Transcript TEMA 4.1. FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. Subtema 4.1.1.

TEMA 4.1. FUERZAS EN EL
PLANO Y EN EL ESPACIO.
Subtema 4.1.1. Fuerzas en el
plano.
Plano cartesiano y signos de
las X y Y en los 4 cuadrantes.
Y Ordenadas

II cuadrante
(X, Y)
(-, +)
I cuadrante
(X , Y)
(+, +)
X Abcisas
III cuadrante
(X, Y)
(-, -)
IV cuadrante
(X, Y)
(+, -)
Puntos cardinales en relación
con el plano cartesiano.
N
O
E
S
Plano cartesiano y ángulos.

90°
180°
0° (360°)
270°
Ejemplos de vectores situados
en el plano cartesiano.

1.- Graficar un vector de 50 newtons
situado a 50° al Noreste.
N
50 N
Θ=50°
O
S
E
2.- Graficar un vector de 80
lbf situado a 70° al Noroeste.
N
Θ=70°
E
O
S
3. Graficar un vector velocidad
de 90 km/h a 30° al suroeste.
N
O
E
Θ= 30°
90 km/h
S
4.- Graficar un vector desplazamiento
de 100 km a 60° al sureste.
N
O
Θ = 60°
S
100 km
E
VECTORES Y SUS
CARACTERISTICAS.

Las magnitudes que intervienen en la
mayoría de los campos de las ciencias
exactas (particularmente física) pueden
clasificarse en 2 clases: los que sólo
tienen valor numérico y las que tienen
valor numérico, dirección y sentido. De
su estudio se facilitan varias nociones
para la comprensión abstracta y estudio
dimensional de los números.


Cantidades Escalares.- Son aquellas que
quedan determinadas por un número real y,
por lo tanto, no tienen dirección. Como
ejemplos podemos citar: el tiempo, la masa, la
densidad, la longitud, el área, el volumen, la
temperatura, el trabajo, la energía, el capital.
Las cantidades escalares se indican por letras
de tipo ordinario, como en álgebra elemental.
Las operaciones con magnitudes escalares
siguen las mismas reglas que en álgebra
elemental.

Cantidades
Vectoriales.Son
aquellas que para quedar determinadas
precisan un número que exprese su
valor absoluto (llamado módulo), una
dirección y un sentido, por esto se las
llama cantidades dirigidas. Como
ejemplos tenemos el desplazamiento, la
velocidad, la fuerza, la aceleración.

Gráficamente, una cantidad vectorial se
representa por una flecha trazada a
escala. La longitud de la flecha
representa el módulo, la dirección de la
flecha representa la dirección del
vector, etc. Un vector tiene siempre un
punto O llamado origen del vector y un
punto P llamado punto terminal.
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
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee
unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que
actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el
extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos
medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que
estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de
referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el
Sistema de Coordenadas Cartesianas.


Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores
unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son
perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del
sistema de referencia.



Un vector libre queda caracterizado por
su módulo, dirección y sentido. El
vector libre es independiente del lugar
en el que se encuentra.
VECTORES COPLANARES
Se encuentran en el mismo plano, es
decir, en dos ejes
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

VECTORES NO COPLANARES.
Si están en diferentes planos, o sea en
tres ejes.
VECTORES CONCURRENTES
Son aquellos vector capaz de sustituir a
un sistema de vectores
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
Vector resultante.- Es aquel que es
capaz de efectuar el mismo trabajo que
un conjunto de vectores concurrentes.
Vector equilibrante.- Es aquel que es
opuesto a un vector resultante.
METODO ANALITICO PARA
LA SUMA DE VECTORES.

El método analítico para la suma de
vectores, consiste en utilizar las
ecuaciones
de
las
componentes
rectangulares de los vectores (Fx y FY).
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Cuyas ecuaciones son:
Fx = F cos θ
Fy = F sen θ.
Después de obtener la sumatoria de las
fuerzas en X y en Y se aplica el
Teorema de Pitágoras, cuya Fórmula
es:
____________
R = √(ΣFx)2 + (ΣFy)2.
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
Finalmente, para obtener el ángulo del
vector resultante se hace uso de la
función trigonométrica tangente, cuya
fórmula es:
Θ = tan-1ΣFy
ΣFx
Problemas para hallar el vector
resultante por el método
analítico.


