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等比級數公式
內容說明：
推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
1
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

n2

 a1 r

n 1

… 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

… 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
n

… 1

n

a1 (1 rn )

… 1



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a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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等比級數公式
內容說明：
推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

n2

 a1 r

n 1

… 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
n

… 1

n

a1 (1 rn )

… 1



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a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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等比級數公式
內容說明：
推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

n2

 a1 r

n 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
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n2

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 a1 r

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 a1 r

n 1

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 a1 r … 2
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

n2

n 2

 a1 r

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 a1 r

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 a1 r … 2
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
n

… 1

n

a1 (1 rn )

… 1



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a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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等比級數公式
內容說明：
推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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n2

 a1 r

n 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
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n2

n 2

 a1 r

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 a1 r

n 1

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 a1 r … 2
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

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 a1 r

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 a1 r

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
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a1 (1 rn )

… 1



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a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
1
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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n2

 a1 r

n 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
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 a1 r

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 
(1

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r ) S n  a1  a1 r

n

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 a1 r … 2
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
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r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
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… 1

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a1 (1 rn )

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

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a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
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n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
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求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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 a1 r

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(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
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 a1 r

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 a1 r … 2
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S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 
(1

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r ) S n  a1  a1 r

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(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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rS n 
(1

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r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

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 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
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a1 (1 rn )

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

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a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
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求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
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 a1 r

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

6

等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

… 1

2

7

等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
n

… 1

n

a1 (1 rn )

… 1



2

a1 ( r n 1)
r 1
r>1
8


Slide 8

等比級數公式
內容說明：
推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

3

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
1
4

等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

n2

 a1 r

n 1

… 1

5

等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

… 1

2

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
n

… 1

n

a1 (1 rn )

… 1



2

a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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等比級數公式
內容說明：
推導等比級數求和公式

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，

1

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。

2

等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1

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等比級數公式
求和公式推導：
• 設一個等比級數有 n 項，設其公比為 r ，

首項為 a 1 ，末項為 a n ，
則此等比級數為 a1  a 2  a 3  a 4  .... a n 1  a n 。
• 以 S n 代表此級數的和，此等比級數可以寫成
2
n2
n 1
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
 a1 r … 1
(1)當 r = 1 時，S n  a1  a1  a1  ....  a1  a1 = na
1
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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

n2

 a1 r

n 1

… 1

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r

n

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

… 1
 a1 r … 2
n

… 1

2

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等比級數公式
求和公式推導：
(2)當 r = 1 時，將 1 式等號兩邊同乘以公比 r。
S n  a 1  a 1 r  a 1 r  ....  a 1 r
2

rS n 
(1

a1 r  a1 r  ....  a1 r
2

r ) S n  a1  a1 r
Sn 

n2

n 2

 a1 r

n 1

 a1 r

n 1

1 r
r<1

 a1 r … 2
n

… 1

n

a1 (1 rn )

… 1



2

a1 ( r n 1)
r 1
r>1
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