Transcript Производная и дифференциал. Исследование функций. Возрастание и убывание функций. • Теорема 1. 1) (необходимые условия) Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция f(x) возрастает (убывает), то f ′(х)≥0 (f ′(х)≤0) для ∀х∊(a;b); 1) (достаточные условия)

Производная и
дифференциал.
Исследование функций.
Возрастание и убывание функций.
• Теорема 1.
1) (необходимые
условия)
Если
дифференцируемая
на
интервале
(a;b)
функция f(x) возрастает (убывает), то f ′(х)≥0
(f ′(х)≤0) для ∀х∊(a;b);
1) (достаточные условия) Если функция f(x)
дифференцируема на интервале (a;b) и f ′(х)>0
(f ′(х)<0) для ∀х∊(a;b), то функция f(x)
возрастает (убывает) на интервале (a;b).
Геометрический смысл. Касательные к графику
возрастающей (убывающей) дифференцируемой функции
образуют острые (тупые) углы с положительным
направлением оси ОХ или в некоторых точках параллельны
оси ОХ (точка х0).
y
y
β
β
0
х0
x
f ( x)  0  tan   0
∠β- острый
x
0
f ( x)  0  tan   0
∠β- тупой
Пример 1. Определить промежутки монотонности
функции у = х2.
y
уʹ=2х.
0
x
Если х>0, то уʹ>0. Данная функция возрастает на
интервале (0; +∞)
Если х<0, то уʹ<0. Данная функция убывает на
интервале (-∞; 0)
Максимум и минимум функций.
•
Точка х0 называется точкой минимума
функции у=f(x), если найдется такая δ–
окрестность точки х0, что для всех х≠х0 из
этой окрестности выполняется неравенство
y
f(x0)<f(x).
f(х)
f(х0)
min
х
0
x0-δ
х0
x
x0+δ
•
Точка х0 называется точкой максимума
функции у=f(x), если найдется такая δ–
окрестность точки х0, что для всех х≠х0 из
этой окрестности выполняется неравенство
f(x0)>f(x).
y
max
f(х0)
Точки минимума и
максимума называются
экстремумами.
f(х)
x
0
x0-δ
х
х0
x0+δ
Теорема 2.
(необходимое условие существования экстремума)
•
Если точка х0 является точкой экстремума
функции у=f(x) и в этой точке существует
производная f ʹ(x0), то она равна нулю: f ʹ(x0)=0.
y
max
min
0
x1
x2
x
Геометрически: если х0точка экстремума, то
касательная (если она
существует) к графику
функции в этой точке
параллельна оси ОХ.
Обратная теорема неверна !
y
y
у=х
у=x3
0
0
x
x
в точке х=0 функция
производной не имеет, но
точка х=0- точка минимума.
уʹ= 3х2.
уʹ(0)=0, но точка х=0 не является точкой экстремума.
y
y 

   1  23
1


x x   x 
2
3
3
3

x
 
 
3
1
3
f 0  не существует, так как при
y 3 x
0
x  0,
x
y  
В точке х=0 функция не имеет ни максимума, ни минимума.
• Точки, в которых производная равна нулю или не
существует, называются критическими.
(достаточное условие существования экстремума)
Пусть функция у=f(x) непрерывна в некотором
интервале точки х0 и дифференцируема во всех
точках этого интервала (кроме, может быть,
самой точки х0).
Если при переходе слева направо через точку х0
производная меняет знак:
y
max
с «+» на «-», то х0-точка max;
+
_
с «-» на «+», то х0- точка min.
+
min
0
x1
x2
x
Исследование функции на экстремум с
помощью первой производной.
1) вычислить производную f ʹ(x);
2) найти критические точки функции;
3) критическими точками разбить ООФ на
интервалы;
4) исследовать знак производной на каждом из
интервалов и найти точки экстремумов;
5) вычислить значение функции в точках
экстремумов.
Пример 2. Исследовать на эктремумы функцию
y  x3  3x 2
y  3x 2  6 x
1)
2) 3x 2  6 x  0
3x  ( x  2)  0
x  0, x  2
3)-4)
f ʹ(x)
f (x)
5)
_
+
0
max
(0;0)
+
2
min
(2;-4)
f (0)  0
f (2)  4
Ответ. max (0;0), min (2;-4)
Пример 3. Исследовать на эктремумы функцию
1)
y  x 4  2 x3  3
y  4 x 3  6 x 2
2) 4 x 3  6 x 2  0
2 x 2  (2 x  3)  0
3
x  0, x 
2
3)-4)
f ʹ(x)
f (x)
5)
5
3
f   1
 2  16
_
_
0
+
³/₂
min
(³/₂; 1⁵/₁₆)
Ответ. min (³/₂;
1⁵/₁₆)
Пример 4. Исследовать на эктремумы функцию
y  x  1 x
3
2
2  3 3 2 2x  1 5x  2
2
3
y  x  x  1 x  x  3
 3
3
3 x
3 x
1
1)
5x  2
2)
0
3
3 x
2
x  , x  0 - производной не существует
5
_
f ʹ(x)
+
+
3)-4)
f (x)
0
max
(0;0)
²/₅
min
(²/₅; ≈-0,33)
5)
3
4
 2
f     3
 0,33
5 25
5
Ответ. max (0;0), min (²/₅; ≈-0,33)
Исследование функции на экстремум с
помощью второй производной.
Теорема 3.
Если для некоторой функции y=f(x) f ʹ(x)=0, то
данная функция при х=х0 имеет
максимум, если f ʹʹ(x)<0;
минимум, если f ʹʹ(x)>0.
Если f ʹʹ(x)=0 или не существует, то нужно
прибегнуть к первому способу.
Пример 5. Исследовать на эктремумы функцию
4
3
2
y

