UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-graduação Stricto Sensu em Educação Matemática Matemática Financeira Prof. Ilydio Pereira de Sá [email protected].
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UNIVERSIDADE SEVERINO
SOMBRA
Programa de Pós-graduação Stricto Sensu
em Educação Matemática
Matemática Financeira
Prof. Ilydio Pereira de Sá
[email protected]
Slide 2
2. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Slide 3
2) O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Slide 4
Na Matemática Financeira, no regime de
JUROS COMPOSTOS (ou juros sobre juros),
todos os problemas são resolvidos através da
importante noção de VALOR DO DINHEIRO NO
TEMPO.
Numa data futura (n períodos), o dinheiro fica
multiplicado por Fn . Numa data anterior, fica
n
dividido por F .
B = A . Fn
B = A : Fn
Slide 5
Exemplo 1: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de
juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria
de ser paga no dia 10 de setembro de 2009. Acontece que
Lídia ganhou um dinheirinho extra e resolveu pagar a sua
dívida no dia 10 de agosto de 2009. Quanto Lídia teve de
pagar?
solução
Como Lídia está pagou com uma antecipação de 1
mês, basta DIVIDIR 80,00 por 1,05 (fator de correção).
Logo, 80 : 1,05 = 76,19
Lídia pagou R$ 76,19
Slide 6
Exemplo 2. Certa pessoa aceitou um empréstimo
garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas:
R$ 10 000, prazo de 1 mês;
R$ 20 000, prazo de 3 meses;
R$ 40 000, prazo de 6 meses.
No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o
primeiro título, entrou em acordo com o credor para
efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do
segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na
época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa
acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o
pagamento global a ser feito na referida data?
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solução
0
1
10 000
2
3
4
5
0
6
1
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10 000
20 000
3
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20 000
40 000
40 000
W
W 10 000 . 1,15
1
20 000
1,05
Fácil, não ?
1
40 000
(1,05)
4
63 455,72
Slide 8
Exemplo 3) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros
mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês
após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último
pagamento?
solução
5000
0
1
2
3
2500
Devemos “empurrar” todos os valores
para uma mesma data (por exemplo
para o mês 3) e igualar as entradas
(empréstimo)
com
as
saídas
(pagamentos periódicos).
x
2500 . 1,05 + x = 5000 . (1,05)3
2625 + x = 5788,13
x = 3163,13
Slide 9
Exemplo 4. Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou
então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual
a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela
loja?
400
Sugerimos “empurrar” todos os valores para
a data 2 e igualar as entradas (valor à vista)
com as saídas (pagamentos mensais).
0
1
220
2
400 . F2 = 220 . F + 220
40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0
220
F
11
121 4 . 20 .( 11 )
40
11
1001
40
11 31,64
40
Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40
Logo, F = 1 + i 1,067 ou i 0,067 ou ainda i 6,7%
Slide 10
Para alunos de 8ª série do ensino fundamental (9º ano), podemos
usar esse tipo de problema (levando anúncios de jornais ou revistas)
nas aulas de equação do segundo grau. Poderíamos usar o seguinte
roteiro:
1) Suponha que você tem os R$ 400,00 e aplicou numa poupança
que rende, exatamente a mesma taxa de juros cobrada pela loja.
Um mês após a compra, o seu dinheiro estará valendo 400 . X (X
é o fator de correção correspondente a essa taxa.
2) Após o pagamento da primeira prestação, você ainda terá
400 . X – 220.
3) Um mês após o pagamento da primeira prestação, seu dinheiro
estará valendo (400 . X – 220). X.
4) Após o pagamento da segunda prestação, você terá:
(400 . X – 220). X – 220. É claro que esse valor, como a taxa do
financiamento é a mesma do investimento na poupança, terá de
ser igual a zero. Perceba que recaímos na mesma equação do
segundo grau da solução anterior.
400 X2 – 220 X – 220 = 0
Slide 11
Exemplo 5. Cálculo do tempo... Aplicando logaritmos.
Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados
580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês,
para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈
0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021
solução
580 x (1,05) n = 900
(1,05) n = 1,55 ou então
n . log (1,05) = log (1,55)
n = log (1,55) / log (1,05)
n = 0,1903 / 0,021
n 9 meses
Slide 12
Exemplo 6. Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000,
à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a
capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712
12.000
i = 8 % a.a.
5000 x 1,08
1,08
n
n
12 000
12 000
2,4
5000
0
n
n
2,4
log(2,4)
n . log (1,08) log (2,4) n
5.000
log (2,4) log
1,08
log(1,08)
24
log (2 x 3) - log 10
3
log (1,08) log
108
log (2 x 3 ) - log 100
2
3
100
10
3 . log 2 log 3 - log 10
2 . log 2 3.log 3 - log 100
3 . 0,30103 0,47712 - 1 0,38021
2 . 0,30103 3.0,47712 - 2 0,03342
n
log (2,4)
log(1,08)
0,38021
0,03342
11,3767 anos
Slide 13
CONCLUSÃO:
Com o entendimento das duas noções principais da
Matemática Financeira: Fatores de correção e valor
do dinheiro no tempo, qualquer pessoa estará apta
a resolver os problemas que aparecem em nosso
cotidiano, nessa área.
Texto para análise: Duas vezes 100 é igual a 200?
