et passe aussi par la mémorisation de connaissances telles
que les tables.
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Les techniques
opératoires
Exemples de techniques
Intérêts d’une pratique régulière
Slide 10
L’addition
Manipuler avec l’abaque
483 + 534
Slide 11
483 + 534
4 8 3
+ 5 3 4
10 11 7
Manipuler pour mieux
appréhender la technique
et/ou la comprendre.
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L’addition
1
7 4 5
+ 2 8 4
1 0 2 9
1
7 4 5
+ 2 8 4
1 0 2 9
1
Avec un code couleur…
7 4 5
+ 2 8 4
1 0 2 9
Slide 13
745 - 284
6
7 14 5
- 2 8 4
4 6 1
Des remarques
éventuelles ?!
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La soustraction
6
-
6 7 14 5
1 2
8 4
1
5 4 6 1
Et s‘il y a des
0…
6 7 14 5
- 1 2 8 4
5 4 6 1
-
7
8
1
6
9
0
2
7
9
0 10
8 4
1 6
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Cela pourrait être aussi…
-
6 7 14 5
1 2 8 4
5 5 6 1
4
Cette technique est toute aussi valable, mais
non conventionnelle (d‘ailleurs, elle vient de
nous).
Son défaut est de présenter un résultat peu
lisible.
Elle permet d‘avoir une rapide estimation et
validation (au sens de « Est-elle possible ? »)
du résultat.
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La multiplication
5 9
X
7
1
1
4 7 8
4 2 8 6
4 7 6 4
8
8
4
0
4
7
6
6
5
6
5
7
6
5 9
X
7
1
1
4 7 8
4 2 8 6
4 7 6 4
8
8
4
.
4
L‘alignement, la formalisation du décalage
le code couleur, la place des retenues
peuvent varier.
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La multiplication, c’est aussi…
654x28=
600
50
4
8
4 800
400
32
5 232
20
12 000
1 000
80
+ 13 080
18 312
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La division
5 9 6 4 5
-4
1 116
8
-1 0
1 8
8 4
-8
4 0 5
1 2
4 9 7 0
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La division à l’anglaise…
4 9 7 0
1 2
5 9 16 84 5
1
r5
Avec un seul chiffre au diviseur, c‘est
plus simple…
8 9 5 4
8
7 1 76 43 38
r6
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Ce qu’il faut retenir…
Il est souhaitable que du CP au CM2, l’équipe pédagogique
se mette d’accord sur :
la technique que l’on va utiliser
la présentation que l’on va demander
le code couleur que l’on va adopter au départ
Cette unité tout au long de l’école élémentaire sera
particulièrement structurante, en particulier pour les élèves
en difficulté.
La pratique régulière des opérations de calcul permet de
réinvestir et consolider des connaissances (les tables en
particulier) et certaines compétences de calcul mental
(exemple de la division). Elle permet également de mettre un
grand nombre d’enfants en situation de réussite (rassurant).
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Intérêts d’une pratique régulière
La pratique régulière du calcul posé permet :
une consolidation des connaissances des tables,
une amélioration de la connaissance des propriétés
que les nombres entretiennent entre eux,
de mettre les enfants en situation de réussite,
de se libérer des problèmes de calcul lors de la
résolution de problèmes,
...
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Le calcul mental
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Si on commençait par un calcul !
Sans calcul posé, trouvez le résultat du
calcul suivant :
87²
= 7569
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Quelle est la procédure ?
87² = 7400 + 13²
avec 87 + 13 = 100 et 87- 13 = 74
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La démonstration
-a
-a
y = 100 – 2a
x² = (100 – a)²
x²
x² = 100² + a² - 200a
x² = 100 y + a²
Effectuer maintenant :
100
x² = 100 (100 – 2a) + a²
Cas où x = 87 : 87² = (100 x 74) + 13²
89²
94²
85²
= 7 921
= 8 836
= 7 225
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Pourquoi cet exercice ?
Pour vous mettre dans la situation d’un élève rencontrant un calcul dont la
procédure lui est inconnue et lui semble à priori complexe. C’est pas facile !!
Montrer que des pré-requis sont indispensables :
carrés des nombres jusqu’à 15 (si x ou = à 85)
compléments à 100
soustraction sur des nombres à 100
De même pour un élève, 54 x 9 :
distributivité 54 x 9 = 54 x (10 – 1)
décomposition de 54 en 40 + 14
passage par la centaine inférieure 540 – 40 – 14
Montrer qu’un entraînement est nécessaire pour fixer la procédure
Montrer que le calcul mental nécessite une attention soutenue.
Il permet de recentrer le groupe-classe et permet à l’enseignant
de se poser comme expert devant les élèves.
Vous :
plaisir de savoir maintenant effectuer ce type de calcul,
un certain plaisir intellectuel (peut-être pas pour tous !).
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On pourrait aller plus loin…
987²
= 974 000 + 13² = 974 169
Rem : C’est plus facile que 87² !!
idem pour une séance avec des élèves :
- 9 puis – 99 puis - 19
x 9 puis x 99 puis x 19
…
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Point sur les différentes
appellations rencontrées dans
les programmes
ou
les différents types de calcul
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Première distinction
Les programmes distinguent:
Calcul mental
Calcul posé
Aucun moyen de
poser l’opération et
pas de calculatrice
à disposition
Possibilité d’utiliser
une technique
opératoire
Calcul instrumenté
Calculatrice à disposition
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Calcul réfléchi
Calcul mental
Calcul
Résultat
Résultat
automatisé
exact
Approché
Mémorisation de
résultats.
Mise en place
de procédures
Ordre de
grandeur
Aucun écrit
intermédiaire
Ecrits
intermédiaires
Contrôle d’un
résultat
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Définitions du calcul mental
L’expression « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et
l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée
(technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support
écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du
résultat voire même dans le cours du calcul. (doc d’accompagnement
des programmes)
C’est un moment privilégié de l’apprentissage pour :
enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité,
accroître la familiarisation de l’élève avec les nombres et les
opérations,
faire fonctionner et s’approprier les propriétés de ces dernières,
enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul.
(Denis Butlen et Monique Pézard)
Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi qu’une part
d’initiative et de choix. (doc d’accompagnement des programmes)
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De l’importance
du calcul mental…
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Pourquoi instaurer quotidiennement des
séances de calcul mental ?
