A MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Prof. Ilydio Pereira de Sá UERJ – USS – PEDRO II

OU ISTO OU AQUILO

Ou se tem chuva e não se tem sol Ou se tem sol e não se tem chuva!

Ou se calça a luva e não se põe o anel, Ou se põe o anel e não se calça a luva!

Quem sobe nos ares não fica no chão, Quem fica no chão não sobe nos ares.

É uma grande pena que não se possa Estar ao mesmo tempo nos dois lugares!

Ou guardo o dinheiro e não compro o doce Ou compro o doce e gasto o dinheiro.

Ou isto ou aquilo; ou isto ou aquilo...

E vivo escolhendo o dia inteiro!

Não sei se brinco, não sei se estudo, Se saio correndo ou fico tranqüilo.

Mas não consegui entender ainda Qual é melhor: se é isto ou aquilo.

Cecília Meireles

INTRODUÇÃO:

Conhecimentos matemáticos são aplicados na interpretação de fenômenos, em diferentes áreas da ciência, nas atividades tecnológicas e cotidianas. O cidadão necessita da capacidade de leitura e interpretação de informações através de distintas formas de linguagem matemática, de percepção da coerência ou não de uma argumentação, bem como da competência para formular suas próprias idéias de forma consistente, para uma inserção crítica e autônoma na sociedade contemporânea.

Dentro deste espírito, espera-se que o estudante e cidadão compreenda os conceitos fundamentais da Matemática, tratados na Educação Básica, de forma a saber aplicá-los em situações diversas, relacionando-os entre si e com outras Nesse sentido, a áreas do conhecimento humano.

Matemática Financeira tem se mostrado um elemento positivo e que funciona como um “elo de ligação”.

Você sabe responder às questões seguintes?

1) Uma conceituada loja, numa seguintes opções de compra: a) promoção, oferece as à vista, com 30% de desconto sobre o preço de tabela; b) com um acréscimo de 20% sobre o preço de tabela, em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias).

Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida?

2) Uma loja oferece uma mercadoria ou à vista por 400 reais então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2  0,30103 e log 3  0,47712 4) Calcule quanto uma pessoa deve depositar semestralmente numa conta a prazo fixo, que paga juros de 12% ao semestre, para acumular R$ 50 000,00, daqui a 10 anos, considerando-se que o depósito inicial somente ocorrerá no final do primeiro semestre.

5) Um eletrodoméstico pode ser comprado por R$ 1.500,00 à vista ou com entrada de R$ 450,00 e mais 4 pagamentos mensais de R$ 296,11. Qual a taxa de juros implícita no financiamento proposto?

Será que esses tipos de questões costumam, normalmente, ser trabalhadas nas séries da Educação Básica?

Será que nossa formação contempla tais discussões?

Tenho a certeza, após muitos anos de magistério, que as respostas às duas últimas perguntas é NÃO.

A Educação Básica, na maioria dos casos, ignora completamente a Matemática Financeira e, quando não o faz, trabalha num verdadeiro economia a “conto de fadas” como se vivêssemos num país com “juros simples”.

Lembra da famosa “fórmulazinha” que está na maioria dos livros do Ensino Fundamental?

j  cit 100 Para quase nada...infelizmente!

Veja o exemplo abaixo extraído de um importante livro do Ensino Fundamental...(Antiga 5ª série)

A grande vantagem da Educação Básica contextualização, é, Matemática Financeira e da sua inserção na além permitir de amplas relacionar possibilidades diversos de conteúdos tradicionais da Educação Básica, desde as primeiras séries do Ensino Fundamental.

Equações Polinomiais

MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Equações Exponenciais

OS DOIS GRANDES “SEGREDOS” DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

1) OS FATORES DE CORREÇÃO 2) VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Casos comentados

1) O senhor “Enkren Kado”, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %.

Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?

solução   FATOR DE AUMENTO =

100% + 32,5% = 132,5% = 1,325

NOVO PREÇO =

1,325 x 60,00 = 79,50

2) Ritinha, em Setembro, obteve uma sobre o correção salarial de 15%, salário de Agosto, passando a receber R$ 908,50. Quanto recebia em Agosto?

solução   A x 1,15 = 908,50  A = 908,50 :1,15 =

790,00.

Logo, em agosto, Ritinha recebia

R$ 790,00

3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00.

Qual o fator e qual o percentual de aumento?

solução    34,00 x F = 47,00 F = 47 : 34 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x 100 - 100 =

38,24 %

(Aumento Percentual)

4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ?

solução     47 x F = 34 F = 34 : 47 =

0,7234

(Fator de Redução) 0,7234 x 100 =

72,34 %

(Valor Final) 100 % - 72,34 % =

27,66 %

(Redução Percentual)

5) Uma loja 30%, ou está vendendo um produto com um desconto à vista de então com pagamento normal, sem desconto, com um cheque um pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento?

solução

$70

Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada em 100 reais.

Com o desconto de 30%, o preço à vista seria de 70 reais.

  F = 100 / 70 

1,4286

Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de

42,86% 30 d $100

 Observe que o preço à vista é de 70 reais e não de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o cálculo dos juros.

6) O que aconteceria no problema anterior, se a pagamento do opção pelo preço de tabela, fosse subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato da compra e outra a 30 dias da compra?

$70

solução

$20

Saldo devedor

30 d F = 50 /20 = 2,5 Logo, a taxa de juros cobrada seria de 150% em um mês.

$50 $50

Primeiro “Segredo” – Fatores de Correção

RESUMINDO AS COISAS ...

F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%) F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%) Exemplo: Seja uma taxa de 3,5%

Taxa percentual = 3,5%  taxa unitária = 0,035  fator de aumento

1,035

 fator de redução =

0,965

AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOS

7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3 aumentos sucessivos de 12%?

solução

P

+12% P x 1,12 +12% (P x 1,12) x 1,12 +12% ((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 = P x 1,12 3

P x 1,12

3

= P x 1,4049 Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49% Aumentos ou reduções sucessivos – Multiplica-se os respectivos fatores de correção

8) Certa classe trabalhadora conquistou, no (em dissídio coletivo), um reajuste salarial de 15%, sobre os salários de janeiro de 2006, descontadas as possíveis antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho de 2006 uma mês de julho de 2006 antecipação de 8%, sobre os salários de janeiro. Qual o valor do reajuste complementar, devido a tal classe trabalhadora, sobre os salários de junho de 2006?

solução

 Verifique que se trata de um caso de aumentos sucessivos. O segundo aumento (a determinar), sobre o primeiro (antecipação de 8%), terão de dar um total acumulado de 15%.

JAN. 06 +8% JUN. 06 +X% = 15%

   1,08 x F = 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO F = 1,15 : 1,08 

1,065

SERÁ: Conclusão: Deverão receber um reajuste complementar de aproximadamente.

6,5%,

 IMPORTANTE: Assim como aumentos sucessivos pelo produto dos fatores de são calculados correção, as subtrações geradas por taxas sucessivas devem ser calculadas respectivos fatores de correção.

através da divisão dos   9) Uma mercadoria aumentou 12% num mesmo período em que a inflação correspondente foi de 5%. Qual a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria?

Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há inflação, o aumento sofrido por algum preço é constituído por duas parcelas: a correção da inflação e o aumento real (quando há).

5% inflação +X% (aumento real)

= 12%

(Taxa nominal)

  Logo, F = 1,12 : 1,05 

1,067

A taxa de aumento real da mercadoria, foi de

6,7%

10) Trabalhando com a Notícia na sala de aula ...

Jornal do Brasil – 30 de abril de 2004 FATOR DE AUMENTO = 260 / 240 

1,0833

TAXA DE AUMENTO = 0,0833 x 100 =

8,33 %

Ou (1,0833 – 1) x 100  Taxa real de aumento ...

