Slide 1

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 2

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 3

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 4

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 5

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 6

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 7

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 8

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 9

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 10

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 11

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 12

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 13

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 14

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 15

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 16

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 17

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 18

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 19

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 20

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 21

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 22

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 23

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 24

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 25

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 26

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 27

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI




Slide 28

SVEUČILIŠTE U SPLITU
POMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO
INTEGRIRANJE
Trapezna i Simpsonova metoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk

Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku integraciju
► Prvobitno

je pojam integracije podrazumijevao
problem računanja površina, a kasnije je
poopćen na problem numeričkog rješavanja
integrala.
► Osnovni teorem integralnog računa daje nam
vezu između integriranja i deriviranja
x
d 
 f ( t ) dt

dx  a


  f ( x)



dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'.

► Numerička

integracija je postupak pri kojem ne
tražimo izraz za integral, nego samo računamo
njegovu numeričku vrijednost.

► Naime,

neelementarne integrale





2
sin
x
x
 npr .
e
dx , 
dx , ... 



x
0
0



aproksimiramo integralima funkcija koje možemo
, b  . se javlja
integrirati na segmentu
Pri atom
greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formula
► Najjednostavnija

metoda (ali ne i najbolja)
se sastoji u tome da se površina ispod
krivulje aproksimira nizom trapeza.
► Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.

► Općenito

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

PT rapeza 

► Površinu

ac

h

2

ispod krivulje zamjenimo tj.
aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:
b
interpolacija
f ( a )  f (b )

b  a 
 f ( x ) dx 
1 stupnja
2
a

► Točnost

se povećava ako se zadani interval podijeli
na n jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim
se primjeni trapezna formula.

x i 1  x i  h 

ba
n

► Tako

smo dobili niz integrala (površina trapeza):

x1



f ( x ) dx 

y 0  y1

x2

h,

2

x0



f ( x ) dx 

y1  y 2
2

x1

xn

h,

……



f ( x ) dx 

x n 1

y n 1  y n
2

► Zbrajanjem

svih površina trapeza dobiva se
približna vrijednost integrala
xn

y n 1  y n 
 y 0  y1 y1  y 2

 f ( x ) dx  h  2  2  ... 
2

x0
h

 y 0  2  y1  y 2  ...  y n 1   y n 
2
koju zovemo trapeznom formulom, a možemo
je zapisati i ovako:


b

IT 


a

f

 x  dx 

ba
2n

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1  

h

Ocjena greške kod trapezne formule

► Pogrešku

teorem.

trapezne formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je druga derivacija f ''( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I T

 RT ,

a

pri čemu je I T trapezna formula, dok za
ostatak RT vrijedi ocjena
RT 

(b  a ) h
12

► Želimo
(b  a )
12 n

2

2

M2 

(b  a )
12 n

2

3

M2,

M 2  m ax | f ''( x ) |.
x  a , b 

li da je RT   dovoljno je tražiti da bude

3

M2  ,

pri čemu je

n

(b  a )
12 

3

M2 .

Simpsonova formula
► Kod

Simpsonove formule nešto je bolja
točnost nego kod trapezne formule.
► Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijom
► Graf f(x) se zamjenjuje s n lukova parabola .

sa 3 točke može se odrediti Lagrangeov
interpolacijski polinom 2. stupnja.

► Dakle,

► Dalje

se može segment [a,b] dijeliti na
podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom
funkcijom nad svakim pojedinim segmentom.

►

Neka je jednadžba parabole kroz točke:
T 0 ( x 0 , y 0 ), T1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ) .

►

Možemo uzeti da je x 0   h , x1  0 , x 2  h

►

Iz jednadžbe parabole slijedi :
2

y0  A h  B h  C
y1  0  0  C

/ 4

(1)

2

y2  A  B h  C
__________________

(2)

2

y 0  4 y1  y 2  2 A h  6 C
►

P - površina ispod luka parabole na segmentu od –h do h .

h

  Ax

P 

h

Ah



3

3



2

2
 Ax 3
 h
Bx
 Bx  C dx  

 Cx  
2
 3
 h

Bh

 Ch 

Ah

2

3

3

= ( prema formuli


h
3

 y 0  4 y1 

► Općenito



Bh

y2 

2

 Ch 

2
(2)

2
3

3

A h  2C h 

h
3



2



2 A h  6C 

)=
(2')

se želi funkciju f(x) integrirati u
granicama između a i b.

b

I 



f ( x ) dx

a

[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

a  x 0  x 1  x 2  ...  x 2 m  b

Vrijednosti funkcije su, po točkama :
y0  f (x0 )
y 1  f ( x1 )
.
.
.
y 2m  f ( x2m )

na svakom podsegmentu  x 2 j , x 2 j  2 

j = 0, 1, 2, …, m-1

►

Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole y  A j x  B j x  C j koja
prolazi točkama
T 2 j ( x 2 j , y 2 j ), T 2 j  11 ( x 2 j  1 , y 2 j  1 ), T 2 j  2 ( x 2 j  2 , y 2 j  2 )