Analyse de vos réponses
Quelques pistes :
les problèmes où l’élève se débat avec les nombres au
lieu de se focaliser sur son raisonnement,
les résultats incohérents dus à une mauvaise maîtrise du
nombre,
amélioration de l’habileté intellectuelle,
plaisir intellectuel,
On peut, pour le calcul mental, distinguer deux fonctions :
une fonction sociale
une fonction pédagogique
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Une fonction sociale
Il est d’abord un calcul d’usage. Il s’agit de mettre en place
des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante,
en l’absence de supports ou d’instruments. Dans cette
perspective, trois types d’objectifs peuvent être distingués :
l’automatisation des calculs simples, orientée vers la
production de résultats immédiatement disponibles :
récupération en mémoire ou reconstruction instantanée,
procédures automatisées.
la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul
réfléchi ou raisonné.
une première maîtrise du calcul approché, souvent utilisé
dans la vie courante et dont l’apprentissage doit se poursuivre
au collège.
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Une fonction pédagogique
En mathématiques, il joue un rôle prépondérant car :
Il permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières
connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers
naturels (relation additives, ou multiplicatives entre les nombres).
La pratique du calcul réfléchi s’appuie, le plus souvent implicitement, sur
les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première
compréhension.
Les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en
permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le
recours au calcul mental (proportionnalité, fractions,…).
Le calcul réfléchi nécessite l’élaboration de procédures originales et, par
là, contribue au développement des capacités de raisonnement.
Le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes,
en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel
les opérations deviennent plus familières (essai avec des nombres plus petits).
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Vive l’esprit critique
Utilisez-vous tous les mêmes techniques opératoires ?
Effectuez les 4 opérations suivantes :
46 x 34
57 x 17
76 x 25
63 x 37
Évidemment, un élève posera les 4 opérations. Par contre
vous, adultes maîtrisant le calcul mental, vous n’avez pas été
sans remarquer que 76 x 25 pouvait se calculer de tête !
76 x 25 = (76 ÷ 4) x 100 = 19 x 100 = 1 900
« L’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les
enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les
algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un
établissement insuffisant du calcul mental. » (doc d’accomp.
des programmes)
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On peut en conclure :
Que le temps passé à
faire du calcul mental est
du temps de gagné dans
de nombreuses autres
activités mathématiques !
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Quelle est la différence entre calcul mental et
calcul posé ?
Calcul posé : travail sur les chiffres des nombres
Calcul mental : travail sur les nombres, et donc sur la
connaissance des nombres
exemple : 128 + 256
Certains élèves vont trouver un résultat à 4 chiffres sans que
cela leur pose un problème. Si on demande à cet élève de
revoir son calcul, il va très souvent d’abord réinterroger sa
technique opératoire. Il vérifiera d’abord la pertinence de
chaque chiffre du résultat et non le résultat lui-même.
Or, le résultat est bien 384 (nombre) et non 3 8 4 (suite de chiffres)
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Des constats dans les pratiques de classe
D’après le rapport IGEN de 2006 (maths au cycle 3) :
Le temps consacré au calcul mental en France est
massivement inférieur à une heure par semaine.
Lors des observations de l’Inspection générale, seule une
séance sur trois démarre par un temps de calcul mental.
De plus :
Des séances plutôt consacrées au calcul automatisé.
Quelques séances consacrées au calcul réfléchi (peu de
structuration des procédures).
Très peu de travail autour du calcul approché.
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Notre avis sur l’apprentissage des tables
Un élève de CM1 ne devrait pas avoir à compter
systématiquement sur ses doigts (même quand les
doigts sont virtuels) pour un résultat appartenant à la
table d’addition. Les tables doivent être totalement
automatisées afin que l’élève puisse entrer de manière
aisée dans des procédures de calcul plus complexes.
La table dite de Pythagore (terme qu’on emploie un
peu abusivement pour nommer également la table
d’addition) est un très bon outil de repérage et de
manipulation, mais pas un outil d’apprentissage « par
cœur » des tables d’addition et de multiplication.
Pour la mémorisation des tables, ce n’est pas faire
œuvre de passéisme pédagogique que de passer par
des comptines de tables chantées ou chantonnées.
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Voici un exemple de table de Pythagore
qui essaie de respecter un semblant de
proportionnalité.
Les résultats posant le plus de problèmes
de mémorisation sont écrits en grands, et
sont ainsi mis en valeur dans la table.
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Résultats
assez faciles
à retenir
Résultats
plus difficiles
à retenir
Résultats
plus difficiles
à retenir
Résultats
posant souvent des
difficultés de mémorisation
aux élèves
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Le paradoxe de l’automatisation
L’enseignement du calcul mental, selon Denis Butlen
dans le document Eduscol 2010, est paradoxal :
Trop peu d’automatismes (au sens de trop peu de
procédures automatisées) peuvent renforcer
l’automatisme (au sens de comportement automatisé,
sans adaptabilité (NDLR)),
Exemple : recours systématique de certains élèves à un algorithme
écrit pour rechercher des résultats d’opérations mentales.
Davantage d’automatismes peuvent donc permettre
d’échapper à l’automatisme.
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Automatisation et adaptabilité
Augmenter le capital de procédures de
calcul automatisées permet de mettre en
œuvre ou d’améliorer l’adaptabilité de
l’élève face à un calcul.
Exemple :
45 + 16 45 + 10 + 6 ou 45 + 5 + 11 ou
40 + 5 + 10 + 6 ou 45 + 20 – 4 ou …
Mais :
45 + 19 45 + 10 + 9 ou 45 + 5 + 14 ou
40 + 5 + 10 + 9 ou 45 + 20 – 1 ou …
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La mémoire ou plutôt les mémoires
On peut en distinguer deux :
la mémoire à court terme ou mémoire de travail
la mémoire à long terme
Si elles sont puissantes, elles ne sont pas élastiques !
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La mémoire à court terme
Jeu : « le train des nombres » (de 0 à 9)
une personne du groupe dit un nombre
une deuxième répète ce nombre puis en dit un autre (de façon
aléatoire)
…et ainsi de suite, jusqu’à la première erreur
Elle a une capacité limitée (jusqu’à 7 unités environ)
Jeu : redire la dernière suite de nombres proposée
Logiquement, échec !
La mémoire de travail est volatile (3 à 30 s)
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La mémoire à long terme
Jeu : mémorisez la suite de nombres suivants :
13 17 19 23 29 31 37 41 43
Cette suite dépasse la capacité de travail.
Quelqu’un a-t-il mémorisé cette suite ? Comment as-tu fait ?