F = 1,0833: 1,0702 (fator de aumento) 

1,012

 A taxa de ganho real do mínimo, foi de

1,2%

e a estava correta.

salário notícia

O 2º Segredo... “O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO”

PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

NUMA DATA FUTURA, O DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR F NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR F n .

n E

A x F

n

B

11) a Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2006. Acontece que pagar a sua Lídia ganhou um dinheirinho extra propôs dívida no dia 10 de agosto de 2006, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia teve de pagar à loja?

solução

Como Lídia pagou com uma antecipação de 1 mês, no cálculo basta DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 reais.

12) Certa pessoa aceitou um promissórias, a seguir discriminadas: empréstimo garantido pelas

R$ 10 000, prazo de 1 mês; R$ 20 000, prazo de 3 meses; R$ 40 000, prazo de 6 meses.

No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

solução

0 1 2 3 4 5 6 10 000 20 000 40 000 0 1 2 3 4 5 6 10 000 W 20 000 40 000

W



10 000 .

1,15

1 

20 000



1,05

1

40 000 (1,05)

4 

63 455,72

13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

solução 5000 0 1 2 3

Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).

2500

x 2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05) 3 2625 + x = 5788,13 x = 3163,13

14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

solução 400 0 1 2

40 . F 2 400 . F 2 = 220 . F + 220 = 22 . F + 22 ou 20. F 2 – 11. F – 11 = 0

220 220 F  11  121  4 .

20 .(  11 ) 40  11  1001 40  11  31 , 64 40 Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40

Logo, F = 1 + i



1,067 ou i



0,067 ou ainda i



6,7%

210F 7

Equação que resolve o problema:

F Aliás…lembra da questão retirada do livro da antiga 5ª série? Ela teria de ser resolvida como a questão anterior. Vejamos:

Preço a vista = 600 x 0,75 (25% de desconto) = 450 reais.

Entrada = 0,4 x 600 = 240 reais Valor de cada prestação = 360: 2 = 180 reais.

$450 SALDO = $210 2 2 180F 180  0 ou 6 F  6  0 $240 F  6  36 4 .

7 .

(-6) 14 F  6  14 204  1,4488 $180 LOGO , TAXA DE 44,88% $180

15) Cálculo do tempo... Equações Exponenciais e logaritmos.

Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao para gerarem um montante de 900 reais?

mês, Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021 solução 580 x (1,05) n (1,05) n = 900 = 1,55 ou então n . log (1,05) = log (1,55) n = log (1,55) / log (1,05) n = 0,1903 / 0,021

n



9 meses

16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2



0,30103 e log 3



0,47712 0 5.000

i = 8 % a.a.

12.000

n

5000 x 1,08 n  12 000 1,08 n  12 000 5000  2,4 1,08 n  2,4 n .

log (1,08)  log (2,4)  n  log(2,4) log(1,08) log  3 .

(2,4) log  log 2  log 24 10 3  log log (2 10  3 x 3) log 10  3 .

0,30103  0,47712 1  0,38021 log  2 (1,08) .

log  log 2  3.log

108 100  3 log log 100 (2 2 x 3 3 ) log 100  2 .

0,30103  3.0,47712 2  0,03342

n



log (2,4) log(1,08)



0,38021 0,03342



11,3767 anos

17) (CONCURSO DE PROFESSORES – PEDRO II – 2007) Um certo capital foi investido a juros compostos, com uma taxa de 20% ao mês. O tempo que levará para que este capital triplique é de:(log 2



0,30 e log 3



0,48). A) 5 meses B) 10 meses C) 8 meses D) 6 meses

solução

n

Se designarmos o capital por C, o Montante final será 3C. Logo, Cálculo do log 1,2

C .

(1,2)

n 

3C (1,2) .

log

n 

3 (1,2)



log 3

 log  2 1,2 .

log  log 2  12 10 log  log 3 log 2 2 .

3 10 10   0,60  0,48 1  0,08

n



log log 3 1,2

Logo, n  log log 3 1,2   0,48 0,08  6 meses

Prof. Ilydio Pereira de Sá www.magiadamatematica.com

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