Лекция 6

Преобразование комплексного чертежа. Вращение вокруг проецирующей оси.

Пример вращения точки вокруг горизонтально проецирующей прямой i

z

П 2 i 2 i i 3 R П 3

x 2,1

A П 1 R O

y

Пример изображения на комплексном чертеже вращения точки вокруг горизонтально проецирующей оси R i 2 A 2

x 2,1

O 2 A 1 A 1 R O 1 ≡ i 1

Пример вращения точки вокруг фронтально проецирующей прямой i

z П 2

T

А 2

A

x 2,1 О П 1 y

i

Пример изображения на комплексном чертеже вращения точки вокруг фронтально проецирующей оси R O 2 ≡ i 2 A 2

x 2,1

A R A 1 O 1 i 1

• Плоскопараллельным перемещением называется такое перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются в параллельных плоскостях. При таком перемещении движется предмет, а плоскости проекций остаются неподвижными.

• Вращением фигуры вокруг оси называется такое движение, при котором каждая точка фигуры перемещается вокруг оси вращения, центр расположен в точке пересечения оси вращения с плоскостью вращения, а радиус равен расстоянию от точки до оси вращения. • Все плоскости, в которых расположены окружности вращения точек объекта, перпендикулярны к одной прямой и, следовательно, параллельны между собой; поэтому вращение является частным случаем плоскопараллельного перемещения

Преобразование прямой

• Если прямую общего положения вращать вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости проекций П 1 , то угол наклона прямой к плоскости П 1 не меняется, а угол наклона к П наклона к П 2 2 изменяется, поэтому прямую можно привести в такое положение, когда угол станет равным нулю, т. е. прямая станет параллельной П 2 (фронталью).

Задача первая: прямую общего положения преобразовать в параллельную • Чтобы осуществить это перемещение необходимо повернуть АВ вокруг оси i перпендикулярной П

1

таким образом, чтобы новое положение А 1 В 1 стало параллельным оси X.

• Так как точка В принадлежит оси вращения, то она не должна менять своего положения в процессе преобразования. В 1 ≡В

• Если прямую общего положения вращать вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости П плоскости П 2 2 , то останется неизменным угол наклона прямой к , угол наклона к плоскости П 1 изменится.

• Это означает, что в таком случае прямую можно привести в горизонтальное положение ( αº = 0).

а 2 i 2 а ٰ 2 (h 2 ) А 2 ≡ i 2 А ٰ 2 ≡ В ٰ 2 В 2

x 2,1

В 1 а 1 i 1 А 1 ≡ А ٰ 1 а ٰ 1 (h 1 ) αº В ٰ 1

Для преобразования прямой общего положения а во фронтальную прямую необходимо через произвольную точку А прямой провести ось i перпендикулярно к П 1 и вращать прямую до положения параллельного оси Х. При вращении точка А остается на месте а вращается вторая точка (В)

x 2,1

В 2 а 2 i 2 А 2 ≡ А ٰ 2 а ٰ 2 Натуральная величина ٰ (f 2 )

βº

В ٰ 2 а 1 i 1 а ٰ 1 (f 1 ) А 1 ≡ i 1 ≡ А ٰ 1 ٰ ٰ 1 ≡ А В ٰ 1 В 1

β

Задача вторая

: Преобразовать прямую общего положения в прямую проецирующую • Вращая прямую общего положения вокруг одной проецирующей оси i, её нельзя преобразовать в проецирующую, так как ни а 1 ни а 2 не будут точками.

• В проецирующую прямую сразу можно преобразовать в линию уровня двойным поворотом прямой вокруг двух различных осей.

• Первый поворот сделаем вокруг оси, которая проходит через т. А ┴ П 1 • Второй поворот вокруг оси ┴ П точку А 2 также проходящей через • В итоге проекция АВ А ٰ ٰ 2 оказывается вертикальной, а горизонтальная проекция прямой А ٰ ٰ 1 В ٰ ٰ преобразовалась в точку. Прямая заняла горизонтально проецирующее положение

x 2,1

В 2 В 1 а 2 В ٰ ٰ 2 1.