C’est la suite des nombres premiers démarrant à 13 !
Dans la mémoire de travail, divisée en 7 « cellules », seule la première est
utilisée pour conserver le nombre 13. La mémoire de travail va chercher
l’information dans la mémoire à long terme qui connaît les « premiers »
nombres premiers ou qui peut reconstruire cette suite.
On a intérêt à développer la mémoire à long terme afin d’éviter
la surcharge de la mémoire de travail.
Rem : certains phénomènes sont capables de mémoriser des dizaines de
pages de chiffres ! (construction d’un réseau de relation entre les nombres ;
nombres deviennent des images mentales…)
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L’instinct « grégaire » des nombres
Abus de langage ? Peut-être !
Toujours est-il que la notion de nombre n’existe que si
l’élève a mis en place des relations entre les nombres.
Plus le réseau de relations est dense, plus l’élève a
d’habiletés dans la manipulation du nombre.
Par exemple :
Quart de 100
Carré de 5
10 + 10 + 5
Double de 12,5
25
moitié de 50
20 + 5
impair
…
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Construire une séance type d’un
calcul procédural nouveau
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Une proposition de séance pour
aborder une nouvelle procédure
Échauffement
rapide :
Activation prérequis
Proposition d’un
nouveau calcul
(exemple : x 9)
Application :
apprendre à utiliser
la procédure
retenue.
Synthèse : garder une trace écrite.
Langages littéral ET mathématique
Exemple :
• Multiplier un nombre par 9, c’est
multiplier le nombre par 10 puis
enlever une fois le nombre.
• 17 x 9 = (17 x 10) – (17 x 1)
Trace écrite sur un affichage mural,
dans un cahier de calcul procédural…
Dans un premier
temps, laisser les
élèves explorer
différentes
procédures
personnelles.
Récolement de
plusieurs procédures
à expliciter par les
élèves.
Retenir la plus
efficiente.
Faire émerger
oralement par les
élèves la trace à
conserver.
Les différentes étapes de la séance
Mais ce
n’est
pas
tout….
Rôle du maître
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Il faudra…
Les jours suivants, s’entraîner
pour systématiser la nouvelle
procédure jusqu’à son
acquisition :
Les mois suivants, pensez à
réactiver la procédure qui
aura pu être oubliée.
Procédé dit La Martinière
Calculs rapides écrits
Jeux mathématiques
Logiciels de mathématiques…
Programmer des séances de
consolidation ou de rappel.
Pour favoriser la
mémorisation,
prévoir un court
moment de
rappel dès le
premier soir (5
min.)
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Recommandations horaires du
document Eduscol
Type d’activité
Entraînement Consolidation Systématisation
Découverte ou
explicitation d’une
procédure
Fréquence
Durée
Procédé
chaque jour
10 à 15
min
La Martinière
une fois par
semaine
30 min
Voir diapos
précédentes
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Quelques exemples d’activités
pour la systématisation
Nous avons choisi de vous proposer des
exercices ou des jeux qui permettent de
développer :
des connaissances de calcul
des compétences de calcul mental
des propriétés des nombres et les
relations qui les lient
Toutefois, le calcul mental ne peut pas se
limiter à des jeux. Ceux-ci viennent en appui
de l’entraînement quotidien.
Slide 54
Les cartons-éclairs
Slide 55
La fiche de calcul rapide traditionnelle …
Slide 56
Le tableau des propriétés
12
5
30
20
25
12,5
20,4
¼
est le double de
est la moitié de
est plus grand que
est le quadruple de
6
10
25
5
est le quart de
est le tiers de
est le triple de
est le seizième de
100
37,5
6,8
4
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Le recto-verso
Préparer des cartes portant au verso un nombre
et au dos son complément à 10 ou à 100 ou à
1000.
Les élèves doivent deviner le nombre figurant au
dos de la carte.
Ce jeu peut être proposé en atelier ou mené en
grand groupe.
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Cascades
Les nombres noirs étant donnés, il faut trouver les
cases vides (nombres jaunes) en sachant que le nombre
figurant dans la case est égal à la somme des deux se
trouvant au-dessus. Les règles de construction peuvent
varier (soustraction, produit).
Slide 59
Le nombre mystère
Un nombre est écrit derrière le tableau, les
enfants doivent le deviner en posant des
questions.
Plusieurs règles peuvent être proposées :
En proposant des nombres successifs (travail
sur l'encadrement).
En recherchant indépendamment le chiffre des
unités, puis celui des dizaines par des questions,
mais sans proposer une valeur, (nombres pairs,
plus grand que ..., plus petit ...).
Slide 60
Les devinettes
Faire deviner le nombre à partir de devinettes
posées par le maître :
exemple : « Je suis un nombre qui a 2 chiffres.
Mon chiffre des unités est pair et plus petit que
5. Mon chiffre des dizaines est le double des
unités et supérieur à 5. »
Je suis 84.
On peut aussi proposer à un élève de faire
deviner un nombre.
Nb : Le travail sur le lexique spécifique est alors
important.
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Le jeu des pastilles
Slide 62
Le quinze vainc
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Chaque joueur dispose de 3 pions, bleus pour l’un, rouges pour l’autre.
Chacun pose à son tour un pion pour essayer d’atteindre 15 en
additionnant les nombres associés à ses 3 pions.
Si tous les pions sont posés, chaque joueur, à tour de rôle, déplace un
pion vers une case libre.
Le gagnant est celui qui réalise le total de 15.
Variables :
le nombre à atteindre (15).
le nombre de joueurs (prévoir dans ce cas plus de cases).
la valeur des cases (il paraît intéressant d’utiliser également les
décimaux).
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Des jeux de calcul proposés par
François Boule
Dans cet ouvrage paru en 1994,
François Boule propose de « rendre
attrayants et ludiques les exercices
de mathématiques pour éviter la
lassitude des exercices scolaires peu
motivants ».
Trois niveaux de jeux sont en général
proposés :
CE, CM et CM-6ème
Slide 64
Carrés de…
Slide 65
Mais aussi des carrés plus compliqués…
Slide 66
Les parcelles
Toutes les parcelles sont carrées. Trouver la dimension
des côtés, ainsi que les dimensions du cadre extérieur.
25
5
6
9
15
6
10
6
3
3
3
5
Slide 67
Les séries
65
33
12
20
257
129
8
41
25
6
137
73
Slide 68
Carrés magiques
Comment savoir à
quelle somme en
lignes et en colonnes
doivent aboutir les
carrés magiques de
16 cases avec des
nombres de 1 à 16 ?
