Slide 1

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 2

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 3

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 4

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 5

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 6

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 7

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 8

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 9

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 10

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 11

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 12

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 13

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 14

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 15

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 16

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 17

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 18

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 19

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 20

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 21

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 22

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 23

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 24

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 25

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 26

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 27

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 28

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 29

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 30

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 31

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 32

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 33

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 34

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 35

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 36

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 37

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 38

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 39

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 40

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 41

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 42

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 43

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 44

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 45

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 46

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 47

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48


Slide 48

UTP
FIMAAS

Física
Curso: Física General
Sesión Nº 3 : Cinemática de una partícula.
Movimiento en una dirección.
Mov. rectilínio uniforme “MRU”
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

• En la naturaleza nada
hay mas antiguo que el
movimiento y son
muchos y extensos los
libros que los filósofos le
han dedicado; sin
embargo yo he
descubierto que hay
muchas cosas
interesantes acerca de él
que hasta ahora han
pasado inadvertidas.
Galileo Galiley
1564 1642, Pisa (Italia).
2

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Cinemática de una partícula
Movimiento en una dirección
• 1.- Sistema de referencia.
• 2.- Posición y desplazamiento de una partícula en una
recta.
• 3.- Velocidad media y velocidad instantánea.
• 4.- Movimiento Rectilíneo Uniforme “MRU”.
• 5.- Gráficas de la velocidad y de la posición versus el
tiempo en el MRU
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

3

Bibliografía
• Rodrigo Hjort: Redescubriendo la Naturaleza
• Sears Zemansky : Física Universitaria Volumen 1

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

4

Cinemática de una partícula. Movimiento en una dirección.

1.- Sistema de referencia
Introducción.
La Mecánica.- Es la mas antigua de las ciencias físicas
que estudia el movimiento de los cuerpos.
Mecánica
Mecánica Clásica
“Mecánica-Newtoniana”

Mecánica Cuántica
“Relativista”

Estudia movimiento de
partículas con velocidades
lentas. La masa permanece
invariable

Estudia movimiento de
partículas, velocidades
prodigiosas aprox. vel. la
luz (vacio 300000 Km/s).
Masa comportamiento dual
(como materia o energía).
5
Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Clasificación de la Mecánica

Mecánica de
sólidos

Mecánica de
fluidos

- Cinemática.
- Estática.
- Dinámica.

- Estática de fluidos.
- Dinámica de fluidos.

6

Definición de Cinemática:
Parte de la Mecánica de los sólidos que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos sin
analizar las causas que lo producen.

7

Sistema de referencia “SR”
• “SR” Sistema de Referencia: Es aquel ente
físico-matemático, respecto a cual se
observan las características del movimiento
de un cuerpo, o las características de algún
fenómeno

Se le asocia a:
- Observador.
- Sistema de
coordenadas.
- Reloj
8

Clases de sistema de referencia
Sistema de referencia

Inercial

No posee aceleración a = 0
Puede estar:
- En reposo v = 0
- A velocidad constante v = v

No inercial

Posee aceleración
Tangencial,
Angular,
etc.
9

Tipos de sistema de referencia
Sistema de referencia

Horario

Coordenado

Rectangulares
Permite ubicar en el tiempo el
instante en que ocurre un
suceso

Cilíndricos
Esféricos

Serán
estudiados en
Física superior
10

Sistema de coordenadas rectangulares
Sist. Coord. rectangulares

Sistema
unidimensional
La posición de
un cuerpo se
indica en una
sola
coordenada

Sistema
bidimensional

Sistema
tridimensional
o espacial

La posición de un
cuerpo se indica
en el plano con
dos coordenadas

La posición de un
cuerpo se indica
en el espacio con
tres coordenadas
11

Movimiento
• El concepto de movimiento es una categoría
filosófica; es el modo primordial de existencia
de la materia que se manifiesta desde el mas
simple desplazamiento llamado también
“movimiento mecánico”, hasta formas mas
complejas o superiores hasta nivel
microscópico, molecular, electrónico, biológico,
etc.

