Transcript Calcul mental
Slide 1
Nombres et
calcul
Quelles modifications
apportées par les
programmes 2002 et 2005 ?
Slide 2
Quelques points forts
Des changements à l’école primaire :
ce que savent les élèves en entrant en
6ème a changé (dans les textes).
Une insistance sur le calcul mental
La construction de connaissances se
fait par la recherche de problèmes, en
s’appuyant sur les acquis des élèves.
Slide 3
Les changements à l’école primaire
L’introduction des décimaux
Signification des écritures fractionnaires
Les opérations sur les décimaux
La division
Le calcul réfléchi
Slide 4
Extrait du programme 2002 du
cycle 3
« La diffusion maintenant généralisée des calculatrices rend
moins nécessaire la virtuosité des élèves dans les techniques
opératoires (calcul posé) [...]
Le calcul mental sous toutes ses formes (résultats mémorisés,
calcul réfléchi) occupe la place principale et accompagne
l'usage intelligent d'une calculatrice ordinaire. »
Le programme de 6ème s’inscrit dans la continuité du point
de vue de la place et de l’importance du calcul mental.
Slide 5
Extrait du programme 2005 de
6ème
« La maîtrise des différents moyens de calcul doit
devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la
résolution de problème, l’élève étant capable de
faire le choix du moyen de calcul le plus approprié dans
une situation donnée.
Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester
de taille raisonnable et aucune virtuosité technique
n’est recherchée.
La capacité à calculer mentalement est une priorité et
fait l’objet d’activités régulières. »
Slide 6
Différentes formes de calcul
Calcul
automatisé
Calcul
réfléchi
Calcul
mental
Résultats mémorisés
Procédures automatisées
Résultats reconstruits
Calcul
papier crayon
Technique
opératoire
Procédures personnelles
Calcul usuel
Adaptation à la machine
Exercices spécifiques
Calcul
instrumenté
Slide 7
Calcul mental
Slide 8
Le calcul mental est ...
utile dans la vie ordinaire
nécessaire pour un calcul posé
un outil de contrôle
le lieu d ’établissement de relations entre
calcul et raisonnement
un moyen de progresser dans la
résolution de problèmes
Slide 9
Des objectifs en calcul mental
• Automatisation de certains résultats ou procédures
On vise la rapidité
Slide 10
Le calcul mental Quelques exemples en cinquième
Tables de
multiplication
9x7 mais aussi
42 : 6
Opérations sur les fractions
5 3
9 5
+
8 8
2 2
2x4
5 3
3x
1
etc…
7
Addition, soustraction de nombres relatifs
-5+2
-60 – 40
150 - (- 850)
Mais aussi :
calculer la somme de 6 et du produit de 5 par 4
Slide 11
Le calcul mental Quelques exemples en quatrième
Opérations sur les
fractions
-2 4
1 5
x
- 5 3
2 2
Opérations sur les
puissances de 10
103 x 108
1
3:
etc…
7
105
107
etc…
Calcul littéral
Statistiques
Développer 5x (2-x)
Calculer la moyenne
des valeurs 8 ; 10 ; 15
Slide 12
Des objectifs en calcul mental
• Production de nouveaux résultats à partir d’anciens.
On vise la prise de confiance et l’autonomie.
Chaque item est un problème de calcul.
Les élèves explicitent différentes procédures de calcul.
Slide 13
Le calcul mental Quelques exemples en cinquième
Calcul sur les
fractions
Enchaînements d’opérations
2+
1+2x3
1
3
Calcul d’aires
9+3
4
60 – (20 + 30)
Calcul d’angles
B
40°
A
30°
C
Conversions
Équations
Convertir en m² : 5 dm²
Convertir en cm3 :12 m3
Tester si l’égalité est vraie pour a=3
2a – 2 = 2x2
Slide 14
Le calcul mental Quelques exemples en quatrième
Calcul sur les
fractions
1- 5
3
3
7
: 0,25
Calcul littéral
Si x = 5 , calculer 5x – 3
Si a= 10 et b = -2, calculer 5a – 2b
Équations
Calcul de volumes
4m
Résoudre l’équation -7x = 35
Résoudre l’équation 2x + 10 = 15
Carrés
Associer le carré et
le double d’un
même nombre
3m
4
36
64
9
49
100
81
1
8
2
18
4
12
16
6
14
Slide 15
Des objectifs en calcul mental
• Résolution de problème.
On vise la disponibilité des procédures de calcul.
