Transcript Մոդելավորման հիմունքները

Մոդելավորման հիմունքները
Բարդ համակարգերի մոդելավորման
ընթացքում օգտագործվում են
տարրի, համակարգի կառուցվածքի և նրա
ֆունկցիաների գաղափարները:
Համակարգի տրոհումը բաղադրիչ մասերի
կոչվում է տարրալուծում /դեկոմպոզիցիա/
Տարրերի
ազդեցությունը
տվյալ
տարրի վրա անվանում ենք այդ
մուտքով, իսկ նրա ազդեցությունը այլ
տարրերի վրա` ելքով:
Տարրը բնութագրվում է ` մուտքով,
ելքով և վիճակով և նկարագրվում է
ժամանակից`
կախված
փոփոխականների
բազմությունով
/վեկտորով/:
Տարրալուծմանը
հակառակ
գործողությունը կոչվում է միացք
/ագրեգավորում/:
Միացքի արդյունքում ստացվում է
համակարգի մոդելը:
Համակարգի մոդելը փոխազեցության
մեջ է գտնվում շրջավայրի հետ: Այդ
կապը նկարագրվում է համակարգի
մուտքի և ելքի տեսքով:
Բաց համակարգ
Փակ համակարգ
Տարրալուծում
Տարրալուծումը առանձին տարրերի և նրանց
փոխկապակցության մաթեմատիկական
նկարարությունն է :
Համակագի վարքագիծը նկարագրման համար
օգտագործում են համակարգի վիճակի և
վիճակից վիճակ անցման գաղափարները:
Նշանակենք
•S(t) – վիճակը նկարագրող
փոփոխականների վեկտորը;
•U(t) – համակարգի մուտքի
ազդանշանները;
• W(t) – պատահական ազդեցությունների
վեկտորը;
• V(t) – համակարգի ելքային
ազդանշանները
Վիճակի փոփոխության դինամիկան նկարագրվում է
հետևյալ հարաբերություններով
S(t+dt) = L{S(t), U(t), W(t), dt}.
(1)
V(t) = M{S(t), U(t), W(t)}
(2)
Այստեղ L և M – որոշակի օպերատորներ են:
Պարզ է, եթե համակարգը բաղկացած է k տարրերից,
ապա S(t) - k- չափանիշ վեկտոր-ֆունկցիա է
S(t) = [s1(t), s2 (t),...,sk(t)]
S վեկտորի կախվածությունը ժամանակից անվանում
են համակարգի հետագիծ:
(1) և (2) հարաբերությունները կազմում են
համակարգի գոծողման մոդելը:
Մոդելավորման տակ հաճախակի հասկացվում է մոդելի
կառուցումը,
և
նրա
միջոցով
իրականացվող
հետազոտումները:
Եթե մոդելը իրականացնում է համակարգի գործունեությունը ,
ապա այդպիսի մոդելավորումը անվանում են իմիտացիոն
(simulation):
Իմիտացիայի դեպքում պահպանվում է փոփոխականների
վիճակի ժամանակային փոփոխությունները:
Իմիտացիոն մոդելավորումը կառուցում է համակարգի
հետագիծը:
Եթե համակարգի վերլուծությունը իրականացվում է
օգտագործելով
հավասարումների
համակարգի
մաթեմատիկական
ձևափոխություններ,
ապա
այդ
մոդելավորումը անվանում են անալիտիկ:
Դիցուկ, մոդելավորման նպատակը
նկարագրվում է Y ցուցիչների վեկտորով:
Համակարգի պարամետրերի վեկտորը
նշանակենք X-ով, իսկ պատահական
ազդեցությունները W-ով:
Ապա,
Y = f (X, W)
(3)
Մոդելավորման նպատակը կայանում է (1)(2) ոչ բացահայտ ֆունկցիոնալ մոդելից
անցնել (3)` բացահատ կոնցեպտուալ
մոդելին :
Ստոխաստիկ մոդելի իրականացումը ԷՀՄ-ի
միջոցով նշանակում է նրա բազմաքանակ
փորձարկումը:
Մեկ փոձարկման արդյունքը իրականացում
էորևէ
մեկ
երեվույթ:
Իրականացումները
տարբերվում
են
իրարից
պատահական
երևույթների հաշվին:
Պատահական
երևույթի
իրականացումը
կախված է նրա հավանականությունից և այդ
նպատակով օգտագործվում են պատահական
թվերի գեներատորներ, որոնք ստեղծում են
“կեղծ”
պատահական
թվերի
հաջորդականություններ:
Հիմքային պատահական մեծությունը
(0,1)
միջակայքում
հավասարաչափ
բաշխված պատահական մեծությունն է:
Նշանակենք
այդ
պատահական
մեծությանը R-ով.