12

Movimiento mecánico
• Es el cambio de posición que experimenta un
cuerpo con respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• Se dice que un cuerpo esta en movimiento
cuando sus coordenadas varían a medida que
transcurre el tiempo, respecto a un sistema de
coordenadas considerado como fijo.
• El movimiento mecánico es el motivo de
nuestro estudio actual, motivo por el cual al
decir “movimiento” nos estaremos refiriendo al
movimiento mecánico.
13

Relatividad del movimiento
• El movimiento es un concepto relativo, porque
depende de un sistema coordenado respecto
al cual el observador verá el movimiento del
cuerpo en estudio.
• Ejemplo: Una persona esta quieta en la
superficie de un barco en movimiento. Si se
pregunta: ¿se está moviendo la persona?; ¿cuál
sería su respuesta?.

14

Relatividad del movimiento…....
• Respuesta:
• Para un observador que esta en el mismo
barco, la persona estará quieta.
• Para un observador que esta en tierra, la
persona observada estará en movimiento.
• Conclusión: La respuesta será: la
situación de reposo o movimiento de la
persona observada estará en función del
sistema que se tome como referencia.
15

Elementos del movimiento
1.- Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se
mueve.
2.- Vector posición r (ti) .- Es aquel
vector que fija las diferentes posiciones
que va tomado un cuerpo, tiene como
origen el “origen de coordenadas” y como
destino final el punto en que se encuentra
el cuerpo.
16

3.- Trayectoria (e).- Viene a ser la línea
recta o curva que se obtiene uniendo los
diferentes puntos que va ocupando en el
espacio, la partícula en movimiento.
4.- Desplazamiento ( d ).- Es un vector que
representa el cambio de lugar o posición
de una partícula en movimiento.

d= rt - ro
17

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de la
trayectoria del móvil.
En general

e ≠ |d|

e

A

d

Si la trayectoria es rectilínea el espacio es igual
al módulo del vector desplazamiento.

A

e = |d|

e
d

B

B
18

5.- Espacio (e).- Viene a ser la longitud de
la trayectoria del móvil.
Si la trayectoria es rectilínea el espacio
es igual al módulo del vector
desplazamiento.
6.- Velocidad (v).- Es la magnitud vectorial
cuyo valor indica el espacio recorrido por
unidad de tiempo. Las características
fundamentales del vector velocidad son:
Ser tangente a la trayectoria.
19
Definir el sentido del movimiento.

y

r(t1): Vector posición en el instante t1
r(t2): Vector posición en el instante t2

A t1

r(t1)

e
d

e: trayectoria
O: S. R.

d: desplazamiento

t2

B
r(t2)

o

x

20

Velocidad
• v = e / t ; entonces [v] = L / T
• Al módulo de la velocidad se le llama
rapidez
|v| = rapidez
• Significado físico de la velocidad.Sea |v| = v = 10 m/s la rapidez de un
cuerpo, (se lee 10 metros por segundo);
es decir que el cuerpo es capaz de
recorrer 10 metros en cada segundo.
21

Unidades de velocidad [v] = L / T

•
•
•
•

Metros por segundo: m/s
Kilómetros por hora: Km/h
Pies por segundo: pies/s
Nudos: Millas/h

• Generalmente la velocidad se enuncia
“metros por segundo” sin que esto
indique la operación de multiplicar.
22

r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

y

A t1 v(t1)

r(t1)

r

e
t2

B
r(t2)
x

23

Consideraciones
• Particularmente en el desarrollo de este
capítulo consideraremos a los cuerpos
como masas puntuales o partículas con
dimensiones despreciables y con este
criterio deduciremos todas las fórmulas.
• Por lo tanto consideraremos el movimiento
de la partícula como de traslación pura.
24

Traslación pura

Es aplicable al modelo del cuerpo
como de una partícula

25

Rotación pura del cuerpo
sólido

Es aplicable al modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
26

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo
[t1 , t2] esta dado por:

 r  r( t )  r( t )
2
1
Entonces podemos preguntar:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para
hallar el vector desplazamiento?
27

A

t1

r
t2
B
Respuesta: No es necesario conocer la trayectoria
para determinar el vector desplazamiento en el
intervalo de tiempo deseado, solo es necesario
conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo 28

Clasificación de los movimientos
Movimientos

De acuerdo a
su trayectoria

1.- Rectilíneo.
2.- Curvilíneo:
Circular
Parabólico
Elíptico

De acuerdo a
su rapidez

1.- Movimiento Uniforme.
2.- Movimiento Variado.