On peut donner oralement les énoncés et demander
simplement résultat et procédure de calcul.
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Le calcul mental Quelques exemples en cinquième
Fractions :
1
de l’aire du jardin est occupée par un bassin à poissons. 1
6 de l’aire du jardin est occupée par le potager.
3
Quelle fraction de l’aire du jardin reste-t-il pour la pelouse ?
Proportionnalité :
2,5 kg de figues coûtent 10 €. Combien coûtent 1,2 kg de figues ?
Slide 17
Le calcul mental Quelques exemples en quatrième
Trigonométrie : Dans ce triangle rectangle,
x
sachant que cos a = 0,5 et x = 6, calculer y
a
y
Pourcentages :
Les prix sont baissés de 10 %. Calculer le nouveau prix
d’un article coûtant 130 € au départ.
Vitesse moyenne :
Un escargot parcourt 20 cm en 15 secondes. Quelle distance
parcourt-il en 1 minute ? En 1 heure ?
Inégalités :
Proposer 3 valeurs de x pour lesquelles l’inégalité x + 5 < 3x est vérifiée
Slide 18
Pistes pour travailler régulièrement
Rythme : Quelques questions en début de chaque
cours, fixer un jour par semaine, le plus souvent
possible au cours des séances,…
Pour les questions : oralement, sur un vidéo
projecteur, sur une fiche, l’utilisation d’un logiciel
en salle pupitre, jeux de calcul,…
Pour les réponses : Une ardoise pour chaque
élève, le cahier, une fiche, l’ordinateur, à la maison
en auto-entraînement,…
Penser à la correction, remédiation, notation.
Slide 19
Places des
problèmes
dans les apprentissages
numériques
Slide 20
Problèmes pour apprendre, découvrir,
enrichir une notion, une technique
Avant le cours, un ou plusieurs
problèmes de recherche ad hoc
->situations problèmes
Slide 21
Problèmes faisant suite aux apprentissages
de notions et techniques
Des problèmes pour entraîner et
réinvestir ces notions
-> problème d’application
Slide 22
Problèmes de réinvestissement plus
complexes
Dont la résolution nécessite la
mobilisation de plusieurs catégories de
connaissances
->problèmes complexes
Slide 23
Problèmes centrés sur le développement
des capacités à chercher
En général, pour ce genre de problèmes,
les élèves ne connaissent pas de solution
experte
-> problèmes ouverts
Nombres et
calcul
Quelles modifications
apportées par les
programmes 2002 et 2005 ?
Slide 2
Quelques points forts
Des changements à l’école primaire :
ce que savent les élèves en entrant en
6ème a changé (dans les textes).
Une insistance sur le calcul mental
La construction de connaissances se
fait par la recherche de problèmes, en
s’appuyant sur les acquis des élèves.
Slide 3
Les changements à l’école primaire
L’introduction des décimaux
Signification des écritures fractionnaires
Les opérations sur les décimaux
La division
Le calcul réfléchi
Slide 4
Extrait du programme 2002 du
cycle 3
« La diffusion maintenant généralisée des calculatrices rend
moins nécessaire la virtuosité des élèves dans les techniques
opératoires (calcul posé) [...]
Le calcul mental sous toutes ses formes (résultats mémorisés,
calcul réfléchi) occupe la place principale et accompagne
l'usage intelligent d'une calculatrice ordinaire. »
Le programme de 6ème s’inscrit dans la continuité du point
de vue de la place et de l’importance du calcul mental.
Slide 5
Extrait du programme 2005 de
6ème
« La maîtrise des différents moyens de calcul doit
devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la
résolution de problème, l’élève étant capable de
faire le choix du moyen de calcul le plus approprié dans
une situation donnée.
Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester
de taille raisonnable et aucune virtuosité technique
n’est recherchée.
La capacité à calculer mentalement est une priorité et
fait l’objet d’activités régulières. »
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Différentes formes de calcul
Calcul
automatisé
Calcul
réfléchi
Calcul
mental
Résultats mémorisés
Procédures automatisées
Résultats reconstruits
Calcul
papier crayon
Technique
opératoire
Procédures personnelles
Calcul usuel
Adaptation à la machine
Exercices spécifiques
Calcul
instrumenté
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Calcul mental
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Le calcul mental est ...
