Slide 1

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 2

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 3

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 4

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 5

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 6

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 7

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 8

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 9

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 10

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 11

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 12

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 13

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 14

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 15

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 16

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 17

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 18

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 19

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 20

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 21

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 22

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 23

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.


Slide 24

Ֆունկցիա
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
9-րդ դասարան
Հ. 180 դպրոց
Մարինե Հարությունյան

Մեքենան ընթանում է 70 կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:

Հեշտությամբ կարելի է հաշվել ցանկացած ժամանակում մեքենայի անցած ճանապարհը.

Եթե t = 1, ապա

S = 70 · 1 = 70

Եթե t = 1,5, ապա

S = 70 · 1,5 = 105

Եթե t = 3, ապա

S = 70 · 3 = 210

S = 70 · t
Կախյալ փոփոխական
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

Անկախ փոփոխական
ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Օրվա ժամից օդի ջերմաստիճանի
կախումը
Т0,С
4
2

t, ժ
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2
-4

-6

t - անկախ փոփոխական
T – կախյալ փոփոխական

t = 4ժ

Т= -6 оС

t = 12ժ

Т= 2о С

t = 14ժ

Т= 4 С

t = 24ժ

Т= -4 С

о

о

22

24

Մեքենայի v արագության կախման գրաֆիկը t

v, կմ/ժ

ժամանակից
Մեքենայի շարժման նկարագրությունը

6

80
3

50
0

1

4

7

9
t, ժ

I ժամվա ընթացքում մեքենան զարգացնում է մինչև 50 կմ/ժ
արագություն:
I-ից 3րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է հաստ. արագությամբ:
3րդ-ից 4րդ ժամվա ընթացքում արագությունը հասնում է 0-ի:
4րդ-ից 6րդ ժամվա ընթացքում կանգնած է:
6րդ-ից 7րդ ժամվա ընթացքում հասնում է 80 կմ/ժ արագության:
7րդ-ից 8րդ ժամվա ընթացքում շարժվում է 80կմ/ժ
արագությամբ:

Քառակուսու մակերեսի կախումը կողմի
երկարությունից՝
2

S=a

a=2
S=4

a=3
S=9

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

a=4
S = 16

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը.

х

1

2

3

4

5

у = х2

1

4

9

16

25

х

6

7

8

9

10

у = х2

36

49

64

81

100

x-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել
у-ի միայն մեկ արժեք:

у = х2
ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՐԳՈՒՄԵՆՏ

Դիտարկված օրինակներում անկախ
փոփոխականի
յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է
կախյալ փոփոխականի
միակ արժեք:

Մի փոփոխականի կախումը
մյուս փոփոխականից
անվանում են
ֆունկցիոնալ կախվածություն
կամ ֆունկցիա:

Խնդիր.
Ո՞ր նկարում է պատկերված ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի
у
Համապատասխանում
է ֆունկցիայի
միակ արժեք:

у

Կեցցե՛ք

Մտածի՛ր
х

0

1.

х

0

2.

Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և
արժեքների տիրույթը
Մեքենան շարժվում է 70կմ/ժ հաստատուն
արագությամբ: t ժամում մեքենան կանցնի
S = 70 · t կմ ճանապարհ:
Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ընդունել t-ն:

t≥0

Ինչպիսի՞ արժեքներ կարող է ըմդունել S-ը:

S≥0

Անկախ փոփոխականի ընդունած
բոլոր արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:
Կախյալ փոփոխականի ընդունած
արժեքները կազմում են
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Խնդիր.
Խորանարդի ծավալը կախված է նրա կողի երկարությունից :
Դիցուք խորանարդի կողը а սմ է, ծավալը՝ V սմ3:
Բանաձևով արտահայտեք V-ի կախումը а-ից :
Գտեք V ֆունկցիայի արժեքը, երբ а = 5; 7,1.