Fonte: RPM 70
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Prof. Ilydio Pereira de Sá
[email protected]
http://magiadamatematica.com
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Ed. Ciência Moderna – www.lcm.com.br
UNIVERSIDADE SEVERINO
SOMBRA
Programa de Pós-graduação Stricto Sensu
em Educação Matemática
Matemática Financeira
Prof. Ilydio Pereira de Sá
[email protected]
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2. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Slide 3
2) O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Slide 4
Na Matemática Financeira, no regime de
JUROS COMPOSTOS (ou juros sobre juros),
todos os problemas são resolvidos através da
importante noção de VALOR DO DINHEIRO NO
TEMPO.
Numa data futura (n períodos), o dinheiro fica
multiplicado por Fn . Numa data anterior, fica
n
dividido por F .
B = A . Fn
B = A : Fn
Slide 5
Exemplo 1: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de
juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria
de ser paga no dia 10 de setembro de 2009. Acontece que
Lídia ganhou um dinheirinho extra e resolveu pagar a sua
dívida no dia 10 de agosto de 2009. Quanto Lídia teve de
pagar?
solução
Como Lídia está pagou com uma antecipação de 1
mês, basta DIVIDIR 80,00 por 1,05 (fator de correção).
Logo, 80 : 1,05 = 76,19
Lídia pagou R$ 76,19
Slide 6
Exemplo 2. Certa pessoa aceitou um empréstimo
garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas:
R$ 10 000, prazo de 1 mês;
R$ 20 000, prazo de 3 meses;
R$ 40 000, prazo de 6 meses.
No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o
primeiro título, entrou em acordo com o credor para
efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do
segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na
época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa
acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o
pagamento global a ser feito na referida data?
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solução
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10 000
2
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0
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40 000
W
W 10 000 . 1,15
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Fácil, não ?
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(1,05)
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63 455,72
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Exemplo 3) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros
mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês
após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último
pagamento?
solução
5000
0
1
2
3
2500
Devemos “empurrar” todos os valores
para uma mesma data (por exemplo
para o mês 3) e igualar as entradas
(empréstimo)
com
as
saídas
(pagamentos periódicos).
x
2500 . 1,05 + x = 5000 . (1,05)3
2625 + x = 5788,13
x = 3163,13
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Exemplo 4. Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou
então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual
a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela
loja?
400
Sugerimos “empurrar” todos os valores para
a data 2 e igualar as entradas (valor à vista)
com as saídas (pagamentos mensais).
0
1
220
2
400 . F2 = 220 . F + 220
40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0
220
F
11
121 4 . 20 .( 11 )
40
11
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40
11 31,64
40
Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40
Logo, F = 1 + i 1,067 ou i 0,067 ou ainda i 6,7%
Slide 10
Para alunos de 8ª série do ensino fundamental (9º ano), podemos
usar esse tipo de problema (levando anúncios de jornais ou revistas)
nas aulas de equação do segundo grau. Poderíamos usar o seguinte
roteiro:
1) Suponha que você tem os R$ 400,00 e aplicou numa poupança
que rende, exatamente a mesma taxa de juros cobrada pela loja.
Um mês após a compra, o seu dinheiro estará valendo 400 . X (X
é o fator de correção correspondente a essa taxa.
2) Após o pagamento da primeira prestação, você ainda terá
400 . X – 220.
3) Um mês após o pagamento da primeira prestação, seu dinheiro
estará valendo (400 . X – 220). X.
4) Após o pagamento da segunda prestação, você terá:
(400 . X – 220). X – 220. É claro que esse valor, como a taxa do
financiamento é a mesma do investimento na poupança, terá de
ser igual a zero. Perceba que recaímos na mesma equação do
segundo grau da solução anterior.
400 X2 – 220 X – 220 = 0
Slide 11
Exemplo 5. Cálculo do tempo... Aplicando logaritmos.
Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados
580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês,
para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈
0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021
solução
580 x (1,05) n = 900
(1,05) n = 1,55 ou então
n . log (1,05) = log (1,55)
n = log (1,55) / log (1,05)
n = 0,1903 / 0,021
n 9 meses
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Exemplo 6. Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000,
à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a
capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712
12.000
i = 8 % a.a.
5000 x 1,08
1,08
n
n
12 000
12 000
2,4
5000
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log(2,4)
n . log (1,08) log (2,4) n
5.000
log (2,4) log
1,08
log(1,08)
24
log (2 x 3) - log 10
3
log (1,08) log
108
log (2 x 3 ) - log 100
2
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10
3 . log 2 log 3 - log 10
2 . log 2 3.log 3 - log 100
3 . 0,30103 0,47712 - 1 0,38021
2 . 0,30103 3.0,47712 - 2 0,03342
n
log (2,4)
log(1,08)
0,38021
0,03342
11,3767 anos
Slide 13
CONCLUSÃO:
Com o entendimento das duas noções principais da
Matemática Financeira: Fatores de correção e valor
do dinheiro no tempo, qualquer pessoa estará apta
a resolver os problemas que aparecem em nosso
cotidiano, nessa área.
Texto para análise: Duas vezes 100 é igual a 200?
Fonte: RPM 70
Slide 14
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[email protected]
http://magiadamatematica.com
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira
Ed. Ciência Moderna – www.lcm.com.br