Logaritmo

1

.

(Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x. Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog2 + Iog3 + Iog5 b) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + 2log15 e) 1 + 2Iog30 2

.

(Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T 0 , correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. - A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. - O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: T(x) = T 0  (0,5) 0,1x Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

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3

.

(Ufsm 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos), por V   t 1 com t  1 correspondendo a 2011, t  2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares? Dados: log 2  0,3 e log 1,05  0,02.

a) 2015. b) 2016. c) 2020. d) 2025. e) 2026. 4

.

(Ufpr 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão S      a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%? 5

.

(Ufrgs 2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas. Tomando como aproximação para log2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias está entre a) 10 4,5 e b) 10 5 e 10 5,5 .

c) 10 5,5 e d) 10 6 e 10 6,5 .

e) 10 6,5 e

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6

.

(Fuvest 2013) O número

N

de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo

t

, de acordo com a expressão   λ t , sendo N 0 o número de átomos deste isótopo em t  0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log 10 N em função de

t,

obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável ( 99m Tc), muito utilizado em diagnósticos do coração. A partir do gráfico, determine a) o valor de log 10 N 0 ; b) o número N 0 de átomos radioativos de 99m Tc ; c) a meia-vida (T 1/2 ) do 99m Tc. Note e adote: A meia-vida (T 1/2 ) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log 10 2  0,3; log 10 5  0,7.

7

.

(Uepg 2013) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade log 9  2x  5   log 3  3x   1, assinale o que for correto. 01) Existe uma única solução, que é um número primo. 02) Existem duas soluções cuja soma é positiva. 04) Existem duas soluções cujo produto é negativo. 08) Existe uma única solução fracionária. 16) Existe uma única solução, que é menor do que 8

.

(Udesc 2013) Se  y)  5 e  y)  3, então  8y) é igual a: a) 9 b) 4  c) 8 d) e) 10 9

.

(G1 - cftmg 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de

m

e

n

como a) 2mn. b) 10  m  c) d)  10 n  .

 .

 1.

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10

.

(Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês

m

, em toneladas, tem sido de .

Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?

Dado:

log1,1 0,04.

11

.

(Espcex (Aman) 2013) Se  2, com a  0, a  1 e m  0, então o valor de a 2 m a  m a) 4 b) 1 4 c) 1 d) 2 é e) 1 2 12

.

(Ime 2013) Considere a equação log 3x 3    2 x soluções reais dessa equação está contida no intervalo  a) [0, 5) 1.

A soma dos quadrados das b) [5, 10) c) [10,15) d) [15, 20) e) [20, ) 13

.

(Insper 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei d  em que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros), conforme a expressão M  Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser a) 10.000 metros e 32 segundos. b) 10.000 metros e 10 segundos. c) 1.000 metros e 32 segundos. d) 2.000 metros e 10 segundos. e) 1.000 metros e 10 segundos. 14

.

(Insper 2013) O número de soluções reais da equação   2)  2 é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

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15

.

(Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre?  0,084.) 16

.

(G1 - cftmg 2012) Se  x, então 9 a) x .

2 b) x. c) 2x. d) 3x. 17

.

(Espcex (Aman) 2012) Considerando log2  0,30 e log3  0,48, o número real x, solução da equação 5 a) b) c) d) e)       , 0    1, 3 5,       150, pertence ao intervalo: 18

.

(G1 - ifal 2012) A solução da equação logarítmica número real “m”. Desse modo, podemos afirmar que a) m = 7 ou m = 10. b) o logaritmo de m na base dez é igual a um. c) m = 10, pois m > 6. d) m = 7, pois m > 6. e) m 2 = 20.    1 é o  3 é: 19

.

(G1 - ifsc 2012) O valor

CORRETO

da expressão E   0,001 10000 a) 10000. b) 11,0000001. c) 11  10 –7 . d) 11. e) –1. 20

.

(Espm 2012) Se log 15 2  a e log 10 2  b, o valor de log 10 3 é: a) a b 1 b) b a 1 c) a a 1 d) b b 1 e) a b b

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21

.

(G1 - ifba 2012) O valor da expressão M  3 27 

co

é: a) 1 b) -3/2 c) 2 d) -5/2 e) 3 22

.

(Fgvrj 2012) Adotando os valores log2  0,30 e log3  0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano? a) 5 anos e meio b) 6 anos c) 6 anos e meio d) 7 anos e) 7 anos e meio 23

.