V = а3

Եթե а = 5, ապա V = 53 = 125

Եթե а = 7,1, ապա V =357,911

а
а

а
Ստուգում՝(3)

Բանաձևը որպես ֆունկցիայի տրման
եղանակ
Բանաձևը հնարավորություն է ընձեռում արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում հաշվելու ֆունկցիայի համապատասխան արժեքը:
Օրինակ 1.

Գտնել y(x) = x3 + x ֆունկցիայի
արժեքը , երբ х = - 2; х = 5; х = а; х = 3а.

1.

у(-2) = (-2)3 + (-2) = -8 – 2 = -10

2.

у(5) = 53 + 5 = 125 + 5 = 130

3.

у(а) = а3 + а

4.

у(3а) = (3а)3 + 3а = 27а3 + 3а

Օրինակ 2.
Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիան՝ y=

1, երբ x > 0
0, երբ х = 0.
-1, երբ х < 0

Տրված արտահայտությունը ֆունկցիա է և х-ի ցան-

կացած արժեքի դեպքում կարելի է գտնել համապատասխան у-ի արժեքը :
1.

у(3,7) = 1 Քանի որ х > 0, օգտվում ենք առաջին տողից:

2.

у(0) = 0 Քանի որ х = 0, օգտվում ենք երկրորդ տողից:

3.

у(-2) = -1 Քանի որ х < 0, օգտվում ենք երրորդ տողից:

Օրինակ 3.
1.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

որտեղ 2 ≤ х ≤ 9
Այս օրինակում որոշման տիրույթը տրված է՝
2≤х≤9
2.

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y 

5

 x  1 x  3 

Այս դեպքում որոշման տիրույթը նշված չէ:
Գտնենք արգումենտի այն արժեքը, որի դեպքում
ֆունկցիայի բանաձևը իմաստ չունի:.
Նայել լուծումը.

Խնդիր

Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը.

1.

2.

3.

y

y

y

2x  4

 x  2  x  5 
3x  5
x2
4x 1
5





2x
x3
1
x7

x   2, x  5

x  2, x   3

x  7

у  0, 5 х  3

Տրված է

ֆունկցիան

Լրացնել աղյուսակը.

x

-6

-2

0

1

4

10

y

-6

-4

-3

-2,5

-1

2

Ֆունկցիան տրված է

y  2x  5
2

բանաձևով.

Լրացնել աղյուսակը.

x

-3

-2

-1

0

1

3

y

13

3

-3

-5

-3

13

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք

II

I

III

IV

Ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային հարթության
այն բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները
հավասար են արգումենտի արժեքներին, իսկ օրդինատները՝ նրանց համապատասխան ֆունկցիայի արժեքներին:
Հիշենք
A
(-4;
6)
D
(0;
-5)
BC(5;
(2;-3)
0)

Խնդիր

3

Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ у 
х 2
-1 ≤ х ≤ 4
x

y

-1
0
1
2
3
4

3
1,5
1

0,75
0,6
0,5

Խնդիր

Նկարում պատկերված գրաֆիկի
օգնությամբ գտեք .
1) Ֆունկցիայի արժեքը, երբ х = 3;
2) արգումենտի այն արժեքը , որի
դեպքում у = 4 :
4
1.

х=3

у=2
2

2.

у=4

х=4
3

4

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտեք .
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

2.

х –ը ցանկացած թիվ է
у ≥ -1

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 ≤ х ≤ 4

2.

-1 ≤ у ≤ 5

Խնդիր

Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնել.
1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ,
2) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը :

1.

-2 < х < 5

2.

-1 < у < 6

Տրված է հետևյալ ֆունկցիան՝

y

5

 x  1 x  3 

Գտնենք արգումենտի այն արժեքները, որոնց դեպքում
բանաձևը որպես ֆունկցիա իմաստ չունի:
Քանի որ բանաձևը իրենից կոտորակ է ներկայացնում, ուրեմն նրա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի ,
այսինքն՝  x  1  x  3   0 , հետևաբար x  1 և x   3 :

Այսպիսով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը
х-ի բոլոր արժեքներն են , բացի 3-ից և 1-ից:.