3
x

4
x

12
x
2
3
2
1)
y  12x 12x  24x
2) 12x 3  12x 2  24x  0
12x  ( x 2  x  2)  0
x  0, x  2, x  1
3)
y  36x 2  24x  24
4) f 0  24  0  x  0  max
f (2)  72  0  x  2  min
f  1  36  0  x  1  min
5)
f (0)  2
f (2)  30
f (1)  3
Ответ. min (2; -30), (-1; -3), max
(0;2)
Наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке.
y
f(b)
0
f(x0)
x0
а
min
yнаиб = f(b)
x
b
yнаим = ymin = f(x0)
Правило нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке.
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a;b].
1) найти все критические точки функции на
отрезке и вычислить значения функции в этих
точках;
2) вычислить значения функции на концах
отрезка, т.е. найти f(a) и f(b);
3) сравнить полученные результаты.
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значение
5
4
3
функции y  x  5x  5x  3 на отрезке [-1;2]
1)
y  5x 4  20x3  15x 2
5 x 4  20x 3  15x 2  0
2)
f (1)  8,
3)
yíàèá  ómax  f (1)  4
yíàèì  f (1)  8
5 x 2  ( x 2  4 x  3)  0
x  0, x  1, x  3
f (0)  3,
_
-1
f (1)  4
_
+
0
min
(0; 3)
1
max
(1; 4)
f (2)  5
2
3
Практические задачи на нахождение
наибольшего и наименьшего значений.
При решении задач не даётся готовой функции
для исследования, её нужно составить
самостоятельно по условию задачи. При этом
сначала следует установить, какую величину
выбрать за независимую переменную.
Задача 1. Какой из прямоугольников с периметром
50 см имеет наибольшую площадь?
Пусть х -одна сторона, тогда 50  2 x  25  x
2
вторая сторона.
Площадь прямоугольника S  ab  x  25  x 
b=25-x
Получили функцию S ( x)  25x  x 2
a=x
S ( x)  25  2 x
25  2 x  0  x  12,5
S x  2  0  xmax  12,5
Ответ. Из всех прямоугольников с периметром 50 см
наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 12,5 см.
Задача 2. (задача о «наилучшей консервной банке»)
Найти наилучший вариант изготовления консервной
банки фиксированного объема V, имеющей форму
прямого кругового цилиндра, и наименьшую
поверхность S (на её изготовление должно пойти
наименьшее количество жести)
V  R H
2
V
 H
 R2
R
H
Sïîâ  2 R 2  2 R H
S ïîâ
V
2V
2
 2 R  2 R
 2 R 
2
R
R
2
Получили функцию S ( R )  2 R 2  2V
R
2V

1) S R   4 R  2
R
2V
4 R  2  0
R
4 R 3  2V
2V V
R 

4 2
3
4V
2) S R   4  3
R
 V 
  12  0 
S   3

2



Rmin  3
V
2

V
R
2
3
V
3) H 

2
R
V
V 

 2 
3 
2

V  3 4 2
 3 V 2
2
3
4


V
4V
V
3
3
3


 2
2
3
V 

2
Таким образом, радиус и высота банки, наилучшие с точки
зрения условия минимальности S(R) определяются
формулами:
V
V
3
H  2
 2R
R3
2
2
Ответ. Высота «наилучшей банки» равна её диаметру.