(G1 - ifce 2012) Considerando-se

K

= 100 log 3 + 1000 log 2 , onde os logaritmos são decimais, é

correto

afirmar-se que

K

é a) múltiplo de 10. b) negativo. c) maior que 100. d) ímpar. e) irracional. 24

.

(Fgvrj 2012) A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos terrenos de certa região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo não podia ser explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos. Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser expresso pela função f(x)   2 , em que

x

representa o número de anos transcorridos desde 2005. Assim: f(0) é o preço do terreno em 2005, f(1) o preço em 2006, e assim por diante. a) Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais? b) Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005? c) Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005? Use as aproximações para resolver as questões acima: ...e

2  7,4; ln 2  0,7; ln 5  1,6; 34,4  6 25

.

(Ufrgs 2012) O número log 2 7 está entre a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5.

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26

.

(Ime 2012) Se a) b) x  2y 1 x x  y c) 2x  y d) x  2y  x e  y, então e) 3x   2y 27

.

(Ifsp 2011) Resolvendo o sistema de equações   x 2   ordenado (x; y), cuja diferença x – y é a) 3. b) 2. 6xy  2    9y 2 log y   0 0 obtém-se um par c) 2 .

3 d)  2 .

3 e) - 2. 28

.

(Espm 2011) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do a) b) c) d) e)

2 4a 1 2b 2a



3b 4b 2



2



a a 1 3b

29

.

(G1 - cftmg 2011) O conjunto soluçăo da equaçăo a) 

5,12

 b)   2  c) d)  30

.

(Ufrgs 2011) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número a)

10

9 e

10

10 . b)

10

10 e

10

11 . c)

10

11 e

10

12 . d)

10

12 e

10

13 . e)

10

13 e

10

14 .  5)  é

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Gabarito:

Resposta da questão 1:

[D] A 1  A 2  A 3  2

Resposta da questão 2:

[C] T(x)  10  1  T 0 10  1  T 0  T 0  0,5 0,1x log10  1  log(0,5) 0,1x   2  log5 3   2  5 3       2 0,03x x  33,3333...

Logo, D = 34.

Resposta da questão 3:

[E] 13,55    2   1,05    0,3   0,3 t t t 15  16   1 , representa 2011. 16 , representa o ano de 2026.

Resposta da questão 4:

a) S = –18.log(t+1) + 86 S = –18.log(9+1) + 86 S = –18.1 + 86 S = 68 Resposta: 68%. b) 50 = –18.log(t+1) + 86

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  

–36 = –18.log(t+1) log (t+1) = 2 t + 1 = 100 t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos

Resposta da questão 5:

[B] O número N de bactérias após t períodos de 12 horas é igual a semana, teremos N   14  logN  logN  logN    14 Portanto, 10 5 10 5,5 .

Resposta da questão 6:

a) No gráfico, log 10 N o = 6. b) log 10 N o = 6  N o= 10 6 = 1 000 000. c) N(t)  logN(t) N o 2  log   N o 2   logN(t)  logN o  log2 logN(t) 0,3 logN(t)  5,7 Observando o gráfico, logN(t) = 5,7  t = 6 horas.

Resposta da questão 7:

01 + 16 = 17. log 9  2x  5   log 3  3x    1  2 log (6x 2  15x)  3 3x 6x 2  15x 0 Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém). [01] (

Verdadeira

). x = 3. [02] (

Falsa

). Existe apenas uma solução. Logo, em uma

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[04] (

Falsa

). Existe apenas uma solução. [08] (

Falsa

). A solução x = 3 é inteira. [16] (

Verdadeira

). 3 < log 5 625, ou seja, 3 < 4.

Resposta da questão 8:

[E] Lembrando que a com a  0  y)  5  y)  3   x 3 5 x x y  184   59 5 3 .

Portanto,  8y)     log 2 10  10.

Resposta da questão 9:

[D] log3,6  log 36 10   log(2 2    0, temos 2  log3 2

Resposta da questão 10:

Seja a função p :     , definida por p(m)  de produção, em toneladas, no mês m.

O valor de m para o qual p(m)  é tal que   1,1  12,1  log1,1  log12,1

Resposta da questão 11:

      m   m  28.

  2  10 , com p(m) sendo a capacidade

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[E] Sabendo que log p q r para quaisquer reais positivos p, q e r, com q  1, vem a 2 m 2 2   1    2  2       m  Portanto, a  m m  a  a 2 a 2

Resposta da questão 12:

[C]  a a  a  1 .

