Transcript Logaritmo – equações - NS Aulas Particulares
Logaritmo
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(Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x. Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog2 + Iog3 + Iog5 b) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + 2log15 e) 1 + 2Iog30 2
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(Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T 0 , correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. - A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. - O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: T(x) = T 0 (0,5) 0,1x Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36
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(Ufsm 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos), por V t 1 com t 1 correspondendo a 2011, t 2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares? Dados: log 2 0,3 e log 1,05 0,02.
a) 2015. b) 2016. c) 2020. d) 2025. e) 2026. 4
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(Ufpr 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão S a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%? 5
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(Ufrgs 2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas. Tomando como aproximação para log2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias está entre a) 10 4,5 e b) 10 5 e 10 5,5 .
c) 10 5,5 e d) 10 6 e 10 6,5 .
e) 10 6,5 e
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(Fuvest 2013) O número
N
de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo
t
, de acordo com a expressão λ t , sendo N 0 o número de átomos deste isótopo em t 0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log 10 N em função de
t,
obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável ( 99m Tc), muito utilizado em diagnósticos do coração. A partir do gráfico, determine a) o valor de log 10 N 0 ; b) o número N 0 de átomos radioativos de 99m Tc ; c) a meia-vida (T 1/2 ) do 99m Tc. Note e adote: A meia-vida (T 1/2 ) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log 10 2 0,3; log 10 5 0,7.
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(Uepg 2013) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade log 9 2x 5 log 3 3x 1, assinale o que for correto. 01) Existe uma única solução, que é um número primo. 02) Existem duas soluções cuja soma é positiva. 04) Existem duas soluções cujo produto é negativo. 08) Existe uma única solução fracionária. 16) Existe uma única solução, que é menor do que 8
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(Udesc 2013) Se y) 5 e y) 3, então 8y) é igual a: a) 9 b) 4 c) 8 d) e) 10 9
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(G1 - cftmg 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de
m
e
n
como a) 2mn. b) 10 m c) d) 10 n .
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1.
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(Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês
m
, em toneladas, tem sido de .
Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?
Dado:
log1,1 0,04.
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(Espcex (Aman) 2013) Se 2, com a 0, a 1 e m 0, então o valor de a 2 m a m a) 4 b) 1 4 c) 1 d) 2 é e) 1 2 12
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(Ime 2013) Considere a equação log 3x 3 2 x soluções reais dessa equação está contida no intervalo a) [0, 5) 1.
A soma dos quadrados das b) [5, 10) c) [10,15) d) [15, 20) e) [20, ) 13
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(Insper 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei d em que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros), conforme a expressão M Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser a) 10.000 metros e 32 segundos. b) 10.000 metros e 10 segundos. c) 1.000 metros e 32 segundos. d) 2.000 metros e 10 segundos. e) 1.000 metros e 10 segundos. 14
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(Insper 2013) O número de soluções reais da equação 2) 2 é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
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(Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? 0,084.) 16
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(G1 - cftmg 2012) Se x, então 9 a) x .
2 b) x. c) 2x. d) 3x. 17
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(Espcex (Aman) 2012) Considerando log2 0,30 e log3 0,48, o número real x, solução da equação 5 a) b) c) d) e) , 0 1, 3 5, 150, pertence ao intervalo: 18
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(G1 - ifal 2012) A solução da equação logarítmica número real “m”. Desse modo, podemos afirmar que a) m = 7 ou m = 10. b) o logaritmo de m na base dez é igual a um. c) m = 10, pois m > 6. d) m = 7, pois m > 6. e) m 2 = 20. 1 é o 3 é: 19
.
(G1 - ifsc 2012) O valor
CORRETO
da expressão E 0,001 10000 a) 10000. b) 11,0000001. c) 11 10 –7 . d) 11. e) –1. 20
.
(Espm 2012) Se log 15 2 a e log 10 2 b, o valor de log 10 3 é: a) a b 1 b) b a 1 c) a a 1 d) b b 1 e) a b b
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(G1 - ifba 2012) O valor da expressão M 3 27
co
é: a) 1 b) -3/2 c) 2 d) -5/2 e) 3 22
.
(Fgvrj 2012) Adotando os valores log2 0,30 e log3 0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano? a) 5 anos e meio b) 6 anos c) 6 anos e meio d) 7 anos e) 7 anos e meio 23
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(G1 - ifce 2012) Considerando-se
K
= 100 log 3 + 1000 log 2 , onde os logaritmos são decimais, é
correto
afirmar-se que
K
é a) múltiplo de 10. b) negativo. c) maior que 100. d) ímpar. e) irracional. 24
.
