Transcript CUARTO AÑO AREA : MATEMATICA PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS TEMA : CONECTIVOS LÓGICOS.

CUARTO AÑO
AREA : MATEMATICA
PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS
TEMA : CONECTIVOS LÓGICOS
2013
Los conectivos lógicos son palabras o términos
que se usan para enlazar proposiciones o cambiar
el valor de verdad de una proposición. A la
asociación de una proposición y un conectivo se
llama
S ÍMBO LO
~





O P ERA C IÓ N
LÓ G IC A
Nega ción
Conjunción
Disyunción
S IG NIFIC A D O
No p
p yq
p o q
Condiciona l
Si p, entonces q
Bicondiciona l
Disyunción
Exclusiva
p si y sólo si q
"o ........ o ........"
CLASES DE PROPOSICIONES
Las proposiciones pueden ser:
:
Es aquella que contiene una sola afirmación y se
simboliza con las letras p, q, r, s, t, …., además no
existe conectivo lógico alguno.
EJEMPLOS:
p: Cincuenta es múltiplo de diez.
q: La puerta es de madera
r : 8 + 7 = 15
s: El cuadrado tiene tres lados
CLASES DE PROPOSICIONES
Son aquellas que están formada por dos o más
proposiciones simples unidas por conectivos
lógicos
EJEMPLOS:
a) 29 es un número primo y 5 es impar.
b) Si 3 x 6 = 18 entonces 6 x 3 =18
c) La selección peruana de futbol bien gana o pierde
d) Alfredo aprueba matemática si y solo si estudia
con responsabilidad.
PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
p
p q
p q r
V
V V
V
V
V
F
V F
V
V
F
F
V
V
F
V
F F
V
F
F
22
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
21
23
Si
se
tiene
proposiciones simples, y
llamamos A al numero
de filas que resultan de
todos
los
arreglos
posibles de las V y F ,
se
presentan
2n
posibilidades
OBSERVACION: La
cantidad de filas en una
# filas = 2 n
tabla es:
1.-CONJUNCIÓN: Es la operación que
enlaza dos proposiciones mediante el
conectivo lógico "y". (  )
Ejemplo
p : Jorge viajó al Cusco
q : Luis viajó a Ica
“Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”
p
q
Simbología: “p  q”
NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras
pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.
La conjunción ( ), solo es verdadera en el
caso de que ambos proposiciones sean
verdaderas en todo otro caso es falsa
p

q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
2.
LA
DISYUNCIÓN
DÉBIL
O
INCLUSIVA.Es
un
enunciado
compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “ o “, cuyo
símbolo es “” y se llama disyuntor.
r : Juana viajará a Pacarán
s : Juana viajará a Cerro azul
“Juana viajará a Pacarán o a Cerro Azul”
r
Simbología: “r  s”
s
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
DÉBIL
p

q
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La disyunción es falsa solo si
ambas proposiciones son falsas
3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O
EXCLUSIVA.Es
un
enunciado
compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “O…..o………”,
cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor
fuerte. Ejemplo:
p : Jorge radica en Quilmaná
q : Jorge radica en Lunahuaná
“O Jorge radica en Quilmaná o en Lunahuaná”
p
Simbología: “p  q ”
q
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA
DISYUNCIÓN FUERTE
p

q
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La
disyunción
fuerte
es
verdadera solo si ambas
proposiciones tienen diferentes
valores de verdad
La disyunción fuerte es falsa
solo si ambas proposiciones
tienen idénticos valores de
verdad
4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado
compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan
con
el
conectivo
“Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es
“→” y se llama implicador. Ejemplo:
p : Ana tiene DNI……..….… (antecedente)
q : Ana es mayor de edad…….(consecuente)
“Si Ana tiene DNI entonces es mayor de edad”
p
Simbología: “p → q ”
q
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p

q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
El condicional solo
falso
cuando
antecedente
verdadero
y
consecuente es falso.
es
el
es
el
5. EL BICONDICIONAL.- Es un
enunciado compuesto en el que dos
proposiciones se relacionan con el
conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo
símbolo es “↔” llamado doble implicador.
Ejemplo:
p : Sicilia es una isla
q : Sicilia está rodeada de agua
“Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”
p
Simbología: “p ↔ q ”
q
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL
BICONDICIONAL
p