►

Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

2

x2

j2


►

x2



2



A j x  B j x  C j dx 

h
3

 y 2 j  4 y 2 j 1  y 2 j  2 

Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:
j

x2



( A0 x

2

( A1 x

2

 B 0 x  C 0 ) dx 

x0
x4



 B 1 x  C 1 ) dx 

x2
x6



( A2 x

2

 B 2 x  C 2 ) dx 

x4

h
3
h
3

( y 0  4 y1  y 2 )

( y2  4 y3  y 4 )

h
3

( y4  4 y5  y 6 )

.
.
.
x2 m


x2 m  2

( A m 1 x

2

 B m  1 x  C m  1 ) dx 

h
3

( y 2 m  2  4 y 2 m 1  y

m

)

Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

►
x2 m



f ( x ) dx 

h

 y 0  y 2 m  4( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

3

x0

►

Kako je n=2m (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo
tzv. Simpsonovu formulu:

b

 f ( x ) dx  I S



a

gdje je

h
3

 y 0  y n  4( y1  y 3  y 5  ...  y n 1 )  2( y 2  y 4  y 6  ...  y n ) 

h

ba
n

.

Neparni

Parni

Ocjena greške kod Simpsonove
formule

► Pogrešku

teorem.

Simpsonove formule daje slijedeći

► Teorem:

Ako je četvrta derivacija f IV ( x ) neprekidna i
omeđena na intervalu  a , b  , tada vrijedi:
b

 f  x  dx  I S

 RS ,

a

pri čemu je I S Simpsonova formula, dok za
ostatak R S vrijedi ocjena
RS 

► Za

(b  a ) h
180

4

M4 

(b  a )
180 n

3

2

M4,

M 4  m ax | f
x  a , b 

zadanu točnost ε broj korekcija je:
5

(b  a ) M 4
4
n
.
180 

IV

( x ) |.

Primjeri
Primjer 1.
1

Izračunati I =

1

 1  x dx

, h = 0.1 ,

0

trapeznom formulom.
Naći ocjenu greške i pravu grešku.

Rješenje:
1

I=

1

 1  x dx

0

h  0.1
n

ba



1 0

h

f

x 

 10

0.1

1
1 x



IT 

ba
2n

i
0
1
2

xi
0,0
0,1
0,2

yi=f(xi)
1,00000
0,90909
0,83333

3
4
5

0,3
0,4
0,5

0,76923
0,71429
0,66667

6
7
8

0,6
0,7
0,8

0,62500
0,58824
0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000

 y 0  y n  2  y1  y 2  ...  y n 1    0.69377

Ocjena greške:
RT 

f

x 

(b  a ) h

M2

12

1

,

M 2  m ax | f ''( x ) |
x  a , b 

M 2  m ax |
x  0,1

1 x

f ` x   
f `` x  

2

2

1  x 

3

| 2

1

1  x 
2

1  x 

3

2

RT 

1  0.1
12

2

 2  0.00167

Prava vrijednost:
1

I=

1

 1  x dx  ln 1 

1
x
0

 ln 2  ln 1  0.69314718

0

Prava greška:
| I  I T | 0.00062 , a to je < 0.00167.

Primjer 2.
3

dx

Izračunati I =  2 Simpsonovom formulom
x
2
za točnost ε = 2  10  5.
Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu
točnost?

3

Rješenje:

I 

dx

 x2

  2  10

,

5

2

5

(b  a ) M 4
4
n
180 
f (x) 

1
x

f
f
f
f

I

2

 x

( x)  2 x

II

(x)  6 x

III
IV

M 4  m ax | f

,

IV

x  a , b 

( x) |

2

3

4

( x)  24 x
( x)  120 x

5

6



120
x

6

→

M 4  m ax

120

x  2,3  x

6

 m ax

120

x  2,3  2

6

 1.875

n4

h 

1  1.875
180  2  10

ba



n

5

 4.777214  n  6

1

i

xi

f(xi)

6

0

2

0.25000

1

13/6

0.21302

2

14/6

0.18367

3

15/6

0.16000

4

16/6

0.14063

5

17/6

0.12457

6

18/6

0.11111

n  2m  m  3

f ( x) 

1
x

Is 

ba
6m

2

y0 

→

Kod Simpsonove formule
mora biti parni broj, pa
uzimamo prvi parni veći



y 2 m  4 ( y1  y 3  y 5  ...  y 2 m 1 )  2 ( y 2  y 4  y 6  ...  y 2 m  2 ) 

Is 

Is 

1
6 3
1
18

 f ( x0 ) 

f ( x 6 )  4( f ( x1 )  f ( x 3 )  f ( x 5 ))  2( f ( x 2 )  f ( x 4 ) 

 0.25000  0.11111  4(0.21302  0.16000  0.12457 )  2( 0.18367  0.14063) 

I s  0.166667

Prava vrijednost:
3
3

I 


2

x

2

dx 

x

3

1



1

1

 

x
2

1
3

2



1
2



1
6

 0 . 16666

Koraci za trapeznu formulu :
(b  a ) M
3

n

12 

M 2  m ax

f ''( x )  m ax

x  a , b 

n

2

x  2,3  x

1  0.375
12  2  10

6

5

4



6
2

4

 0.375

 39.52847075  n  40

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALA
NA
PAŽNJI