On calcule la
moyenne des bornes
(1 et 16) que l’on
multiplie par 4.
8
4
10
9
6
14
2
(16 + 1) : 2 = 8,5
8,5 x 4 = 34
16
Slide 69
Opérations imaginaires
Il s’agit de découvrir une opération imaginaire : c’est-à-dire
une règle qui aux deux premiers nombres, associe le troisième.
35
Règle : Produit des 2 nombres
diminué de 1
11
Règle : 2 x (somme) - 1
PS : la présentation sous forme d’opération peut induire la recherche d’un
opérateur. Il est préférable selon nous d’écrire : 1 2 1
Slide 70
Opérations codées
=3
=1
=5
=7
=5
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Tables codées
=1
=5
=3
=7
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D’autres propositions faites par
le groupe Ermel dans le module
« savoir calculer »
Remarque : certaines propositions ont déjà été
présentées dans ce diaporama.
Slide 73
Le golf
Partant d’un nombre de départ, un nombre-cible est à
atteindre en appliquant des règles d’ajout et/ou de
retrait.
exemple : « Je vous donne le nombre de départ : 15 , et la
cible, 42. Pour aller de 15 à 42, vous devez ajouter des 7
et soustraire des 2. » (CE2, 2ème période)
La solution consiste dans cet exemple, à faire 5 additions
de 7 et 4 soustractions de 2 (peu importe l’ordre).
Il y a une infinité de solutions : 7 additions et 11
soustractions, ….
Attention, un choix d’opérations et de cibles pris au
hasard peut parfois se révéler très difficile.
Slide 74
Les calculs que l’on peut faire mentalement
Le maître dicte des calculs en les écrivant au fur et à mesure
au tableau. Les élèves doivent écrire le résultat au fur et à
mesure uniquement dans le cas où ils peuvent le trouver
mentalement.
exemple de suite de calculs (CE2, période 3 et 4) :
759 – 200
6 853 – 853
8 583 – 7 583
2 745 – 20
5 853 – 975
12 580 - 1000
7 086 – 797
954 – 945
263 – 9
645 – 639
D’autres façons de procéder sont envisageables.
Slide 75
Le compte est bon
mutualisation d’outils
Slide 76
Un compte est bon…
639
9
2
8
5
25 x 8 = 200
4
200 + 9 + 4 = 213
213 x 3 = 639
3
Au CM, proposer
également des
résultats
approchés.
Exemple ici : 638
Slide 77
Les objectifs spécifiques
Développer et expliciter les procédures de calcul.
Développer les relations et les propriétés
qu’entretiennent les nombres entre eux
Prévoir l’ordre de grandeur du résultat d’une
opération.
Traduire un calcul par une écriture en ligne avec
éventuellement l’usage des parenthèses.
Effectuer des essais, triturer les nombres pour
tenter d’approcher le résultat juste.
Faire des mathématiques sous un aspect ludique.
Slide 78
Le travail de mutualisation
A partir d’un tableau précisant des compétences de
calcul mental par niveau de classe, nous vous proposons
de construire des grilles de « compte est bon ».
Pour chaque « compte est bon », il s’agit de proposer des
nombres qui favoriseront l’utilisation sur une des
opérations au moins, d’une compétence cible que l’on se
fixe.
On pourra aussi, construire des grilles, adaptés au niveau
des élèves, où les compétences de calcul à utiliser sont
aléatoires.
Des grilles pourraient aussi être construites dans les
classes par les élèves.
Slide 79
Conclusion – Synthèse
Slide 80
1. L’aspect cumulatif des mathématiques nécessite
une programmation et une cohérence décidées
par l’ensemble de l’équipe pédagogique, de la
maternelle au CM2.
2. Une systématisation des connaissances et des
procédures permet à l’élève de réussir des
traitements de base en mobilisant le minimum
d’attention et de mémoire, de sorte qu’il puisse
consacrer ces ressources aux activités les plus
complexes.
3. Le calcul (technique opératoire et calcul mental)
est une activité à pratiquer de façon quotidienne.
Slide 81
Deux ouvrages à conseiller
Le calcul
aux cycles 2 et 3
Animation pédagogique
Septembre et Octobre 2010
Circonscription de Loudéac
Olivier LE MERCIER – CPC - IEN de Loudéac
Philippe CHEVÉ – Maître E - RASED de Loudéac
Slide 2
Sommaire
J’ai lu pour vous : document Eduscol
Les techniques opératoires
Le calcul mental
Conclusion - Synthèse
Slide 3
« J’ai lu pour vous »
Des idées fortes du document Eduscol
du 8 septembre 2010
sur « Le nombre au cycle 2 »
Slide 4
Pourquoi ce document…
Ce corpus de textes se propose d’aider les enseignants
dans la mise en œuvre des programmes 2008 au cycle 2,
en favorisant la continuité des apprentissages de la
maternelle à l’élémentaire.
Dans chacun des articles, les auteurs apportent des
éléments didactiques et pédagogiques et font des
propositions concrètes de mise en œuvre.
Le choix a été fait de commencer par les questions
numériques au cycle 2, car une bonne approche du
nombre à ce niveau est essentielle pour la suite des
apprentissages en mathématiques mais aussi dans les
autres domaines.
Slide 5
Les mathématiques, regard sur 50 ans de
leur enseignement à l’école
fin des années 50 et début des années 60, calcul et arithmétique (du CP au
CEP) reposaient sur la parfaite maîtrise des quatre opérations, la
connaissance opératoire du système métrique et la capacité à résoudre
des problèmes parfois sophistiqués.
en 1970, l’apparition des mathématiques modernes. Le postulat sur lequel
reposait la réforme était que, sous-jacentes aux activités cognitives et à
leur développement, dont celles liées au calcul et à la résolution de
problèmes, se situaient des savoirs et savoir-faire plus abstraits et plus
fondamentaux relatifs à la logique.
Depuis 1977, 1978 et 1980, (y compris ceux de 1985, 1995 et 2002) des
programmes rédigés autour de deux axes centraux :
les connaissances se construisent
la notion de problème est centrale
Les programmes 2008 marquent un tournant : L’importance de la mémoire
et des automatismes dans l’acquisition des savoirs et savoir-faire est
soulignée.