1.- Tres sogas están atadas a una estaca, y
sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20 libras
al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C
= 40 libras a 52° al Suroeste. Determine la
fuerza resultante de forma analítica.
Solución: primeramente se trazan los
vectores en las coordenadas cartesianas:
B = 30 lb
30° NO
θ = 30°
θ = 52°.
C = 40 lb, 52°
SO
A = 20 lb E
Primeramente se construye el
cuadro de fuerzas.
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
F
20 lb
30 lb
40 lb

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


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lb
ángulo Comp. X
Componentes Y
0°
20 lb
0
30°
-30 lb cos 30° 30 lb sen 30°
52°
-40 lb cos 52° -40 lb sen 52°
_____________________ ____________________
ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°-40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40
sen 52°
ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156)
ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb
ΣFx = 20 lb- 50.6 lb
ΣFx = - 30.6 lb
ΣFy= 30 lb
(0.5)-40 lb
(0.7880).
ΣFy= 15 lb- 31.52 lb
ΣFy= -16.52 lb
ΣFy= -16.52 lb








Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se
aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para
obtener la resultante. Por los signos de las
componentes X y Y (ambos negativos), la
resultante se graficará en el tercer cuadrante.
___________
R = √ (Fx)2 +(Fy)2.
______________________
R = √ (- 30.6 lb)2 + (- 16.56 lb)2.
__________
R = √ 1210.59 lb
R = 34.8 lb





Para obtener el ángulo de la resultante, se
aplica la función trigonométrica tangente:
θ = tan-1 Fy
Fx
θ = tan-1 │-16.52 lb │ = 0.5398.
- 30.6 lb
tan-1 0.5398 = 28.36°.


R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.


El ángulo es debajo del eje x en el tercer
cuadrante. La dirección o ángulo del vector
resultante también se puede expresar como
208.36° al sumar los 180° correspondientes a
los dos primeros cuadrantes al valor de
28.36°, por lo cual la respuesta también se
puede expresar como:
R = 34.8 lb, 208.36° medidos desde el
primer cuadrante.

2.- Encontrar el vector resultante y el
ángulo del siguiente sistema de
vectores por el Teorema de Pitágoras,
medidos desde el Este: F1 = 2.5 N al
Norte, F2 = 3 N a 25° al Noreste, F3 =
4 N al Este, y F4 = 2 N a 40° al
Suroeste.
N
F1 = 2.5 N
F2 = 3 N
25°
O
40°
F3 = 4 N
F4 = 2 N
S
E
Cuadro de fuerzas con sus
componentes rectangulares.













F
2.5 N
3 N 25°
4 N 0°
2 N 0°
θ
0°
comp. X
comp Y
0
2.5 N
3 N cos 25°
3 N sen 25°
4N
0
-2 N cos 40°
-2 N sen 40°
ΣFx =3 N cos 25°
ΣFy = 2.5 N + 3 N
+ 4 N - 2 N cos 40°.
sen 25°- 2 N sen 40°
ΣFx = 3 N x 0.9063 + 4 N – 2 N x 0.7660.
ΣFx = 2.7189 + 4 N – 1.532 N
ΣFx = 6.7189 N – 1.532 N = 5.1869 N.
ΣFy = 2.5 N + 3 N x 0.4226 – 2 N x 0.6427 =
ΣFy = 2.5 N + 1.2678 – 1.2854
ΣFy = 3.7678 – 1.2854 = 2.4824 N.







______________
R = √ (5.1869)2 + (2.4824)2.
___________
R = √ 26.90 + 6.16
_________
R = √ 33.06
R = 5.75 Newtons.



Θ = 2.4824 = 0.4785
5.1869
Θ = tan-1 0.4785 = 25.6°.

3.- Encontrar el vector resultante y el
ángulo del siguiente sistema de
vectores por el Teorema de Pitágoras.
V1 = 35 m/seg, al Este, V2 = 30 m/seg
a 30° al Suroeste y V3 = 45 m/seg a
60° al Noroeste.
V3 = 45 m/seg
N
60°
O
30°
V1 = 35 m/seg
V2 = 30 m/seg
S
E
Cuadro de fuerzas y
componentes rectangulares.











F
θ
Comp. X
35 m/s
0°
35 m/s
30 m/s
30° - 30 m/s cos 30°
45 m/s
60° - 45 m/s cos 60°
ΣFx = 35 m/s – 30 m/s cos 30°
-45 m/s cos 60°.
Comp. Y
0
-30 m/s sen 30°
45 m/s sen 60°
ΣFy = - 30 m/s sen 30°
+ 45 m/s sen 60°
ΣFx = 35 m/s – 30 m/s x 0.8660-45 m/s x 0.5= 35 m/s- 25.98 m/s 22.5 m/s
ΣFx = 35 m/s- 48.48 = - 13.48 m/s.
ΣFy = -30 m/s x sen 30 ° + 45 m/s x sen 60°
ΣFy = - 30 m/s x 0.5 + 45 m/s x 0.8660.
ΣFy = - 15 m/s + 38.97 m/s = 23.97 m/s.






R = √(-13.48 m/s)2 + (23.97 m/s)2.
________________________
R = √181.71 m2/s2+ 574.56 m2/s2
________________
R = √ 756.27
R = 27.5 m/s.
Cálculo del ángulo de la
resultante.
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

Θ = 23.97 = 1.7781
13.48
Θ = tan-1 1.7781 = 60.6°