Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել.
Download ReportTranscript Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել.
Slide 1
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 2
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 3
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 4
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 5
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 6
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 7
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 8
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 9
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 10
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 11
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 12
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 13
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 14
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 15
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 16
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 17
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 18
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 19
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 20
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 21
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 22
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 23
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 24
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 25
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 26
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 27
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 28
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 29
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 30
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 31
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 32
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 33
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 34
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 35
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 36
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 37
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 38
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
QQ
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 2
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 3
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 4
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 5
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 6
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 7
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 8
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 9
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 10
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 11
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 12
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 13
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 14
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 15
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 16
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 17
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 18
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 19
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 20
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 21
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 22
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 23
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 24
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 25
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 26
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 27
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 28
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 29
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 30
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 31
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 32
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 33
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 34
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 35
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 36
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 37
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
Slide 38
Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի ուսուցիչ ` Պետրոս Սաքանյան
Դասագրքերում և շտեմարաններում տեղ գտած մի շարք խնդիրներ ավելի հարմար է լուծել կոորդինատային
մեթոդով` քան ավանդական:
Այդ խնդիրները կոորդինատային մեթոդով լուծելու համար լիովին
բավարար է դպրոցական դասագրքերում եղած նյութը:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
1.
Երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը:
2.
3. Տրված ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները
Վեկտորի երկարությունը:
4.
5.
Վեկտորների
սկալյար արտադրյալը:
Վեկտորի
երկարությունը:
Երկու վեկտորներով կազմված անկյունը
1.6.
Հարթության ընդհանուր հավասարումը
7.
Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտումը
8.
9 Հարթության հավասարումը նորմալ վեկտորով և տրված կետով :
Տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
10.
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
11.
12. Ուղղի հավասարումը տարածությունում
13. Ուղղի կանոնական հավասարումը
Տտված երկու կետերով անցնող ուղղի հավասարումը
14.
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
15.
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը :
16
Ուղղի և հարթության փոխադարձ դիրքը :
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Կետից հարթությունը եղած հեռավորությունը:
Կետից ուղիղը եղած հեռավորությունը :
Հարթություններով կազմված անկյունը
Ուղիղներով կազմված անկյունը:
Ուղղով և հարթությունով կազմված անկյունը:
23. Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը:
30. a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը
և
կետերի միջև եղած հեռաորությունը որոշվում է
բանաձևով:
•
Q հարթությունը միարժեքորեն որոշված է, եթե տրված է
Հարթության հավասարումը
հարթությանը պատանող կետ
z
(M o Q )
հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր ( n
n
և
Q):
n -ը կոչվում է հարթության նորմալ վեկտոր
Որպեսզի M կետը պատկանի Q հարթությանը
անհրաժեշտ է և բավարար, որ
Q
M
o
.
M oM
n
n
M
0
•
y
х
1. Հարթության հավասարումը նորմալ
վեկտրով և տրված կետով :
–
–
–
Տրված է: M o ( x o , y o , z o )
n A , B , C
կետը
նորմալ վետորը
Հարթության հավասարումն է
A( x xo ) B ( y y o ) C ( z z o ) 0
Ապացույց
այստեղ
M
o
Ax By Cz D 0
Կոչվում է հարթության ընդհանուր հավասարում
A,B,C գործակիցներով որոշվում է n A , B , C հարթության նորմալ վեկտորը
n A , B , C
Q
Թեորեմա
Ցանկացած երեք փոփոխականով գծային հավասարումով տարածության մեջ
տրվում է հարթություն և հակառակը` տարածության մեջ ցանկացած հարթություն
կարելի է տալ երեք փոփոխականով գծային հավասարմամբ:
Q
Միևնույն ուղղին չպատկանող
,
անցնող հարթության հավասարումը փնտրենք
և
Ax+By+ Cz+D=0
կետերով
տեսքով:
Տեղադրոլով A,B,և C կետերի կոորդինատները հարթության ընդհանուր հավասարման
մեջ, կգտնենք A,B,C և D գործակիցները:
A
B
C
Համակարգը լուծելու համար կատարենք a=pd, b=qd, c=rd (եթե d=0
ապա a=pc, b=qc, եթե d=c=0 ապա a=pb): Նշանակումները
տեղադրելով սկզբնական համակարգում և բոլոր անդամները
բաժանելով d-ի վրա կստանանք px+qy+rz+1=0
ետ
Հարթության հավասարումը հատվածներով :
Եթե հարթութըունը կոորդինատային առանցքները հատում է
A(a;0;0), B(0;b;0) և C(0;0;c) կետերում, ապա հարթության հավասարումը
ունի հետևյալ տեսքը:
z
c
ax
y
b
ետ
•
3. Հարթության ընդհանուր հավասարման հետազոտում:
–
1. D=0 O ( 0 , 0 , 0 ) Q
–
2. A=0 n ( 0 , B , C ) OX Q OX
–
3. B=0 n ( A , 0 , C ) OY Q OY
–
4. C=0 n ( A , B , 0 ) OZ Q OZ
z
(նկ. 1)
n ( A, B , C )
(նկ. 2)
(նկ. 3)
Q
(նկ. 4)
y
O
z
n (0, B , C )
z
Q
նկ. 1
x
n ( A,0 , C )
Q
z
Q
y
O
n ( A , B ,0 )
y
x
O
նկ. 2
y
O
x
նկ. 3
x
նկ.4
ետ
5. A=B=0 n ( 0 , 0 , C )
6. A=C=0 n ( 0 , B , 0 )
OZ Q OZ
xoy)(նկ. 5)
OY Q OY
n ( A ,0 ,0 )
7. B=C=0
(Q
(նկ. 6)
OX Q OX
z
z
(նկ. 7)
Q
n ( 0 ,0 , C )
z
n ( 0 , B ,0 )
Q
Q
O
y
O
n ( A ,0 ,0 )
y
O
x
x
x
նկ. 5
նկ. 6
նկ. 7
y
z
z0
8. A=B=D=0
y0
–
9. A=C=D=0
–
10. B=C=D=0
x0
Կոորդինատային
հարթություններ
x0
y0
0
y
z0
x
ետ
•
Ուղղր հավասարումը տարածությունում
•
1. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը
– Աքսիոմա` Երկու հարթությունների
հատումը ուղիղ գիծ է
l:
1 1
A1 x B1 y C 1 z D 1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
( Q1 )
(2)
(Q 2 )
Q2
Թեորեմա .
l
(2) Հավասարումների համակարգով
տարածության մեջ որոշվուն է ուղիղ, այն և միայն այն դեպքում,
երբ A1 , B1 , C 1 և A , B , C
Գործակիցները համեմատական չեն:
2
2
2
(2) Հավասարումների համակարգոը կոչվում է ուղղի ընդհանուր
հավասարում:
•
•
2. Ուղղի կանոնական հավասարումը:
Ուղղի հավասարումը նրան պատկանող M o ( x o , y o , z o ) կետով և s m , n , p ուղղորդ վեկտորով
s m , n , p
M ( x, y, z )
l
•
M o ( xo , yo , zo )
Վերցնենք ուղղին պատկանող
M oM
x xo
s M oM s
x xo
m
M ( x, y , z ) l.
m
y yo
n
y yo
n
կետ
z zo
p
z zo
p
Կոչվում է ուղղի կանոնական հավասարում, որտեղ m,n,p-ն,
ուղղի ուղղորդ վեկտորի կոորդինատներն են
Տես սլայդ 15 և 14
ետ
•
Հարթությունների փոխադարձ դիրքը տարածության մեջ:
•
1. զուգահեռության պայմանը:
Q 1 : A1 x B1 y C 1 z D 1 0
n 2 A 2 , B 2 , C 2
Q 2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Q2
Q 1 Q 2 n1 n 2
Q1
A1
A2
B1
B2
C1
C2
n1 A1 , B1 , C 1
•
2. Ուղղահայացության պայմանը:
Q1
Q1 Q 2 n1 n 2
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
n2
n1
Q2
Երկու ուղիղների փոխադարձ դիրքը
•
Ուղիղների զուգահեռուփյան պայմանը:
s1 m 1 , n1 , p1
l1
l2
l1
l 2 s1
s2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
l1
•
4. Ուղիղների ուղղահայացության
պայմանը:
l1 l 2 s1 s 2
s1 m 1 , n1 , p1
m1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 0
l2
s 2 m 2 , n 2 , p 2
Տրված է
•
Ուղիղը և
հարթությունը
5. ուղղի և հարթության զուգահեռոթյան պայմանը:
n A , B , C
s m , n , p
l
l
•
Ax By Cz D 0
Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
Q
6. ուղղի և հարթության ուղղահայացության պայմանը:.