Slide 6
De nouveaux savoirs scientifiques sur les difficultés
que rencontrent les élèves en mathématiques
1ère difficulté : Le passage au symbolique
Apparemment, la perception des quantités et de leurs
transformations, la possibilité de les comparer, constituent des
capacités de base ne nécessitant pas d’apprentissage.
En revanche, la mise en correspondance de ces quantités
avec des systèmes de symboles, qu’il s’agisse de la suite
orale des nombres, des configurations de doigts, des abaques
ou des chiffres arabes pose problème à tous les enfants.
La compréhension de la numération de position et sa
mobilisation dans la résolution des opérations nécessitent un
enseignement long sans doute jusqu’en fin de CE2.
Slide 7
De nouveaux savoirs scientifiques…
2ème difficulté : Passage des transformations
(analogiques) aux opérations (symboliques)
Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et
facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait,
partage…) laisse souvent à penser à tort qu’ils maîtrisent ou au moins
comprennent les opérations.
Cette surestimation est d’autant plus vraie lorsque lesdites opérations ne
font que simuler le déroulement des opérations.
Ex :
Si Paul a 3 billes et que je lui en donne 4, le fait de transcrire 3 + 4 = 7
n’assure en rien que l’addition est acquise !
C’est en variant les situations que l’élève peut être amené à découvrir le
sens des opérations élémentaires et en généraliser l’utilisation en
s’éloignant d’une conception immature qui associe de manière sommaire
des transformations et des opérations.
Slide 8
De nouveaux savoirs scientifiques…
Il est établi que l’efficacité de la résolution des opérations passe
à la fois par l’apprentissage et l’exercice de procédures (par
exemple en calcul mental) jusqu’à leur automatisation, ceci afin
de réserver l’attention aux activités qui ne peuvent être
automatisées :
compréhension des énoncés,
raisonnement,
rapport entre les unités dans les grandeurs et mesures
…
Et passe aussi par la mémorisation de connaissances telles
que les tables.
Slide 9
Les techniques
opératoires
Exemples de techniques
Intérêts d’une pratique régulière
Slide 10
L’addition
Manipuler avec l’abaque
483 + 534
Slide 11
483 + 534
4 8 3
+ 5 3 4
10 11 7
Manipuler pour mieux
appréhender la technique
et/ou la comprendre.
Slide 12
L’addition
1
7 4 5
+ 2 8 4
1 0 2 9
1
7 4 5
+ 2 8 4
1 0 2 9
1
Avec un code couleur…
7 4 5
+ 2 8 4
1 0 2 9
Slide 13
745 - 284
6
7 14 5
- 2 8 4
4 6 1
Des remarques
éventuelles ?!
Slide 14
La soustraction
6
-
6 7 14 5
1 2
8 4
1
5 4 6 1
Et s‘il y a des
0…
6 7 14 5
- 1 2 8 4
5 4 6 1
-
7
8
1
6
9
0
2
7
9
0 10
8 4
1 6
Slide 15
Cela pourrait être aussi…
-
6 7 14 5
1 2 8 4
5 5 6 1
4
Cette technique est toute aussi valable, mais
non conventionnelle (d‘ailleurs, elle vient de
nous).
Son défaut est de présenter un résultat peu
lisible.
Elle permet d‘avoir une rapide estimation et
validation (au sens de « Est-elle possible ? »)
du résultat.
Slide 16
La multiplication
5 9
X
7
1
1
4 7 8
4 2 8 6
4 7 6 4
8
8
4
0
4
7
6
6
5
6
5
7
6
5 9
X
7
1
1
4 7 8
4 2 8 6
4 7 6 4
8
8
4
.
4
L‘alignement, la formalisation du décalage
le code couleur, la place des retenues
peuvent varier.
Slide 17
La multiplication, c’est aussi…
654x28=
600
50
4
8
4 800
400
32
5 232
20
12 000
1 000
80
+ 13 080
18 312
Slide 18
La division
5 9 6 4 5
-4
1 116
8
-1 0
1 8
8 4
-8
4 0 5
1 2
4 9 7 0
Slide 19
La division à l’anglaise…
4 9 7 0
1 2
5 9 16 84 5
1
r5
Avec un seul chiffre au diviseur, c‘est
plus simple…
8 9 5 4
8
7 1 76 43 38
r6
Slide 20
Ce qu’il faut retenir…
Il est souhaitable que du CP au CM2, l’équipe pédagogique
se mette d’accord sur :
la technique que l’on va utiliser
la présentation que l’on va demander
le code couleur que l’on va adopter au départ
Cette unité tout au long de l’école élémentaire sera
particulièrement structurante, en particulier pour les élèves
en difficulté.
La pratique régulière des opérations de calcul permet de
réinvestir et consolider des connaissances (les tables en
particulier) et certaines compétences de calcul mental
(exemple de la division). Elle permet également de mettre un
grand nombre d’enfants en situation de réussite (rassurant).
Slide 21
Intérêts d’une pratique régulière
La pratique régulière du calcul posé permet :
une consolidation des connaissances des tables,
une amélioration de la connaissance des propriétés
que les nombres entretiennent entre eux,
de mettre les enfants en situation de réussite,
de se libérer des problèmes de calcul lors de la
résolution de problèmes,
...
Slide 22
Le calcul mental
Slide 23
Si on commençait par un calcul !
Sans calcul posé, trouvez le résultat du
calcul suivant :
87²
= 7569
Slide 24
Quelle est la procédure ?
87² = 7400 + 13²
avec 87 + 13 = 100 et 87- 13 = 74
Slide 25
La démonstration
-a
-a
y = 100 – 2a
x² = (100 – a)²
x²
x² = 100² + a² - 200a
x² = 100 y + a²
Effectuer maintenant :
100
x² = 100 (100 – 2a) + a²
Cas où x = 87 : 87² = (100 x 74) + 13²
89²
94²
85²
= 7 921
= 8 836
= 7 225
Slide 26
Pourquoi cet exercice ?
Pour vous mettre dans la situation d’un élève rencontrant un calcul dont la
procédure lui est inconnue et lui semble à priori complexe. C’est pas facile !!
Montrer que des pré-requis sont indispensables :
carrés des nombres jusqu’à 15 (si x ou = à 85)
compléments à 100
soustraction sur des nombres à 100
De même pour un élève, 54 x 9 :
distributivité 54 x 9 = 54 x (10 – 1)
décomposition de 54 en 40 + 14
passage par la centaine inférieure 540 – 40 – 14
Montrer qu’un entraînement est nécessaire pour fixer la procédure
Montrer que le calcul mental nécessite une attention soutenue.
