Transcript Logaritmo – complemento - NS Aulas Particulares

Logaritmo 2014/2015
1. (Uerj 2015) Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log(x).
Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 cm e que, no eixo y, a ordenada
log(1000) corresponde a 15 cm.
A escala x:y na qual os eixos foram construídos equivale a:
a) 5:1
b) 15:1
c) 50:1
d) 100:1
2. (Mackenzie 2014) Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão
logA B3  logB A 2 é
a) 10
b) 6
c) 8
d) A  B
e) 12
2log2 x  log2 y  5
. O valor de ab
3. (G1 - ifce 2014) Seja (a, b) a solução do sistema linear 
log2 x  3log2 y  10
será igual a
a) 2.
b) 10.
c) 16.
d) 64.
e) 256.
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4. (Ifsc 2014) Uma professora de Matemática pede para que seu filho faça a compra de alguns
ingredientes para fazer um bolo e pães doces. Para testar os conhecimentos do filho sobre
logaritmo, ela faz a seguinte lista de compras:
Produto
Quantidade
Açúcar
log16 8 kg
Farinha de trigo
log10 100 kg
Achocolatado
2log10 102 pacotes de 200g
Outros doces
log6 1 g
Com base nas informações, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s)
CORRETA(S).
01) A mãe pediu 0,5 kg de açúcar ao filho.
02) A mãe pediu 4 pacotes de achocolatado ao filho.
04) A mãe pediu para o filho não comprar outros doces.
08) Se a mãe ligasse para o filho no caminho do mercado e falasse: “Fiz a conta errada para a
quantidade de farinha. À quantidade que lhe disse, adicione log10
1"
, ela estaria
10
reduzindo a quantidade de farinha pedida.
16) Se a mãe ligasse para o filho no caminho do mercado, e falasse; “Fiz a conta errada para a
1"
e o filho fizesse a
10
conta “quantidade de farinha = log (100.1/10)”, ele estaria certo para a quantidade de
farinha.
32) Em quilos, a quantidade total que o filho levará para casa, pela lista inicialmente feita, é 3,8
kg.
quantidade de farinha. À quantidade que lhe disse, adicione log10
5
13
, log(y  x)  1,913 e log(x  y)  2,854.
, log y 
2
5
Com base nestes dados, analise as proposições.
5. (Udesc 2014) Considere log x 
51
II. log(y2  x2 )  0,2
I. xy  1010
x
y
III. log   2    0,608
x
y
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa I é verdadeira.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
6. (G1 - ifce 2014) Sejam x, y 
pode ser simplificada para
a) log9
36x 2
y3
.
 2x

 6 .
b) log3 
6 y




d) log  x
com x  1 e y  1. A expressão 2log9 x  log3 6  6log9 y


c) log9 2x  6 1  y .
3
2

 36  y 3 .
e) log3 1  6xy  .
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7. (Cefet MG 2014) O conjunto dos valores de x 

para que log12x  2  x  x2
 exista
como número real é
a) x  | x  2 ou x  1.
1

b)  x  * | 2  x  .
2


1

c)  x  | x  2 ou x  .
2

d) x  | 2  x  1.
1

e)  x  * | x  .
2

8. (Upf 2014) Abaixo está representado o gráfico de uma função f definida em
*

por
x
f(x)  1  log3   .
k 
Tal como a figura sugere, 2 é um zero de f. O valor de k é:
a) 2
2
b)
3
3
c)
2
d) 1
e) 1
9. (Ufrgs 2014) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, então os valores de log 0,2 e log 20 são,
respectivamente,
a) 0,7 e 3.
b) 0,7 e 1,3.
c) 0,3 e 1,3.
d) 0,7 e 2,3.
e) 0,7 e 3.
10. (G1 - cftmg 2014) Considere a função f : 2,  
f(a) 
definida por f(x)  log3  x  2. Se
1
f(b), então
3
a) a  3 b  1.
b) a  3 b  3.
c) a  3 b  2  2.
d) a  3 b  4  2.
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11. (Espm 2014) Se logx  logx2  logx3  logx4  20, o valor de x é:
a) 10
b) 0,1
c) 100
d) 0,01
e) 1
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
No eixo x: 1 cm corresponde a 10 unidades;
No eixo y: 1 cm corresponde a (log1000)/15 = 3/15 = 1/5 unidades.
Logo, x/y = 50/1.
Resposta da questão 2:
[B]
Sejam a, b e c reais positivos, com a  1 e c  1.
Sabendo que logc ab  b  logc a e que logc a 
1
, temos
loga c
logA B3  logB A 2  3  logA B  2  logB A
 6
logB A
logB A
 6.
Observação: As condições A  1 e B  1 não foram observadas no enunciado.
Resposta da questão 3:
[E]
2log2 x  log2 y  5