s m , n , p
n A , B , C
l Q s
n
m
A
Q
l
n
B
p
C
Տրված է
վերցնենք հարթությանը պատկանոզ M(x;y;z) կետ
Ըստ պայմանի
Q
M oM
n
M oM n 0
z
n
A( x xo ) B ( y yo ) C ( z zo ) 0
Q
M
M
0
х
Բացելով փակագծերը կստանանք
o
y
Հարթության ընդհանուր հավասարումն է, որտեղ Aն;B-ն և C-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են:
ետ
ետ
հարթություններով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է
գնել նրանց n1 և n2 նորմալներով կազմված անկյունը:
(տես слайд 6)
ետ
s1
s2
L2
ետ
Խաչվող ուղիղների հեռավորությունը
Պահանջվում է գտնել а և b խաչվող ուղիղներոի հեռավորությունը:
Տրված է
և
S{m1;n1;p1} a ուղղի ուղղորդ վեկտորն է:
l
b ուղղի կամայական B(a;b;c) կետից տանենք а ուղղին զուգահեռ l ուղիղ:L
ուղղի վրա գտնենք այնպիսի Q(x;y;z) կետ, որ BQ=s:
C b
Q(x;y;z)
а
տես
B(a;b;c)
D
x-a=m1
y-b=n1
z-c1=p1
x=m1 +a
y=n1 +b
z=p1 +c
Այսպիսով` Q(m1 +a, n1 +b, p1 +c)
b ուղղի վրա վերցնենք ևս մեկ կետ` C(d;e;f): Գտնենք BQC կետերով
անցնող հարթության հավասարումը:
A
A կետի հեռավորությունը MN ուղղից
AH-ը NMA եեանկյան բարձրությունն է: Նշ. MA=n,
MN=a
n
h
N
H
a
(1)
(2)
M
(2)-ը տեղադրենք (1)-ում
ետ
Ստացանք եռանկյան մակերեսը հաշվելու բանաձև:
Հարթության հավասարումն է
-1Cx-1Cy+Cz=0, => x+y-z=0
Տրվծ է ուղղանկյումանիստ A…C1
M-ը BB1 հատվածի միջնակետն է:
AB=8, AD=6, AA1=12
Գտնել
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
2. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված երկնիստ
անկյունը:
3. CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը
4. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
D1 5. AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
C1
A1
B1
x
x
M
y
B
C
D
A
1. A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից:
Այս հարցին պատասխանելու համար մեզ
պետք կլինի A,M, D1 և A1 կետերի
կոորդինատները (տես գծագիրը):
A(0;0;0), M(0;8;6), D1(6;0;12), A1(0;0;12)
z
C1
A1
B1
x
x
12
Գտնենք AMD1 հարթության
հավասարումը:
D1
M
C
D
այստեղ
6
y
A
8
B
Քանի որ հարթությունը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, ապա D=0:
հարթության հավասարումը փնտրենք Ax+By+Cz=0 տեսքով:
8B+6C=0
6A+12C=0
Նշանակելով A=pC և B=qC
կունենանք՝
AMD1 հարթության հավասարուն է
8qC+6C=0
6pC+12C=0
8q+6=0
6p+12=0
-2Cx-3/4Cy+Cz=0
q=-3/4
P=-2
այստեղ
A= –2C
B=-3/4C
8x+3y+4z=0
A1 կետի հեեավորությունը AMD1 հարթությունից որոշվում է
խնդիր1
Բանաձևով:
այստեղ
. AMD1 և ABD հարթություններով կազմված
երկնիստ անկյունը գտնելու համար, բավական
է ունենալ հարթությունների հավասարումները:
AMD1 հարթության հավասարումն է 8x+3y+4z=0
(տես слайд 29)