Il permet de recentrer le groupe-classe et permet à l’enseignant
de se poser comme expert devant les élèves.
Vous :
plaisir de savoir maintenant effectuer ce type de calcul,
un certain plaisir intellectuel (peut-être pas pour tous !).
Slide 27
On pourrait aller plus loin…
987²
= 974 000 + 13² = 974 169
Rem : C’est plus facile que 87² !!
idem pour une séance avec des élèves :
- 9 puis – 99 puis - 19
x 9 puis x 99 puis x 19
…
Slide 28
Point sur les différentes
appellations rencontrées dans
les programmes
ou
les différents types de calcul
Slide 29
Première distinction
Les programmes distinguent:
Calcul mental
Calcul posé
Aucun moyen de
poser l’opération et
pas de calculatrice
à disposition
Possibilité d’utiliser
une technique
opératoire
Calcul instrumenté
Calculatrice à disposition
Slide 30
Calcul réfléchi
Calcul mental
Calcul
Résultat
Résultat
automatisé
exact
Approché
Mémorisation de
résultats.
Mise en place
de procédures
Ordre de
grandeur
Aucun écrit
intermédiaire
Ecrits
intermédiaires
Contrôle d’un
résultat
Slide 31
Définitions du calcul mental
L’expression « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et
l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée
(technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support
écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du
résultat voire même dans le cours du calcul. (doc d’accompagnement
des programmes)
C’est un moment privilégié de l’apprentissage pour :
enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité,
accroître la familiarisation de l’élève avec les nombres et les
opérations,
faire fonctionner et s’approprier les propriétés de ces dernières,
enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul.
(Denis Butlen et Monique Pézard)
Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi qu’une part
d’initiative et de choix. (doc d’accompagnement des programmes)
Slide 32
De l’importance
du calcul mental…
Slide 33
Pourquoi instaurer quotidiennement des
séances de calcul mental ?
Analyse de vos réponses
Quelques pistes :
les problèmes où l’élève se débat avec les nombres au
lieu de se focaliser sur son raisonnement,
les résultats incohérents dus à une mauvaise maîtrise du
nombre,
amélioration de l’habileté intellectuelle,
plaisir intellectuel,
On peut, pour le calcul mental, distinguer deux fonctions :
une fonction sociale
une fonction pédagogique
Slide 34
Une fonction sociale
Il est d’abord un calcul d’usage. Il s’agit de mettre en place
des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante,
en l’absence de supports ou d’instruments. Dans cette
perspective, trois types d’objectifs peuvent être distingués :
l’automatisation des calculs simples, orientée vers la
production de résultats immédiatement disponibles :
récupération en mémoire ou reconstruction instantanée,
procédures automatisées.
la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul
réfléchi ou raisonné.
une première maîtrise du calcul approché, souvent utilisé
dans la vie courante et dont l’apprentissage doit se poursuivre
au collège.
Slide 35
Une fonction pédagogique
En mathématiques, il joue un rôle prépondérant car :
Il permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières
connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers
naturels (relation additives, ou multiplicatives entre les nombres).
La pratique du calcul réfléchi s’appuie, le plus souvent implicitement, sur
les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première
compréhension.
Les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en
permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le
recours au calcul mental (proportionnalité, fractions,…).
Le calcul réfléchi nécessite l’élaboration de procédures originales et, par
là, contribue au développement des capacités de raisonnement.
Le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes,
en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel
les opérations deviennent plus familières (essai avec des nombres plus petits).
Slide 36
Vive l’esprit critique
Utilisez-vous tous les mêmes techniques opératoires ?
Effectuez les 4 opérations suivantes :
46 x 34
57 x 17
76 x 25
63 x 37
Évidemment, un élève posera les 4 opérations. Par contre
vous, adultes maîtrisant le calcul mental, vous n’avez pas été
sans remarquer que 76 x 25 pouvait se calculer de tête !
76 x 25 = (76 ÷ 4) x 100 = 19 x 100 = 1 900
« L’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les
enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les
algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un
établissement insuffisant du calcul mental. » (doc d’accomp.
des programmes)
Slide 37
On peut en conclure :
Que le temps passé à
faire du calcul mental est
du temps de gagné dans
de nombreuses autres
activités mathématiques !
Slide 38
Quelle est la différence entre calcul mental et
calcul posé ?
Calcul posé : travail sur les chiffres des nombres
Calcul mental : travail sur les nombres, et donc sur la
connaissance des nombres
exemple : 128 + 256
Certains élèves vont trouver un résultat à 4 chiffres sans que
cela leur pose un problème. Si on demande à cet élève de
revoir son calcul, il va très souvent d’abord réinterroger sa
technique opératoire. Il vérifiera d’abord la pertinence de
chaque chiffre du résultat et non le résultat lui-même.
Or, le résultat est bien 384 (nombre) et non 3 8 4 (suite de chiffres)
Slide 39
Des constats dans les pratiques de classe
D’après le rapport IGEN de 2006 (maths au cycle 3) :
Le temps consacré au calcul mental en France est
massivement inférieur à une heure par semaine.
Lors des observations de l’Inspection générale, seule une
séance sur trois démarre par un temps de calcul mental.
De plus :
Des séances plutôt consacrées au calcul automatisé.
Quelques séances consacrées au calcul réfléchi (peu de
structuration des procédures).
Très peu de travail autour du calcul approché.
Slide 40
Notre avis sur l’apprentissage des tables
Un élève de CM1 ne devrait pas avoir à compter
systématiquement sur ses doigts (même quand les
doigts sont virtuels) pour un résultat appartenant à la
table d’addition. Les tables doivent être totalement
automatisées afin que l’élève puisse entrer de manière
aisée dans des procédures de calcul plus complexes.
La table dite de Pythagore (terme qu’on emploie un
peu abusivement pour nommer également la table
d’addition) est un très bon outil de repérage et de
manipulation, mais pas un outil d’apprentissage « par
cœur » des tables d’addition et de multiplication.
Pour la mémorisation des tables, ce n’est pas faire
œuvre de passéisme pédagogique que de passer par
des comptines de tables chantées ou chantonnées.
Slide 41
Voici un exemple de table de Pythagore
qui essaie de respecter un semblant de
proportionnalité.
Les résultats posant le plus de problèmes
de mémorisation sont écrits en grands, et
sont ainsi mis en valeur dans la table.
