Finanzmathematik Bewertung von Optionen Bernhard Kiniger, Christoph Otto, Andreas Reiter, Daniela Saxenhuber, Christina Stadlmayr, Nora Wiesauer Optionen Option: Recht, eine Aktie zu einem vorher ausgemachten Preis.
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Finanzmathematik Bewertung von Optionen Bernhard Kiniger, Christoph Otto, Andreas Reiter, Daniela Saxenhuber, Christina Stadlmayr, Nora Wiesauer Optionen Option: Recht, eine Aktie zu einem vorher ausgemachten Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen Eine Option ist ein Recht, keine Pflicht: Optionskäufer muss nicht ausüben Optionen bringen Vorteile man muss dafür bezahlen Call-Option Payoff = ST - K Ausübungspreis K Payoff = 0 • S0 Kurswert • K Ausübungspreis • T Laufzeit Up-And-Out-Barrier-Option 300 Barriere B Ausübungspreis K Payoff = 0 250 Payoff = ST - K 200 150 Payoff = 0 100 50 25 50 75 100 125 150 175 200 Optionstypen Call: Recht, eine Aktie zu kaufen Put: Recht, eine Aktie zu verkaufen Up-and-out Barriere: Aktienkurs darf die Barriere nicht überschreiten Digitale Option … Glücksspiel Würfel: Auszahlung = Augenzahl Preis? Erwartete Auszahlung: 1 1 2 3 4 5 6 3.5 6 Ein lehrreiches Beispiel Call-Option mit K=1 S0 =1 Su=2 Payoff: 1 Sd=1/2 Payoff: 0 Preisfestlegung wie beim Würfelbeispiel Preis der Option: 0,67 Ein lehrreiches Beispiel S0 =1 Su=2 Payoff: 1 Sd=1/2 Payoff: 0 Strategie: 1. Verkaufen Option um 0,6 2. Kaufen Aktien um 0,6 Fall up: Call kostet 1, Aktien bringen 1,2 Gewinn 0,2 Fall down: Call kostet 0, Aktien bringen 0,3 Gewinn 0,3 No - Arbitrage - Prinzip Risikoloser, sicherer Gewinn ist nicht möglich Der faire Preis einer Option lässt sich durch dieses Prinzip bestimmen No - Arbitrage - Prinzip Fairer Preis einer Option: abgezinster, zu erwartender Gewinn bzgl. der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit Q rT p0 e EQ [payoff] Put- und Call-Preis lassen sich durch einander ausdrücken Friktionsloser Markt Keine Spesen Fixer Zinssatz Können Aktien jederzeit kaufen/verkaufen Einzelhändler beeinflussen Kurs nicht Short-Selling unbegrenzt möglich (=Kredit in Aktien) Aktienkurs-Parameter Rendite: prozentuelle Entwicklung des Aktienkurses Trend oder Drift: Durchschnittliche Entwicklung einer Aktie Volatilität: Maß für Kursschwankung Binomialbaum up q S0 Kurs #Wege payoff S0 u3 1 fuuu S0 u2 d 3 fuud S0 u d2 3 fudd S0 d3 1 fddd 1-q down c e N 0 rT N N k k u N k d k q (1 q) f k 0 k N Geometrisch normalverteilte Irrfahrt Anhand des historischen Kurses wird ein möglicher neuer Kurse simuliert St t St e mt t Im Gegensatz zum Modell des Binomischen Baumes sind alle Endkurse möglich Geometrisch normalverteilte Irrfahrt 300 280 c0 e rT 1 N payoff( S ( i ) ) N i 1 260 240 220 200 180 80 100 120 140 160 180 200