Slide 1

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 2

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 3

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 4

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 5

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 6

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 7

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 8

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 9

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 10

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 11

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 12

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 13

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 14

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 15

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 16

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 17

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 18

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 19

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 20

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 21

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?


Slide 22

Varbūtības jēdziens un
aprēķināšanas metodes

11.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
matemātikas skolotāja
Olga Maļkova

 Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī

notikuma realizēšanās iespēju.
 Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).
 Aprēķināšanas metodes:
 klasiskā varbūtība

 statistiskā varbūtība
 ģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtība
 Ja visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir vienādi iespējami, tad

jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

 Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas

nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.
 Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.

Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas
bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.
 Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1.

Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

Piemērs
 Loterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari no 0 līdz 9; no bumbiņām 4

ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

Notikums
Ciparu summa ir 5
Visas bumbiņas ir sarkanas
Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

Iznākumu kopas
elementu skaits

C

3
10

3

C 10
3

C 10

Labvēlīgo iznākumu kopas
elementu skaits
2
( 0  1  4 , 0  2  3)
3

C4

C4 C6
2

1

Statiskā varbūtība
 Ja n neatkarīgos mēģinājumos notikums A iestājas m reizes, tad m

sauc par A absolūto biežumu, bet
attiecību

W ( A) 

m
n

par notikuma A relatīvo biežumu.

 Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā

notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

P ( A)  W ( A)

Piemērs
 Lai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas. No tām uzdīga 280.

Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam.
Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.
 Notikuma A relatīvais biežums ir 280:300 ≈ 0,93, tātad

P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir
93%.
Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no
100 var nesadigt.

 Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs

atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.
 Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4

vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtība
 Cik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu šāvienu trāpīt

“desmitniekā”?
Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i.
6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

 Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A

labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām,
tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo
laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt
desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība
 Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar īstenoties vienlaikus),

tad
P(A  B)  P(A)  P(B)
 Ja notikumi A un B ir savienojami (var realizēties vienlaikus), tad

P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

Piemērs
 Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.
Tātad
P(A  B)  P(A)  P(B) 

1
6



1
6



1
3

Piemērs
 Met divas monētas. Kāda varbūtība uzmest kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;
B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.
Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami,
tie var realizēties vienlaicīgi.
1

1

1 1
3
P(A  B)  P(A)  P(B)-P(A  B)     
2 2 2 2 4

 Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir

vienāda ar 1.
P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)
Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie
iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie
iznākumi.

Piemērs
 Metamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas un aprēķina punktu

summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

Piemērs
 Loterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs ciparu kombinācija – 000,

001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena
loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās
parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk
loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt
veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma
varbūtība
 Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Piemērs
 Deviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.Varbūtība iziet no lifta

katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi
izgāja no lifta 5. stāvā”!
Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā
Notikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II
izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.
1 1
1
P(A∩B) = P(A) · P(B) =  
8 8 64

Piemērs
 Vienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un secīgi pierakstīja uzkrītošos

punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka
a) iegūtais skaitlis ir 245,
b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?