Slide 42
Résultats
assez faciles
à retenir
Résultats
plus difficiles
à retenir
Résultats
plus difficiles
à retenir
Résultats
posant souvent des
difficultés de mémorisation
aux élèves
Slide 43
Le paradoxe de l’automatisation
L’enseignement du calcul mental, selon Denis Butlen
dans le document Eduscol 2010, est paradoxal :
Trop peu d’automatismes (au sens de trop peu de
procédures automatisées) peuvent renforcer
l’automatisme (au sens de comportement automatisé,
sans adaptabilité (NDLR)),
Exemple : recours systématique de certains élèves à un algorithme
écrit pour rechercher des résultats d’opérations mentales.
Davantage d’automatismes peuvent donc permettre
d’échapper à l’automatisme.
Slide 44
Automatisation et adaptabilité
Augmenter le capital de procédures de
calcul automatisées permet de mettre en
œuvre ou d’améliorer l’adaptabilité de
l’élève face à un calcul.
Exemple :
45 + 16 45 + 10 + 6 ou 45 + 5 + 11 ou
40 + 5 + 10 + 6 ou 45 + 20 – 4 ou …
Mais :
45 + 19 45 + 10 + 9 ou 45 + 5 + 14 ou
40 + 5 + 10 + 9 ou 45 + 20 – 1 ou …
Slide 45
La mémoire ou plutôt les mémoires
On peut en distinguer deux :
la mémoire à court terme ou mémoire de travail
la mémoire à long terme
Si elles sont puissantes, elles ne sont pas élastiques !
Slide 46
La mémoire à court terme
Jeu : « le train des nombres » (de 0 à 9)
une personne du groupe dit un nombre
une deuxième répète ce nombre puis en dit un autre (de façon
aléatoire)
…et ainsi de suite, jusqu’à la première erreur
Elle a une capacité limitée (jusqu’à 7 unités environ)
Jeu : redire la dernière suite de nombres proposée
Logiquement, échec !
La mémoire de travail est volatile (3 à 30 s)
Slide 47
La mémoire à long terme
Jeu : mémorisez la suite de nombres suivants :
13 17 19 23 29 31 37 41 43
Cette suite dépasse la capacité de travail.
Quelqu’un a-t-il mémorisé cette suite ? Comment as-tu fait ?
C’est la suite des nombres premiers démarrant à 13 !
Dans la mémoire de travail, divisée en 7 « cellules », seule la première est
utilisée pour conserver le nombre 13. La mémoire de travail va chercher
l’information dans la mémoire à long terme qui connaît les « premiers »
nombres premiers ou qui peut reconstruire cette suite.
On a intérêt à développer la mémoire à long terme afin d’éviter
la surcharge de la mémoire de travail.
Rem : certains phénomènes sont capables de mémoriser des dizaines de
pages de chiffres ! (construction d’un réseau de relation entre les nombres ;
nombres deviennent des images mentales…)
Slide 48
L’instinct « grégaire » des nombres
Abus de langage ? Peut-être !
Toujours est-il que la notion de nombre n’existe que si
l’élève a mis en place des relations entre les nombres.
Plus le réseau de relations est dense, plus l’élève a
d’habiletés dans la manipulation du nombre.
Par exemple :
Quart de 100
Carré de 5
10 + 10 + 5
Double de 12,5
25
moitié de 50
20 + 5
impair
…
Slide 49
Construire une séance type d’un
calcul procédural nouveau
Slide 50
Une proposition de séance pour
aborder une nouvelle procédure
Échauffement
rapide :
Activation prérequis
Proposition d’un
nouveau calcul
(exemple : x 9)
Application :
apprendre à utiliser
la procédure
retenue.
Synthèse : garder une trace écrite.
Langages littéral ET mathématique
Exemple :
• Multiplier un nombre par 9, c’est
multiplier le nombre par 10 puis
enlever une fois le nombre.
• 17 x 9 = (17 x 10) – (17 x 1)
Trace écrite sur un affichage mural,
dans un cahier de calcul procédural…
Dans un premier
temps, laisser les
élèves explorer
différentes
procédures
personnelles.
Récolement de
plusieurs procédures
à expliciter par les
élèves.
Retenir la plus
efficiente.
Faire émerger
oralement par les
élèves la trace à
conserver.
Les différentes étapes de la séance
Mais ce
n’est
pas
tout….
Rôle du maître
Slide 51
Il faudra…
Les jours suivants, s’entraîner
pour systématiser la nouvelle
procédure jusqu’à son
acquisition :
Les mois suivants, pensez à
réactiver la procédure qui
aura pu être oubliée.
Procédé dit La Martinière
Calculs rapides écrits
Jeux mathématiques
Logiciels de mathématiques…
Programmer des séances de
consolidation ou de rappel.
Pour favoriser la
mémorisation,
prévoir un court
moment de
rappel dès le
premier soir (5
min.)
Slide 52
Recommandations horaires du
document Eduscol
Type d’activité
Entraînement Consolidation Systématisation
Découverte ou
explicitation d’une
procédure
Fréquence
Durée
Procédé
chaque jour
10 à 15
min
La Martinière
une fois par
semaine
30 min
Voir diapos
précédentes
Slide 53
Quelques exemples d’activités
pour la systématisation
Nous avons choisi de vous proposer des
exercices ou des jeux qui permettent de
développer :
des connaissances de calcul
des compétences de calcul mental
des propriétés des nombres et les
relations qui les lient
Toutefois, le calcul mental ne peut pas se
limiter à des jeux. Ceux-ci viennent en appui
de l’entraînement quotidien.
Slide 54
Les cartons-éclairs
Slide 55
La fiche de calcul rapide traditionnelle …
Slide 56
Le tableau des propriétés
12
5
30
20
25
12,5
20,4
¼
est le double de
est la moitié de
est plus grand que
est le quadruple de
6
10
25
5
est le quart de
est le tiers de
est le triple de
est le seizième de
100
37,5
6,8
4
Slide 57
Le recto-verso
Préparer des cartes portant au verso un nombre
et au dos son complément à 10 ou à 100 ou à
1000.
Les élèves doivent deviner le nombre figurant au
dos de la carte.
Ce jeu peut être proposé en atelier ou mené en
grand groupe.
Slide 58
Cascades
Les nombres noirs étant donnés, il faut trouver les
cases vides (nombres jaunes) en sachant que le nombre
figurant dans la case est égal à la somme des deux se
trouvant au-dessus. Les règles de construction peuvent
varier (soustraction, produit).