2 Sabendo que  , com a, b e c reais positivos e b, c  1, vem log 3x 3 x  (log x) 2 Daí, como  positivos e p  1, temos    (log x) 2  1.

log 3 3 x  (log x) 2  1.

p e log p  p sendo m, n e p reais Fazendo y  segue que        1     0 0 ou y  2)  0  1 ou y   2.

Desse modo, as raízes reais da equação dada são x  1, x  3 e x  1 e, portanto, o resultado 9 pedido é 1 2  3 2  1 9 2  10  1 81  [10, 15[.

Resposta da questão 13:

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[A] Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M Determinando, agora a altura, para M  0.

 0.

 log d d 10 4   1.000

 100.00 m Determinando o tempo de queda. 10 t 2  10.000

t 2  1.000

t 32 s

Resposta da questão 14:

[B] Sabendo que c     2)  x 2 para a, b e c reais positivos e c  1, vem  3)(x  2)  2 6 x 2 6.

Portanto, x  6 é a única solução real da equação.

Resposta da questão 15:

Cálculo de Juros Compostos M     M C  mon tan te capital   t i taxa tempo Portanto: 2000   t  1,06 t log 1,06 t   t(0,084)

Resposta da questão 16:

[B]

log a

2 

log a

2  

2

 

x.

t 11,9 anos

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Resposta da questão 17:

[B] Temos que 5  150  5    2  5  log  (x  (x   10 2 0,78 3 0,7 3 1,1    0,3  0,48 4,1.

Portanto, x  [4, 5[.

Resposta da questão 18:

[B] Condição de existência: x – 6 > 0 e 2x – 16 > 0  x > 8 2  6)     1 (x2)       2 log 2 (x  6)  2   2 (x  6)  2  1  4x 2  68x  280 4 Portanto, m = 10 e log10 = 1.

Resposta da questão 19:

[B]  3 E   0,001 10000 E 10  3 10 4  2 3 E  8 E  E   7 E  11,0000001.

Resposta da questão 20:

x 10 ou x = 7 (não convém)

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[B] Escrevendo log 15 2 na base 10, obtemos log 15 2  log 10 2 30 log 10 2  log 10  2  10 2  log 10 log 10 3  log 10 2  10 2 .

Portanto, sabendo que log 15 2  a e log 10 2  b, vem a  M  b log 10 3 log 10 3  3 27 

co

b a  log 10 3 b 1.

a

Resposta da questão 21: Questão anulada no gabarito oficial.

M M  5 2 6 3 2 (Sem resposta)

Resposta da questão 22:

[B] Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa de juro de 20% ao ano. Logo, 3C    n (1,2) n  log3  log   2 2  10 3  n    log3 0,48 0,08 6.

Resposta da questão 23:

[D] K  100 log3  1000 log2   10 log3

Resposta da questão 24:

 10 log2  3  3 2  2 3  17 (ímpar).

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a) O maior valor de mercado do terreno ocorreu em 2007, ou seja, f(2)     2    2 R$ 14.800,00.

b) Em 2005, o valor de mercado do terreno era de R$ 2.000,00. Queremos calcular o valor de x para o qual f(x)  2000, isto é, 2000  2 e  2  n1  n e  0,5x 2  2x  0 2 4.

Portanto, o preço do terreno em 2009 foi igual ao preço do terreno em 2005. c) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem f(x)  1 10  f(0), ou seja, 2  1 10  2000  e  2  10  1  n e  2   1   2  2x)  n e   ( n 2   0,5x 2  2x  2,3  0  x 2  4x  4,6  0 n 5) 5.

Por conseguinte, em 2010 o preço do terreno foi igual a um décimo do preço em 2005.

Resposta da questão 25:

[C] 2 x 2 x 3.

Resposta da questão 26:

[A] log(3 2  2)  log3 2  log2 log5 log 10 2

Resposta da questão 27:

 2log3  log2  x  2y

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[B] Condição de existência x = 2 > 0 e y > 0   x 2   6xy  2    9y 2 log y   0 0     x    log   x 3y   2 2  y   0 0 Resolvendo, temos x = 3 e y = 1. Logo, 3 – 1 = 2.

Resposta da questão 28:

[B]    y x  3y 2 Sabendo que  , temos que  log160 log9  log2 4  log10 log3 2    2b .

Resposta da questão 29:

[B]  x - 5  0  0 (condição de existência) log 2 x - 5    10 x x - 5   60  12 ou x  0 5( não convém) S = {12}

Resposta da questão 30:

[D] Façamos x  16 10   log x  log2 40  log x  log x   12,04 10 12,04 .

Portanto, 10 12 Assim,

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