Transcript Pomiary Przemieszczeń WYKŁAD 2 Odkształcenia Dr hab. inż. Andrzej Kwinta Katedra Geodezji ul. Balicka 253A pokój 305 tel.

Pomiary Przemieszczeń
WYKŁAD 2
Odkształcenia
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Katedra Geodezji
ul. Balicka 253A
pokój 305
tel. (12) 662-45-13
e-mail: [email protected]
Studia II Stopnia
rok akad. 2015/2016
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Odkształcenie– wzajemna zmiana położenia punktów obiektu w określonym
interwale czasu
Liniowe
Odkształcenia
Postaciowe
Miarą odkształcenia liniowego nazywamy granicę zmiany długości
odcinka do jego pierwotnej długości.
Miarą odkształcenia postaciowego nazywamy zmianę wartości kąta
pomiędzy dwoma odcinkami spowodowaną przez odkształcenie.
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 2
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Składowe odkształceń przestrzennych:
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 3
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Wyprowadzenie odkształcenia przestrzennego
Odkształcenie (względna zmiana długości)
l 
dli  dl0
dl0
Odkształcenie w przyjętym układzie współrzędnych (x,y,z)
 xx

T   yx
 zx

Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
 xy  xz 

 yy  yz 
 zy  zz 
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 4
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Odkształcenie odcinka w przestrzeni:
z
A0(x,y,z)
Ai(x+u,y+v,z+w)
B0(x+dx,y+dy,z+dz)
Bi(x+dx+u+du,y+dy+v+dv,z+dz+w+dw)
Bi
dli
Ai
dl0
B0
A0
y
x
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 5
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Klasyczna teoria sprężystości
(teoria liniowa jednorodnego ciała izotropowego)
• przemieszczenia są małe w porównaniu z wymiarami obiektu,
• odkształcenia liniowe i postaciowe są bardzo małe w porównaniu do jedności,
• kąty obrotu są małe w porównaniu do jedności, a ich kwadraty są małe w
porównaniu do odkształceń liniowych i postaciowych.
 l  1
 l2  0
 a 
  0
 i 
2
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 6
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Tensor odkształcenia można rozłożyć:
Macierz symetryczna odkształcenia
Macierz antysymetryczna - Rotacja
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
T  ε s  ε a

u

x

 1  u v 
εs     
 2  y x 

 1  u  w 
 2  z x 

0


 1  u v 
εa     
 2  y x 

 1  u  w 
 2  z x 
1  u v 
 

2  y x 
v
y
1  u w 
 

2  z y 
1  u v 
 

2  y x 
0
1  u w 
 

2  z y 
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
1  u w  
 

2  z x  
1  u w  
 

2  z y  

w


z
1  u w  
 

2  z x  
1  u w  
 

2  z y  


0

Str. 7
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Przestrzenny tensor odkształcenia
Tensor jest uogólnieniem wektora i skalara, jest obiektem
matematycznym o własności niezmienności niezależnie od przyjętego
układu współrzędnych
W układzie współrzędnych prostokątnych x,y,z
 xx

T   yx
 zx

 xy  xz 

 yy  yz 
 zy  zz 
W układzie odkształceń głównych
1 0
T   0  2
 0 0
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
0
0 
 3 
Str. 8
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Niezmienniki przekształceń odkształceń przestrzennych
1. Niezmiennik liniowy
J1   x   y   z  1   2   3
2. Niezmiennik kwadratowy
J 2   x y   y z   x z   xy2   yz2   xz2   1 2   2 3  1 3
3. Niezmiennik sześcienny
J 3   x y z  2 xy yz xz   z xy2   x yz2   y xz2   1 2 3
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 9
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Rozkład odkształceń przestrzennych
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 10
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Rozkład odkształceń przestrzennych
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 10
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Rozkład odkształceń przestrzennych
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 10
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Rozkład odkształceń przestrzennych
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 10
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Dla płaskiego stanu odkształceń

u

x

T 
 1  u v 
   
 2  y x 
 x
T  
 yx
1  u v  
 

2  y x  

v

y

 xy 
 y 
1 0 
T  

0

2

Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Niezmienniki przekształceń odkształceń płaskich
1. Niezmiennik liniowy
J1   x   y  1   2
2. Niezmiennik kwadratowy
J 2   x y   xy2  1 2
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Dla płaskiego stanu odkształceń
 max   1 
x y
2
 x  y
 
 2
tg max  tg1 
 min
2

   xy 2

  xy
2 y   max 
x y
 x  y 
   xy 2
 2 
 
2
 2 
  xy
tg min  tg 2 
2 y   min 
2
To samo można uzyskać obliczając wektor własny
det  T  I   0
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 12
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Konstrukcje pomiarowe do wyznaczania odkształceń
 rozety
d3
d2
d2
S
d3
S
d1
d1
d32
 gwiazdy
d31
d2
S
S
d1
d12
d3
d11
d21
d22
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Gwiazda regularna
 W przybliżeniu równe długości
odcinków pomiarowych
 Sąsiednie odcinki przecinają się
pod stałym kątem
 Dokładności pomiarów długości
w poszczególnych seriach
pomiarowych są takie same,
Układ równań dla odkształceń:
    xx cos2 1   2 xy sin1 cos1    yy sin2 1 
1
    xx cos2  2   2 xy sin 2 cos 2    yy sin2  2 
2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...
Rozwiązanie zgodnie
z MNK
    xx cos2  n   2 xy sin n cos n    yy sin2  n 
n
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Przykład wyznaczania odkształceń
Pomiary
LEGENDA:
B
Punt pomiarowy
Stanowisko instrumentu
1. Stabilizacja punktów gwiazdy
pomiarowej- 11 punktów,
2. Okresowe pomiary metodą wcięcia w
przód- z 3 stanowisk
3. Wyznaczenie współrzędnych punktów
gwiazdy w poszczególnych seriach
pomiarowych,
7
9
8
10
11
6
2
1
Obliczenia
5
4
1. Aproksymacja przemieszczeń w dwóch
kierunkach wzajemnie prostopadłych,
3
2. Różniczkowanie powierzchni,
3. Wyznaczenie powierzchni składowych
tensora odkształceń,
A
4. Obliczenie odkształceń głównych.
20m
C
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Przykład wyznaczania odkształceń
Wyznaczenie rozkładu przemieszczeń
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Przykład wyznaczania odkształceń
Wyznaczenie składowych tensora odkształcenia
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Przykład wyznaczania odkształceń
Wyznaczenie rozkładu odkształceń głównych
 max
 min
7
7
9
9
8
8
10
10
11
6
11
2
5
2
1
1
4
4
3
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
6
5
3
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 11
Pomiary przemieszczeń
rok akad. 2015/2016
Zapraszam
na
kolejny wykład
Dr hab. inż. Andrzej Kwinta
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
Str. 13