Slide 59
Le nombre mystère
Un nombre est écrit derrière le tableau, les
enfants doivent le deviner en posant des
questions.
Plusieurs règles peuvent être proposées :
En proposant des nombres successifs (travail
sur l'encadrement).
En recherchant indépendamment le chiffre des
unités, puis celui des dizaines par des questions,
mais sans proposer une valeur, (nombres pairs,
plus grand que ..., plus petit ...).
Slide 60
Les devinettes
Faire deviner le nombre à partir de devinettes
posées par le maître :
exemple : « Je suis un nombre qui a 2 chiffres.
Mon chiffre des unités est pair et plus petit que
5. Mon chiffre des dizaines est le double des
unités et supérieur à 5. »
Je suis 84.
On peut aussi proposer à un élève de faire
deviner un nombre.
Nb : Le travail sur le lexique spécifique est alors
important.
Slide 61
Le jeu des pastilles
Slide 62
Le quinze vainc
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Chaque joueur dispose de 3 pions, bleus pour l’un, rouges pour l’autre.
Chacun pose à son tour un pion pour essayer d’atteindre 15 en
additionnant les nombres associés à ses 3 pions.
Si tous les pions sont posés, chaque joueur, à tour de rôle, déplace un
pion vers une case libre.
Le gagnant est celui qui réalise le total de 15.
Variables :
le nombre à atteindre (15).
le nombre de joueurs (prévoir dans ce cas plus de cases).
la valeur des cases (il paraît intéressant d’utiliser également les
décimaux).
Slide 63
Des jeux de calcul proposés par
François Boule
Dans cet ouvrage paru en 1994,
François Boule propose de « rendre
attrayants et ludiques les exercices
de mathématiques pour éviter la
lassitude des exercices scolaires peu
motivants ».
Trois niveaux de jeux sont en général
proposés :
CE, CM et CM-6ème
Slide 64
Carrés de…
Slide 65
Mais aussi des carrés plus compliqués…
Slide 66
Les parcelles
Toutes les parcelles sont carrées. Trouver la dimension
des côtés, ainsi que les dimensions du cadre extérieur.
25
5
6
9
15
6
10
6
3
3
3
5
Slide 67
Les séries
65
33
12
20
257
129
8
41
25
6
137
73
Slide 68
Carrés magiques
Comment savoir à
quelle somme en
lignes et en colonnes
doivent aboutir les
carrés magiques de
16 cases avec des
nombres de 1 à 16 ?
On calcule la
moyenne des bornes
(1 et 16) que l’on
multiplie par 4.
8
4
10
9
6
14
2
(16 + 1) : 2 = 8,5
8,5 x 4 = 34
16
Slide 69
Opérations imaginaires
Il s’agit de découvrir une opération imaginaire : c’est-à-dire
une règle qui aux deux premiers nombres, associe le troisième.
35
Règle : Produit des 2 nombres
diminué de 1
11
Règle : 2 x (somme) - 1
PS : la présentation sous forme d’opération peut induire la recherche d’un
opérateur. Il est préférable selon nous d’écrire : 1 2 1
Slide 70
Opérations codées
=3
=1
=5
=7
=5
Slide 71
Tables codées
=1
=5
=3
=7
Slide 72
D’autres propositions faites par
le groupe Ermel dans le module
« savoir calculer »
Remarque : certaines propositions ont déjà été
présentées dans ce diaporama.
Slide 73
Le golf
Partant d’un nombre de départ, un nombre-cible est à
atteindre en appliquant des règles d’ajout et/ou de
retrait.
exemple : « Je vous donne le nombre de départ : 15 , et la
cible, 42. Pour aller de 15 à 42, vous devez ajouter des 7
et soustraire des 2. » (CE2, 2ème période)
La solution consiste dans cet exemple, à faire 5 additions
de 7 et 4 soustractions de 2 (peu importe l’ordre).
Il y a une infinité de solutions : 7 additions et 11
soustractions, ….
Attention, un choix d’opérations et de cibles pris au
hasard peut parfois se révéler très difficile.
Slide 74
Les calculs que l’on peut faire mentalement
Le maître dicte des calculs en les écrivant au fur et à mesure
au tableau. Les élèves doivent écrire le résultat au fur et à
mesure uniquement dans le cas où ils peuvent le trouver
mentalement.
exemple de suite de calculs (CE2, période 3 et 4) :
759 – 200
6 853 – 853
8 583 – 7 583
2 745 – 20
5 853 – 975
12 580 - 1000
7 086 – 797
954 – 945
263 – 9
645 – 639
D’autres façons de procéder sont envisageables.
Slide 75
Le compte est bon
mutualisation d’outils
Slide 76
Un compte est bon…
639
9
2
8
5
25 x 8 = 200
4
200 + 9 + 4 = 213
213 x 3 = 639
3
Au CM, proposer
également des
résultats
approchés.
Exemple ici : 638
Slide 77
Les objectifs spécifiques
Développer et expliciter les procédures de calcul.
Développer les relations et les propriétés
qu’entretiennent les nombres entre eux
Prévoir l’ordre de grandeur du résultat d’une
opération.
Traduire un calcul par une écriture en ligne avec
éventuellement l’usage des parenthèses.
Effectuer des essais, triturer les nombres pour
tenter d’approcher le résultat juste.
Faire des mathématiques sous un aspect ludique.
Slide 78
Le travail de mutualisation
A partir d’un tableau précisant des compétences de
calcul mental par niveau de classe, nous vous proposons
de construire des grilles de « compte est bon ».
Pour chaque « compte est bon », il s’agit de proposer des
nombres qui favoriseront l’utilisation sur une des
opérations au moins, d’une compétence cible que l’on se
fixe.
On pourra aussi, construire des grilles, adaptés au niveau
des élèves, où les compétences de calcul à utiliser sont
aléatoires.
Des grilles pourraient aussi être construites dans les
classes par les élèves.
Slide 79
Conclusion – Synthèse
Slide 80
1. L’aspect cumulatif des mathématiques nécessite
une programmation et une cohérence décidées
par l’ensemble de l’équipe pédagogique, de la
maternelle au CM2.
2. Une systématisation des connaissances et des
procédures permet à l’élève de réussir des
traitements de base en mobilisant le minimum
d’attention et de mémoire, de sorte qu’il puisse
consacrer ces ressources aux activités les plus
complexes.
3. Le calcul (technique opératoire et calcul mental)
est une activité à pratiquer de façon quotidienne.
Slide 81
Deux ouvrages à conseiller