Slide 1

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 2

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 3

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 4

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 5

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 6

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 7

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 8

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 9

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 10

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 11

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 12

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 13

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 14

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 15

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 16

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 17

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 18

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 19

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 20

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 21

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 22

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 23

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 24

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 25

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 26

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 27

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 28

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 29

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 30

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 31

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2



Slide 32

4. Zakoni održanja





4.1 Zakon održanja mase
Ako se u izolovanom sistemu odigrava bilo koja
fizička ili hemijska promena, onda zbir svih masa (i
energija) pre i posle promene ostaje nepromenjen.

m  const

4.2 Zakon održanja impulsa
B

v A'

B'

vA

FA

A'
A

vB'

vB

FB







m v A  m v A
m v B  m v B
FB 
FA 
t
t


F A   FB




m v B  m v B
m v A  m v A

t
t





m v A  m v A    m v B  m v B





p   p


 p  p  0


p   p  const





m v A  m v B  m v A  m v B






p  p 1  p 2  p 3  ...  p n  const

Primer 4.1.1 Kolica mase 40kg na kojima stoji čovek
mase 70kg miruju na podlozi. Čovek krene po kolicima
brzinom 1 m/s (u odnosu na podlogu). Kolikom brzinom
će poći kolica?



p1  p 2  0


p1   p 2

m1 v1  m1 v 2
v2 



m1 v1
m2

 1 ,75

m
s

Primer 4.1.2 Vagon mase 25t kreće se brzinom
2m/s i spaja se sa platformom mase 15t koja miruje
na podlozi. Kolikom brzinom će se kretati vagon i
platforma posle spajanja? Trenje je zanemarljivo.

m 1 v 1   m 1  m 2 v 2

v2 

m1 v1
m1  m 2

 1 ,25

m
s

4.3 Zakon održanja energije
E  E 1  E 2  const




Ukupna mehanička energija izolovanog sistema je
stalna.

Primer balističkog klatna

m +M
h

M v2

m
v1

v

mv 1  0  ( m  M )

v 

Ek

m
mM

v1
2

2

1 m
 m

2
2
 ( m  M ) v  ( m  M )
v1  
v1
2
2
2 mM
mM

1

1

E p  m  M  gh
1

m

2

2 mM

2

v1  ( m  M ) gh

v1 

v1 



mM

M
m

2 gh

m

2 gh

M  m

U telo mase 1990 g, obešeno za laku neistegljivu nit,
uleće metak mase 10 g brzinom 400 m/s. Do koje
maksimalne visine će se nakon toga podići telo ako
metak ostaje u njemu (slika)?

mv   M  m v 0

v0 

M

mv
M m

 m v 0

2

2

  M  m  gh

2

v0

 gh

2
1  mv 
h


2g  M  m 

2

 20 cm

Primer 3.4.1 Telo mase 2 kg slobodno pada sa visine
10 m. Kolika je kinetička energija tela na sredini puta, a
kolika pri padu na zemlju?

Na visini h


E  E p  mgh  200 J

Na visini h  h
1
2

E p 1  mg

h

 100 J

2

E  E k 1  E p1
E k 1  E  E p1  100 J




Pri padu

E  E k 2  200 J

Primer 3.4.2 Kamen je bačen sa zemlje vertikalno
naviše brzinom 20m/s. Na kojoj visini će kinetička
energija kamena biti jednaka potencijalnoj?

E k  E k 1  E p1
2

mv 0



2

mv

2

 mgh

2

2

mv 0

 mgh  mgh

2
2

h

v0

4g

 10 m

4.4 Sudari





Proučavanje sudara može da posluži kao dobar
primer primene zakona održanja impulsa i zakona
održanja energije. Rezultati dobijeni proučavanjem
ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike: u
molekulsko kinetičkoj teoriji, proučavanju atomskih i
nuklearnih sudara, proučavanju radioaktivnog
raspada i dr.
Zbog jednostavnosti ćemo se ograničiti samo na
centralne sudare, i to dva bitna idealizovana slučaja:
elastične i neelastične (plastične) sudare.

4.5 Elastični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

m1

v2'

v 1'
m1

m2

E p  const

m2





m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
m 1 v1  m 2 v 2  m 1 v1  m 2 v 2
1
2

2
m 1 v1



1
2

2
m 2v2



1
2

2

m 1 v 1 

1
2

m 2 v 2

2

m 1 v1  m 1 v1   m 2 v 2  m 2 v 2
2
m1 v1

2
2


 m1 v1  m 2 v 2  m 2 v 2
2

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )

m 1 ( v1  v1 )  m 2 ( v 2  v 2 )
2

2

m 1 ( v1  v1 )( v 1  v 1 )
m 1 ( v 1  v1 )

2



2

m 2 ( v 2  v 2 )
m 2 ( v 2  v 2 )

v1  v1  v 2  v 2

v1 

2 m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2

v 2 

2 m1 v1  ( m 2  m1 )v 2
m1  m 2

m1  m 2
v1  v 2
m1  m 2

v 2  v 1

v2  0

v 1  0

v 2  v 1

m 2  m 1
v 1  

m2
m2

v2  0

v1   v1

v 2 

2 m1
m2

v1  0

Primer Telo mase 1 kg kreće se brzinom 4m/s i sudara
se sa telom mase 2kg koje miruje. Smatrajući sudar
centralnim i elastičnim, naći brzine tela posle sudara.

v 1 

( m 1  m 2 ) v1
m1  m 2
v 2 



2 m1 v1
m1  m 2



4 m
3 s



8 m
3 s

Primer Kugla, mase m1 = 0,05 kg, naleće brzinom
v1 = 10 m/s na nepokretnu kuglu, mase m2 = 0,11
kg. Sudar je centralan i elastičan. Kolike su brzine
kugli posle sudara?

v1   3 , 75

m
s

v 2  6 , 25

m
s

4.6 Neelasitični centralni sudari

v2

v1
m2

m1

v
m 1+ m 2




m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v

m 1 v1  m 2 v 2  ( m 1  m 2 ) v
v

m1  m 2

m 1 v1  m 2 v 2
m1  m 2

v 

v1  v 2
2

E k1 

1

Ek2 

1

2

2

 E k  E k1  E k 2 

2
m 1 v1



1
2

(m1  m 2 )v

2
m2v2

2

m1m 2
2( m 1  m 2 )

( v1  v 2 )

2

Primer Telo mase 3 kg kreće se brzinom 2m/s i sudara
se apsolutno neelastično sa telom mase 2kg koje
miruje. Kolika je brzina tela posle sudara? Koliki je
gubitak kinetičke energije pri ovom sudaru?

 E k  E k1  E k 2 

m1 m 2
2( m 1  m 2 )

2

( v1 )  2 , 4 J

4.7 Zakon održanja momenta impulsa



M  I 

 


d
dt


M  I


d



dt



M  0


d  I 
dt


dL
dt


 0




dL
dt


L  const



I    const

I 11  I 2  2

m  v  r  const

4.8 Primena zakona održanja momenta impulsa

I 11  I 2  2

Primer U centru horizontalne platforme mase 120 kg,
koja rotira oko svoje ose ugaonom brzinom
2rad/s, stoji čovek mase 60 kg. Kolika će biti
ugaona brzina platforme ako čovek pređe na njen
kraj? Platforma ima oblik diska.

1
2
MR  1   MR
2
2

1

2 

M
M  2m

2

 mR

1  1

2

rad
s


 2