(Fgvrj 2012) A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos terrenos de certa região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo não podia ser explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos. Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser expresso pela função f(x) 2 , em que
x
representa o número de anos transcorridos desde 2005. Assim: f(0) é o preço do terreno em 2005, f(1) o preço em 2006, e assim por diante. a) Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais? b) Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005? c) Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005? Use as aproximações para resolver as questões acima: ...e
2 7,4; ln 2 0,7; ln 5 1,6; 34,4 6 25
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(Ufrgs 2012) O número log 2 7 está entre a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5.
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(Ime 2012) Se a) b) x 2y 1 x x y c) 2x y d) x 2y x e y, então e) 3x 2y 27
.
(Ifsp 2011) Resolvendo o sistema de equações x 2 ordenado (x; y), cuja diferença x – y é a) 3. b) 2. 6xy 2 9y 2 log y 0 0 obtém-se um par c) 2 .
3 d) 2 .
3 e) - 2. 28
.
(Espm 2011) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do a) b) c) d) e)
2 4a 1 2b 2a
3b 4b 2
2
a a 1 3b
29
.
(G1 - cftmg 2011) O conjunto soluçăo da equaçăo a)
5,12
b) 2 c) d) 30
.
(Ufrgs 2011) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número a)
10
9 e
10
10 . b)
10
10 e
10
11 . c)
10
11 e
10
12 . d)
10
12 e
10
13 . e)
10
13 e
10
14 . 5) é
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D] A 1 A 2 A 3 2
Resposta da questão 2:
[C] T(x) 10 1 T 0 10 1 T 0 T 0 0,5 0,1x log10 1 log(0,5) 0,1x 2 log5 3 2 5 3 2 0,03x x 33,3333...
Logo, D = 34.
Resposta da questão 3:
[E] 13,55 2 1,05 0,3 0,3 t t t 15 16 1 , representa 2011. 16 , representa o ano de 2026.
Resposta da questão 4:
a) S = –18.log(t+1) + 86 S = –18.log(9+1) + 86 S = –18.1 + 86 S = 68 Resposta: 68%. b) 50 = –18.log(t+1) + 86
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–36 = –18.log(t+1) log (t+1) = 2 t + 1 = 100 t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos
Resposta da questão 5:
[B] O número N de bactérias após t períodos de 12 horas é igual a semana, teremos N 14 logN logN logN 14 Portanto, 10 5 10 5,5 .
Resposta da questão 6:
a) No gráfico, log 10 N o = 6. b) log 10 N o = 6 N o= 10 6 = 1 000 000. c) N(t) logN(t) N o 2 log N o 2 logN(t) logN o log2 logN(t) 0,3 logN(t) 5,7 Observando o gráfico, logN(t) = 5,7 t = 6 horas.
Resposta da questão 7:
01 + 16 = 17. log 9 2x 5 log 3 3x 1 2 log (6x 2 15x) 3 3x 6x 2 15x 0 Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém). [01] (
Verdadeira
). x = 3. [02] (
Falsa
). Existe apenas uma solução. Logo, em uma
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[04] (
Falsa
). Existe apenas uma solução. [08] (
Falsa
). A solução x = 3 é inteira. [16] (
Verdadeira
). 3 < log 5 625, ou seja, 3 < 4.
Resposta da questão 8:
[E] Lembrando que a com a 0 y) 5 y) 3 x 3 5 x x y 184 59 5 3 .
Portanto, 8y) log 2 10 10.
Resposta da questão 9:
[D] log3,6 log 36 10 log(2 2 0, temos 2 log3 2
Resposta da questão 10:
Seja a função p : , definida por p(m) de produção, em toneladas, no mês m.
O valor de m para o qual p(m) é tal que 1,1 12,1 log1,1 log12,1
Resposta da questão 11:
m m 28.
2 10 , com p(m) sendo a capacidade
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[E] Sabendo que log p q r para quaisquer reais positivos p, q e r, com q 1, vem a 2 m 2 2 1 2 2 m Portanto, a m m a a 2 a 2
Resposta da questão 12:
[C] a a a 1 .