А ٰ 1 ٰ ٰ 2 Этому положению соответствуют В ٰ 1 и А ٰ 2 В 2 ٰ А 2 i 2 А 2 ≡ А ٰ 2 2 ٰ ٰ 2 ≡ А а ٰ 2 (f 2 )

βº

Натуральная величина В ٰ 2 а 1 i 1 а ٰ 1 (f 1 ) А 1 ≡ i 1 ≡ А ٰ 1 ٰ ٰ 1 ≡ А В ٰ 1 ٰ

Задача третья: Преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую • Рассмотрим преобразование плоскости ( ∆ ABC) во фронтально проецирующую. Отличительным признаком такой плоскости на комплексном чертеже является перпендикулярность горизонтальной проекции её горизонтали h 1 к оси Х или, что тоже самое, параллельность h 1 линиям связи.

• Алгоритм решения третьей задачи

В 2

В плоскости (∆ ABC) проводим горизонталь, которая вращением вокруг оси i переводится в положение ┴ П 2 . Пересекая ось вращения одна повернутая горизонталь не определяет нового положения (∆ ABC) , поэтому вслед за ней поворачивают и вершины В и С. Фронтальная проекция превратилась в прямую линию, которая образует с горизонтальной линией угол, равный углу наклона ( ∆ ABC) к П 1

В

ٰ

2 x 2,1 А 2 А 1

1 2

С 2 С 1

1 1 h 2 h 1

В 1 В

ٰ

1

1 ٰ 1 h ٰ 1

С

ٰ

1

Задача 4: Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня • Задачу 4 нельзя решить без решения третьей. Поэтому первый этап преобразования является аналогичным решением третьей задачи.

x 2,1

А ٰ 2 ≡ А ٰ ٰ 2 В ٰ ٰ 2 С ٰ ٰ 2

А 2

1 2 h 2 h 1

С 2 С 1 В 2

≡ В ٰ 2

В

ٰ

1

В ٰ ٰ 1

А 1 1 С

ٰ Натуральная величина А ٰ 1 ≡ А ٰ ٰ 1 С ٰ ٰ 1 h 1

• Для решения второй поворот вокруг оси, проходящей через вершину В выполняется перпендикулярно П 2.

• Фронтальные проекции всех вершин треугольника перемещаются по концентрическим дугам, проведенным из точки А, как из центра, а горизонтальные по прямым, перпендикулярным линиям связи.

• В результате поворотов плоскость оказывается параллельной горизонтальной плоскости проекций и, следовательно горизонтальная проекция плоскости треугольника определяет его форму без искажений.

Совмещение

• Задача. Расположить треугольник ∆ ABC параллельно горизонтальной плоскости проекций П 1 одним перемещением (поворотом).

• В этом случае за ось вращения необходимо принять такую прямую в плоскости треугольника, которая ещё до вращения была бы параллельной этой плоскости проекций (П 1 ). Такой прямой в плоскости треугольника является горизонталь h.

Главное в этом построении:

• В тот момент, когда плоскость треугольника будет параллельна П 1 , горизонтальные проекции данной точки.

каждой из перемещающихся вершин удалены от оси вращения на расстояние равное радиусу окажутся вращения

Пример совмещения плоскости

П 1 h 2 А R А

x 2,1

О ٰ 2 h 2 1 2 О 2

А 2

∆z ٰ

С 2 С 1 С

ٰ

1

О ٰ 1 А 0 R ∆z 1 1

А 1

О 1 А ٰ 1

В 2 В 1

≡ В ٰ 1 В ٰ 1 h 1

1.

2.

3.

4.

5.

Последовательность геометрических построений необходимых для выполнения поворота точки А: Провести фронтальную проекцию горизонтали h 2 (B 2 1 2 ); Найти горизонтальную проекцию h 1 (B 1 1 1 ); Найти проекции центра вращения точки (О 1 , О 2 ). Для этого необходимо через А 1 к h 1 провести прямую ┴ и отметить точку пересечения ((О 1 , О 2 ). ); Определить натуральную величину радиуса вращения, как гипотенузу прямоугольного треугольника (О 1 А 1 А 0 ) у которого катет О 1 А 1 разность аппликат ∆z; Из центра О 1 провести дугу радиусом О 1 А 0 до точки пересечения с прямой О 1 А 1 , которая укажет новое положение горизонтальной проекции точки А.

Лекцию составил Ведякин Фёдор Филиппович