q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
El
bicondicional es
verdadero
solo
si
ambas
proposiciones
poseen
idénticos
valores de verdad
El bicondicional es falso solo si
ambas proposiciones poseen
diferentes valores de verdad
6.- NEGACIÓN.- Afecta a una sola proposición.
Es un operador monádico que cambia el valor de
verdad de una proposición, cuyo símbolo es “” y
se llama negador. Ejemplo:
“Luis es profesor de matemática
p
“No es cierto que Luis es profesor de matemática”
p
“Es falso que Luis es profesor de matemática”
p
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p
p
V
F
F
V
TABLA RESUMEN
Conector
Condición

Valor de
verdad
V

V
Si tienen valores diferentes de
verdad.

F
Si el antecedente es verdadero y
el consecuente es falso

F
Si ambos son falsos

V
Si ambos son verdaderos
~
V
Si la proposición es falsa.
Si ambos tienen igual valor de
verdad.
I.- Marcar con un aspa según corresponda a cada
expresión o enunciado, e indique su valor de verdad.
Nº
EXPRESION o
ENUNCIADO
PROP
OSICI
ON
SI
1
2
3
4
5
11 es un número impar
6 + 7 = 13


Nº
EXPRESION o
ENUNCIADO
NO
PROP
OSICI
ON
SI
V
V
El Agua de mar es

V
salada
¡Como estas!

Haz caminata

temprano

6
7
x2 = 9 es ecuación de
2º grado
8
/-3/ = -3
9
10
NO
V


F
19 es divisible por 2 
F
Vino Javier

II.- Escribir cada una de las siguientes proposiciones en forma simbólica
Si p : José es médico ;
q : José es dentista;
r: Fidel es ingeniero
a) José es médico y Fidel es ingeniero
pr
b) Si José es médico o Fidel es ingeniero; entonces
José es dentista
(p  r )  q
c) José no es médico; pero Fidel no es ingeniero. p  r
d) Si Fidel es ingeniero y José no es dentista,
entonces José es médico
(r  q )  p
III.- Escribir en forma de oración el significado
de las siguientes proposiciones:
a) p   q
José es médico y no es dentista
b) (  p  q ) → r Si José no es médico o dentista,
entonces Fidel es ingeniero
c) p   q
José es médico si, y solo si no es
dentista
d) r → ( p  q ) Si Fidel es ingeniero, entonces
José es médico o dentista
III.- Si p y q son verdaderos r y s son falsos
entonces el valor de verdad de:
[ (p  q )  p ]  ( r  s ) es :
solución
[ (p  q )  p ]  ( r  s )
V  V
V
F  F
V
 V
V

V
F
IV.- Encontrar el valor de:
( p  q )   p   ( r  p ); siendo q y r
falsos; p es verdadero.
(pq)p(rp)
F  V
V  F
V

F
V
F

V
F
EJERCICIOS PROPUESTOS
V.- Si ( p  q )  r es falso determinar el valor de
la verdad de las siguientes proposiciones:
a) ( r  p )  ( r  q )
F
b)  r  ( r  r )
F
c) r  ( p  q )
v
d) r  ( p  q )
F
e) ( p  q )  r
F
f) ( p  r )  ( r  q )
F
SOLUCIÓN
V.- Si ( p  q )  r es falso :
(p  q)  r
v  v
v

F
F
Entonces concluimos que , p y q son
verdaderos; r es falso

La característica tabular de una fórmula lógica es la
columna de valores de verdad debajo del operador de
mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los
siguientes casos:
1.- Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el
esquema es una TAUTOLOGÍA.
2.- Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema
es una CONTRADICCIÓN.
3.- Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros
falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p  q)  (p  r)
Solución
(pq) 
 ( p   r)
p
q
r
V
V
V
V V V
V
V
V
F
F
V
V
F
V V V
V
F
V
V
V
V
F
V
V F F
V
V
V
F
F
V
F
F
V F F
F
F
V
V
V
F
V
V
F F V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F F
F
F
V
1
3 2
8
7
F
4
V
5
6