Transcript Ena Šestić 261/2009 Slobodan Nikolić 270/2009 Marko Mihajlović 111/2009 Platonova tela ili pravilni poliedri, su poliedri čija je svaka strana pravilan poligon sa jednakim.

Ena Šestić 261/2009
Slobodan Nikolić 270/2009
Marko Mihajlović 111/2009
Platonova tela ili pravilni poliedri, su poliedri čija je
svaka strana pravilan poligon sa jednakim brojem
temena i čije svako teme sadrži jednak broj ivica.
Postoji tačno pet
platonovih tela:
• tetraedar
• kocka
• oktaedar
• dodekaedar
• ikosaedar
Svako Platonovo telo
predstavlja pojedinačnu
pojavu:
• Tetraedar – vatra
• Oktaedar – vazduh
• Ikosaedar – voda
• Heksaedar – zemlja
• Dodekaedar – vasiona
Svako od pet Platonovih tela zadovoljava sledeće uslove:
• Sve pljosni su pravilne medjusobno podudarne
poligonske površi (svaka pljosan ima isti broj ivica)
• Sve rogljaste površi su pravilne i međusobno
podudarne (svaki rogalj ima isti broj ivica) i
konveksni su.
Svako Platonovo telo može imati
dodeljene simbole p i q,
tako da je p broj ivica svake stranice i
q broj stranica koje se susreću na svakom
preseku.
Dobro je poznato da ovu klasu pravilnih
poliedara čini sledećih pet poliedara:
• (3,3) tetraedar
• (3,4) oktaedar
• (4,3) heksaedar
• (3,5) ikosaedar
• (5,3) dodekaedar
• p – broj ivica
Formule:
• q – broj stranica
• pF = 2E = qV
• V (vertices) – broj temena • Ojlerova formula
• E (edges) – broj ivica
V-E+F=2
• F (faces) – broj pljosni
Iz ove činjenice možemo u potpunosti odrediti V, E I F:
Euklidov geometrijski dokaz:
• Svaki ćošak tela mora da se podudara sa po jednim
ćoškom (vrhom) najmanje tri strane.
• Na svakom vrhu tela, zbir uglova između njihovih
odgovarajućih susednih strana mora biti manji od 360
stepeni.
• Uglovi kod svih temena svih strana Platonovog tela su
isti, tako da svaki ćošak svake strane mora da doprinosi
manje od 120 stepeni.
• Pravilni mnogouglovi sa šest ili više strana imaju
samo uglove od 120 stepeni ili više, tako da
zajednička lica moraju da budu trouglovi,
kvadrati ili petouglovi.
Platon konstruise pravilna geometrijska tela prosto
tako što spaja ravne strane. Ove strane napravljene
su od trouglova i svi trouglovi su sastavljeni iz dva
pravougla trougla. Pravougli trouglovi su ili
jednakokraki ili nejednakostranični.
Heksaedar (kocka) ima strane (kvadrate) koje su
napravljene od jednakokrakih pravouglih trouglova tako
što su 4 takva spojena da bi formirala kvadrat.
Ostala tri tela koja imaju za strane jednakostranične
trouglove, tetraedar, oktaedar i ikosaedar zavise samo
od ostalih vrsta pravouglih trouglova. Kod njih je svaka
strana napravljena od 6 pravouglih trouglova.
Dodekaedar
Dodekaedar je sačinjen od 12 pravilnih petouglova.
Platon je bio svestan da se strane dodekaedra ne
mogu konstruisati uz pomoć 2 pravougla trougla od
kojih zavise ostala geometrijska tela. Učinjen je
pokušaj da se petougao podeli na izvestan broj
pravouglih trouglova:
• Plutarh kaze da je svaka od 12 strana dodekaedra
napravljena od 30 elementarnih nejednakostraničnih
trouglova.
• Alcinous govori o 360 elemenata koji nastaju kada se
svaki petougao podeli na 5 jednakostraničnih trouglova
i kada se svaki od ovih dalje podeli na 6
nejednakostraničnih. Ako povučemo linije u petouglu
dobijamo takav splet trouglova koji takodje
pokazuje pitagorejski pentagram
Dualna tela
• Ako se svakoj pljosni Platonovog tela
pridruži težište te pljosni, dobijaju se
temena dualnog tela.
• Dualno telo bilo kog Platonovog tela
jeste opet Platonovo telo.
• Ako Platonovo telo predstavimo preko
p i q onda će njegovo dualno telo imati
oznake q i p.
•Dualno telo se konstruiše tako što
uzimamo temena tela i postavljamo ih u
centre pljosni Platonovog tela. Ivice
dualnog tela formiramo spajanjem
centara susednih pljosni Platonovog
tela. Na ovaj način se broj pljosni i
temena smenjuje dok broj ivica ostaje
isti.
Tetraedar je dualan sam sebi.
Heksaedar i oktaedar su međusobno dualna tela:
Heksaedar
Oktaedar
Dodekaedar i ikosaedar su međusobno dualna tela:
Dodekaedar
Ikosaedar
Hvala na pažnji.