log2 x  3log2 y  10
Multiplicando-se a primeira equação por –3 e somando com a segunda, temos:
5log2 x  5  log2 x  1  x  2 e y  8, ou seja uma solução será o par ordenado (2,8),
portanto, ab = 28 = 256.
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Resposta da questão 4:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
Quantidade de açúcar: log16 8 
log2 8
3
  0,75kg
log2 16 4
Quantidade de farinha de trigo: log10 100  2kg
Quantidade de achocolatado: 2log10 102  2  2  1 200g  800g  0,8kg  4pacotes
Quantidade de outros doces: log6 1g  0
Portanto:
[01] Falsa.
[02] Verdadeira.
[04] Verdadeira.
1
1

[08] Verdadeira, pois log10 100    log10 100  log
10 
10

[16] Falsa, pois ele levará 3,55kg.
Resposta da questão 5:
[A]
5
Tem-se log x 
13
5
13
 x  10 2 e log y 
 y  10 5 .
2
5
[I] Verdadeira. De fato,
5
13
5
xy  10 2  10 5  10 2

13
5
51
 1010 .
[II] Falsa. Lembrando que log(a  b)  loga  logb, com a e b reais positivos, vem
log(y 2  x 2 )  log(y  x)  (y  x)
 log(y  x)  log(x  y)
 1,913  2,854
 4,767.
Mas 4,767  0,2.
[III] Verdadeira. Sabendo que logab  b  loga, para todo real positivo a, temos
 x
x
y
log   2    log 

 y
x
y

y
x



2
xy
 2  log 

 xy 
 2  [log(x  y)  log xy ]
 2  (2,854  2,550)
 0,608.
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Resposta da questão 6:
[A]
b
Sabendo que loga b  loga c  loga (b  c), loga b  loga c  loga , c logab  logabc ,
c
logc b
1
e log c b   loga b, para quaisquer a  1, b  1 e c  1 reais, vem
loga b 
a
logc a
c
2  log9 x  log3 6  6  log9 y  log9 x 2 
log9 6
 log9 ( y )6
log9 3
 log9 x 2  2  log9 6  log3 y3
 log9 x 2  log9 36  log3 y3
 log9
36x 2
y3
.
Resposta da questão 7:
[B]
Das condições de existência dos logaritmos, deve-se ter
2  x  x2  0
(x  2)(x  1)  0
e

e
1  1  2x  0
1


 x  e x  0

2


2  x  1
e
1


 x  e x  0

2

1
 2  x  e x  0.
2
Portanto, o conjunto dos valores reais de x para que log(12x) (2  x  x2 ) seja um número real
1

é  x   | 2  x   .
2

Resposta da questão 8:
[B]
Fazendo f(x) = 0 e x = 2, temos a seguinte equação:
0  1  log3
2
2
2
2
 log3  1   3  k 
k
k
k
3
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Resposta da questão 9:
[B]
 2 
log0,2  log    log2  log10  0,3  1  0,7
 10 
log 20  log(2  10)  log2  log10  0,3  1  1,3
Resposta da questão 10:
[C]
f(a) 
1
f(b)
3
1
log3 (a  20)  log3 (b  2) 3
a2  3b2
a  3b2 2
Resposta da questão 11:
[D]
Sabendo que logab  b  loga, para todo a real positivo, vem
log x  log x 2  log x3  log x 4  20  10  log x  20
 log x  2
 x  102
 x  0,01.
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