utile dans la vie ordinaire
nécessaire pour un calcul posé
un outil de contrôle
le lieu d ’établissement de relations entre
calcul et raisonnement
un moyen de progresser dans la
résolution de problèmes
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Des objectifs en calcul mental
• Automatisation de certains résultats ou procédures
On vise la rapidité
Slide 10
Le calcul mental Quelques exemples en cinquième
Tables de
multiplication
9x7 mais aussi
42 : 6
Opérations sur les fractions
5 3
9 5
+
8 8
2 2
2x4
5 3
3x
1
etc…
7
Addition, soustraction de nombres relatifs
-5+2
-60 – 40
150 - (- 850)
Mais aussi :
calculer la somme de 6 et du produit de 5 par 4
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Le calcul mental Quelques exemples en quatrième
Opérations sur les
fractions
-2 4
1 5
x
- 5 3
2 2
Opérations sur les
puissances de 10
103 x 108
1
3:
etc…
7
105
107
etc…
Calcul littéral
Statistiques
Développer 5x (2-x)
Calculer la moyenne
des valeurs 8 ; 10 ; 15
Slide 12
Des objectifs en calcul mental
• Production de nouveaux résultats à partir d’anciens.
On vise la prise de confiance et l’autonomie.
Chaque item est un problème de calcul.
Les élèves explicitent différentes procédures de calcul.
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Le calcul mental Quelques exemples en cinquième
Calcul sur les
fractions
Enchaînements d’opérations
2+
1+2x3
1
3
Calcul d’aires
9+3
4
60 – (20 + 30)
Calcul d’angles
B
40°
A
30°
C
Conversions
Équations
Convertir en m² : 5 dm²
Convertir en cm3 :12 m3
Tester si l’égalité est vraie pour a=3
2a – 2 = 2x2
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Le calcul mental Quelques exemples en quatrième
Calcul sur les
fractions
1- 5
3
3
7
: 0,25
Calcul littéral
Si x = 5 , calculer 5x – 3
Si a= 10 et b = -2, calculer 5a – 2b
Équations
Calcul de volumes
4m
Résoudre l’équation -7x = 35
Résoudre l’équation 2x + 10 = 15
Carrés
Associer le carré et
le double d’un
même nombre
3m
4
36
64
9
49
100
81
1
8
2
18
4
12
16
6
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Des objectifs en calcul mental
• Résolution de problème.
On vise la disponibilité des procédures de calcul.
On peut donner oralement les énoncés et demander
simplement résultat et procédure de calcul.
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Le calcul mental Quelques exemples en cinquième
Fractions :
1
de l’aire du jardin est occupée par un bassin à poissons. 1
6 de l’aire du jardin est occupée par le potager.
3
Quelle fraction de l’aire du jardin reste-t-il pour la pelouse ?
Proportionnalité :
2,5 kg de figues coûtent 10 €. Combien coûtent 1,2 kg de figues ?
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Le calcul mental Quelques exemples en quatrième
Trigonométrie : Dans ce triangle rectangle,
x
sachant que cos a = 0,5 et x = 6, calculer y
a
y
Pourcentages :
Les prix sont baissés de 10 %. Calculer le nouveau prix
d’un article coûtant 130 € au départ.
Vitesse moyenne :
Un escargot parcourt 20 cm en 15 secondes. Quelle distance
parcourt-il en 1 minute ? En 1 heure ?
Inégalités :
Proposer 3 valeurs de x pour lesquelles l’inégalité x + 5 < 3x est vérifiée
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Pistes pour travailler régulièrement
Rythme : Quelques questions en début de chaque
cours, fixer un jour par semaine, le plus souvent
possible au cours des séances,…
Pour les questions : oralement, sur un vidéo
projecteur, sur une fiche, l’utilisation d’un logiciel
en salle pupitre, jeux de calcul,…
Pour les réponses : Une ardoise pour chaque
élève, le cahier, une fiche, l’ordinateur, à la maison
en auto-entraînement,…
Penser à la correction, remédiation, notation.
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Places des
problèmes
dans les apprentissages
numériques
Slide 20
Problèmes pour apprendre, découvrir,
enrichir une notion, une technique
Avant le cours, un ou plusieurs
problèmes de recherche ad hoc
->situations problèmes
Slide 21
Problèmes faisant suite aux apprentissages
de notions et techniques
Des problèmes pour entraîner et
réinvestir ces notions
-> problème d’application
Slide 22
Problèmes de réinvestissement plus
complexes
Dont la résolution nécessite la
mobilisation de plusieurs catégories de
connaissances
->problèmes complexes
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Problèmes centrés sur le développement
des capacités à chercher
En général, pour ce genre de problèmes,
les élèves ne connaissent pas de solution
experte
-> problèmes ouverts