2 Sabendo que , com a, b e c reais positivos e b, c 1, vem log 3x 3 x (log x) 2 Daí, como positivos e p 1, temos (log x) 2 1.
log 3 3 x (log x) 2 1.
p e log p p sendo m, n e p reais Fazendo y segue que 1 0 0 ou y 2) 0 1 ou y 2.
Desse modo, as raízes reais da equação dada são x 1, x 3 e x 1 e, portanto, o resultado 9 pedido é 1 2 3 2 1 9 2 10 1 81 [10, 15[.
Resposta da questão 13:
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[A] Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M Determinando, agora a altura, para M 0.
0.
log d d 10 4 1.000
100.00 m Determinando o tempo de queda. 10 t 2 10.000
t 2 1.000
t 32 s
Resposta da questão 14:
[B] Sabendo que c 2) x 2 para a, b e c reais positivos e c 1, vem 3)(x 2) 2 6 x 2 6.
Portanto, x 6 é a única solução real da equação.
Resposta da questão 15:
Cálculo de Juros Compostos M M C mon tan te capital t i taxa tempo Portanto: 2000 t 1,06 t log 1,06 t t(0,084)
Resposta da questão 16:
[B]
log a
2
log a
2
2
x.
t 11,9 anos
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Resposta da questão 17:
[B] Temos que 5 150 5 2 5 log (x (x 10 2 0,78 3 0,7 3 1,1 0,3 0,48 4,1.
Portanto, x [4, 5[.
Resposta da questão 18:
[B] Condição de existência: x – 6 > 0 e 2x – 16 > 0 x > 8 2 6) 1 (x2) 2 log 2 (x 6) 2 2 (x 6) 2 1 4x 2 68x 280 4 Portanto, m = 10 e log10 = 1.
Resposta da questão 19:
[B] 3 E 0,001 10000 E 10 3 10 4 2 3 E 8 E E 7 E 11,0000001.
Resposta da questão 20:
x 10 ou x = 7 (não convém)
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[B] Escrevendo log 15 2 na base 10, obtemos log 15 2 log 10 2 30 log 10 2 log 10 2 10 2 log 10 log 10 3 log 10 2 10 2 .
Portanto, sabendo que log 15 2 a e log 10 2 b, vem a M b log 10 3 log 10 3 3 27
co
b a log 10 3 b 1.
a
Resposta da questão 21: Questão anulada no gabarito oficial.
M M 5 2 6 3 2 (Sem resposta)
Resposta da questão 22:
[B] Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa de juro de 20% ao ano. Logo, 3C n (1,2) n log3 log 2 2 10 3 n log3 0,48 0,08 6.
Resposta da questão 23:
[D] K 100 log3 1000 log2 10 log3
Resposta da questão 24:
10 log2 3 3 2 2 3 17 (ímpar).
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a) O maior valor de mercado do terreno ocorreu em 2007, ou seja, f(2) 2 2 R$ 14.800,00.
b) Em 2005, o valor de mercado do terreno era de R$ 2.000,00. Queremos calcular o valor de x para o qual f(x) 2000, isto é, 2000 2 e 2 n1 n e 0,5x 2 2x 0 2 4.
Portanto, o preço do terreno em 2009 foi igual ao preço do terreno em 2005. c) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem f(x) 1 10 f(0), ou seja, 2 1 10 2000 e 2 10 1 n e 2 1 2 2x) n e ( n 2 0,5x 2 2x 2,3 0 x 2 4x 4,6 0 n 5) 5.
Por conseguinte, em 2010 o preço do terreno foi igual a um décimo do preço em 2005.
Resposta da questão 25:
[C] 2 x 2 x 3.
Resposta da questão 26:
[A] log(3 2 2) log3 2 log2 log5 log 10 2
Resposta da questão 27:
2log3 log2 x 2y
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[B] Condição de existência x = 2 > 0 e y > 0 x 2 6xy 2 9y 2 log y 0 0 x log x 3y 2 2 y 0 0 Resolvendo, temos x = 3 e y = 1. Logo, 3 – 1 = 2.
Resposta da questão 28:
[B] y x 3y 2 Sabendo que , temos que log160 log9 log2 4 log10 log3 2 2b .
Resposta da questão 29:
[B] x - 5 0 0 (condição de existência) log 2 x - 5 10 x x - 5 60 12 ou x 0 5( não convém) S = {12}
Resposta da questão 30:
[D] Façamos x 16 10 log x log2 40 log x log x 12,04 10 12,04 .
Portanto, 10 12 Assim,