De acuerdo a la
orientación
de los cuerpos en
sus movimientos
1.- De traslación.
2.- De rotación.
3.- De rotación y
traslación.
29

2.- Posición y desplazamiento de una
partícula en una recta

• Consiste en el estudio del movimiento de
una partícula que se mueve en una sola
dimensión; es decir una partícula que se
mueve a lo largo del eje X.

30

Movimiento en una
dimensión

31

Podemos
aplicar
lo
discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviéndose en una sola
dimensión, por ejemplo a lo largo del
eje x

32

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Es aquel movimiento rectilíneo donde la
velocidad permanece constante.

v1

v2
v1

v3

vn

= v2 = v3 = vn
33

3.- Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”

Características

• 1.- En tiempos iguales se recorren espacios
iguales

v
A

v
e1

B

v

t1

e2

t2

C

t1 = tiempo que demora el móvil en ir de A a B
t2 = tiempo que demora el móvil en ir de B a C
e1 = e2
Si t1 = t2
entonces

34

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

2.- La velocidad permanece constante en valor
dirección y sentido.

v2

v1

v1

=

v2

=

vn

vn

=

v
35

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”.....

Características

3.- El espacio recorrido es directamente proporcional al
tiempo empleado.

v

v
t0
e1

v

t1

v tn

t2

e2
en

Se cumple:

e1
t1

=

e2
t2

=…=

en
tn

e
t

=k =constante
36

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

Ecuación posición horária (posición en función del tiempo)

x  x 0  vt

x: Posición Final (m)
x0: Posición Inicial (m)
v: Velocidad (m/s)
t: Tempo (s)

37

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........
Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento Δx, dividida entre
el intervalo Δt en el que ocurre el desplazamiento.

Vm 

Δx
Δt

Vector velocidad media

Vm: Velocidad Média (m/s)
x: Variación de Espacio (m)
t: Variación de Tiempo (s)

vm

Se define el vector velocidad media en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] como:

38

Profesor: Carlos Alvarado de la Portilla

Movimiento Rectlineo Uniforme “MRU”..........

y
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

V m //  r

t1
A
r(t )

Vm

r

r(t )
2

t2
B
x

39

40

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media, cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
Es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con respecto al tiempo.
Para el MRU la velocidad instantánea
siempre es la misma; es decir la velocidad no
varía.
41

Tiempo de encuentro te

vA

vB

A

A

B

eA

M

eB
N

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de encuentro

te =

B

e
( vA + vB )

e

P

e = eA + eB
e = te vA+ te vB
e = te( vA+ vB )
donde
e: espacio total
te: tiempo de encuentro

42

Tiempo de encuentro
• Es el tiempo que emplean dos móviles en
encontrarse, partiendo de dos puntos
diferentes uno al encuentro del otro; es
decir dirigiéndose en sentidos contrarios.
te =

e
( vA + vB )
43

Tiempo de alcance talc
Condición que

vA

vB

A

B

vB

eB
P

M: Posición inicial de A
P: Posición inicial de B
N: Punto de alcance

talc =

>

A

e

M

vA

e
(vA - vB)

eA

B
N

e = eA - eB
e = t vA - t vB
e = t( vA- vB)
donde
e: espacio inicial
talc: tiempo de alcance

44

Tiempo de alcance
• Es el tiempo que emplean un móvil en
alcanzar a otro móvil, de menor velocidad,
partiendo de dos puntos diferentes uno al
alcance del otro; es decir dirigiéndose en
el mismo sentido.
talc =

e
( v A - vB )
45

Ejercicios
1.- Dos móviles pasan por un solo punto y se
mueven en el mismo sentido, con velocidades de
20 y 30 m/s, delante de ellos a 300 metros hay un
árbol, ¿ después de cuánto tiempo los móviles
B equidistan del árbol?

A

A

B
x

x

300 m

46

Solución
• Sabemos que e = v t
• Datos:
Separación del árbol = 300 m
• vA =20 m/s
• vB =30 m/s
•
•
•
•

Solución:
Para que los móviles equidisten del árbol:
eA = 300 – x = 20 t
eB = 300 + x = 30 t
600

= 50 t

Respuesta : t = 12 s
47

Resúmen de fórmulas MRU

Gracias por su atención

48