z
C1
նորմալ վեկտորն է n1{8;3;4}
ABD հաևթությունը համընկնում է xy
կոորդինատային հարթության հետ,
հետևաբար նրա հավասարումն է z=0
A1
B1
M
y
տես
նորմալ վեկտորն է n2{0;0;1}
Բավական է գտնել նորմալ վեկտորներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
B
D1
C
x
D
A
x
CM և AC1 ուղիղներով կազմված անկյունը գտնելու համար բավական է ունենալ
այդ ուղիղների հավասարումները (ուղղորդ վեկտորների կոորդինատները)
C(6;8;0), M(0;8;6)
CM ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s1{6;0;-6}
z
C1
A(0;0;0), C1(6;8;12)
D1
A1
B1
x
12
M
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
Այժմ գտնենք
D
C
6
y
B
8
A
և CM ուղիղներով կազմված անկյունը
վերադարձ խնդրին
x
AMD1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը գտմելու համար
բավական է իմանալ հարթությամ և ուղղի հավասարումները:
AMD1հարթության հավասարումն է
z
C1
D1
8x+3y+4z=0
A1
B1
AC1 ուղղի հավասարումները
M
C
D
6
y
ուղղի ուղղորդ վեկտորն է s2{6;0;-6}
x
12
B
8
A
x
. M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից գտնելու համար
A(0;0;0), C1(6;8;12)
z
C1
AC1{6; 8; 12}
D1
A1
B1
M(0;8;6)
AM{0;8;6}
x
12
M
C
D
6
,
y
B
8
A
Որտեղ s-ը AMC1 եռանկյան մակերեսն է a=AC1 {6;8;12}, n=AM{0;8;6}
հ-ը`
M կետի հեռավորությունը AC1 ուղղից
Կունենանք `
x
AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը:
AM ուղիղը զուգահեռ է DB1E
հարթությանը, քանի որ այն զուգահեռ է այդ
հարթությանը պատկանող DE ուղղին:
z
C1
Այսպիսով՝ AM և DB1 ուղիղների հեռավորությունը
գտնելու համար բավական է գտնել AM ուղղի
կամայական կետի հեռավորություն DB1E
հարթությունից:
B1
x
M
Գտնենք A կետի հեռավորությունը DB1E
հարթությունից:
y
C
B
Գտնենք E կետի կոորդինատները: Ենթադրենք E(a;b;c), D(6;0;0)
Քանի որ
6-a=0
b=8
c=6
շարունակությունը
A1
E
Այսպիսով՝ E{6; 8; 6}
D
A
Գտնենք D; B1; E կետերով անցնող հարթության հավասարումը:
Հարթության հավասարումը փնտրենք px+qy+rz+1=0 տեսքով
տեղադրելով
, E{6; 8; 6} և B1(0;8;12) կետերի կոորդինատները
հավասարման մեջ կունենանք՝
z
C1
6p+1=0
6p+8q+6r+1=0
8q+12r+1=0
P=-1/6
q=1/8
B1
r=-1/6
Հարթության հավասարումն է
8x-6y+8z-48=0
x
M
y
12
A1
E
C
B
6
D
A
8
Մնում է գտնել A(0;0;0) կետից DB1E հարթությունը եղած հեռավորությունը:
այստեղ
վերադարձ խնդրին
. DBA1 հարթությունով և AC1 ուղղով կազմված անկյունը:
z
Գտնենք DBA1
հարթության հավասարումը
D(6;0;0), B(0;8;0),
D1
C1
A1
B1
A1(0;0;12)
x
12
M
C
D
4x+3y+2z-24=0
6
y
Գտնենք AC1 ուղղի հավասարումն է
B
8
A
այստեղ
AC1 ուղղի AC1 ուղղորդ վեկտորի
կոորդինատներն են AC1{6; 8; 12}
վերադարձ խնդրին
a և b վեկտորներով առաջացած եռանկյան մակերեսը