Հիմքային պատահական մեծության
բաշխման խտության ֆունկցիան
f(r)=χ [0,1](r),
մաթեմատիկակամ սպասումը E(R)=0.5,
դիսպերսիան` D(R)=1/12
Հիմքային պատահական մեծության
մուլտիպլիկատիվ կոնգրուենտ գեներատոր
Երկու ամբողջ A և B թվերը կոնգրուենտ
(համեմատելի) են M մոդուլի նկատմամբ, եթե
A - B = k M,
որտեղ k – ամբողջ թիվ է:
Նույն ը գրվում է ` A = B (mod M).
Գեներացման հիմնական բանաձևը հետևյալն է`
Xi+1 = aXi (mod M) կամ Xi+1 = aXi + bXi-1(mod
M)
Որտեղ a և M դրական ամբողջ թվերեն:
M-ը, որպես օրենք, ընտրվում է ԷՀՄ-ի
ամենամեծ ամբողջ թիվը (32-կարգի
համար 231-1=21474836447):
a-ի համար լավ արդյունքներ կտան 16807,
477 211 307, 1 220 703 125, 6 469 693 231
թվերը:
X0 –ն ընտրում են որևէ մեծ կենտ թիվ:
(0,1) միջակայքում “կեղծ” պատահական
թիվ ստանալու համար բաժանում են Xi -ն
M-ի վրա:
“Կեղծ” պատահական մեծությունների գեներատորների
վիճակագրական հատկությունները ստուգվում են
բազմաթիվ տեստերի միջոցով:
Օրինակ, բաշխման հավասարաչափությունը կարելի է
ստուգել` բաժանելով միավոր քառակուսին m
հավասարաչափ մասերի, որոնց գումարը հավասար է 1:
Հետո, գեներացնել 2N թվեր, կազմել N զույգեր`
(r1,r2), (r3,r4), …, (r2N-1,r2N) :
Ամեն զույգը ներկայացնում է միավոր քառակուսու մեջ
կետ:
Եթե n1, n2,…, nN համապատասխան ամեն տրոհված
մասերին պատկանող կետերի քանակն է, q1=n1/N,
q2=n2/N, …, qN=nN/N տիրույթներին պատկանելիության
հաճախակություններն են:
q հաճախականույունների պատկանելիությունը p
բաշխմանը ստուգվում է Պիրսոնի համաձայնության
հայտանիշը:
Պատահույթների մոդելավորում
Դիտարկենք A պատահույթը, որը տեղի է
ունենում P(A) = p հավանականությամբ,
իսկ հակառակ պատահույթը ունի 1-p
հավանականությունը:
Այդ
պատահույթի
իմիտացիոն
մոդելավորման մաթեմատիկական մոդելի
համար օգտագործենք Z ֆունկցիան, որը
կարող է ընդունել 2 արժեքներ` z1=1 և z2=0
համաձայն p և 1- p հավանականությամբ:
Ուստի, P(A) = P(Z=1) = P(0<R<p) = p
Նույնաբար, լուծվում է A1, A2, …, Am լրիվ
խմբի մոդելավորման խնդիրը:
Եթե P(A1)=p1, P(A2)=p2,…, P(Am)=pm, երբ
p1+p2+…+pm =1, ապա տրոհենք (0,1) հատվածը
m մասերի ` (0, p1), (p1,p1+p2), …, (p1+p2+…+pm,
1) և կապենք ամեն հատվածի հետ
համապատասխան
A1,
A2,
…,
Am
պատահույթները:
Գեներացված պատահական մեծության
պատկանելը
հատվածներից
մեկին
նշանակում
է
համապատասխան
պատահույթի իրականացումը:
Բերած ալգորիթմը աշխատում է նաև X
դիսկրետ
պատահական
մեծության
մոդելավորման համար:
Թող X-ը կարող է ընդունել x1, x2, …, xn
արժեքները համապատասխան p1, p2, …, pn
հավանականություններով:
Նույնպես
տրոհենք (0,1) հատվածը m մասերի `
(0, p1), (p1,p1+p2), …, (p1+p2+…+pm, 1) և
նկատենք, որ
P(X=xi)=P(p1+p2+…+pi-1<R<p1+p2+…+pi):