Критерии постоянства и монотонности функции на интервале Необходимое условие локального экстремума функции Достаточные условия экстремума Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на.
Download ReportTranscript Критерии постоянства и монотонности функции на интервале Необходимое условие локального экстремума функции Достаточные условия экстремума Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на.
Slide 1
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 2
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 3
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 4
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 5
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 6
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 7
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 8
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 9
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 10
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 11
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 12
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 13
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 14
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 15
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 2
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 3
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 4
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 5
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 6
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 7
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 8
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 9
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 10
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 11
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 12
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 13
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 14
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x
Slide 15
Критерии постоянства и монотонности
функции на интервале
Необходимое условие локального
экстремума функции
Достаточные условия экстремума
Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
ТЕОРЕМА 1.
Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b)
f (x) = 0 для всех х (а, b).
ТЕОРЕМА 2.
Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает
(убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b).
y
y
y
f (x) = 0
f (x) > 0
a
a
0
b
x
0
f (x) < 0
b
x
a
0
b
x
Локальный экстремум и теорема Ферма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума)
функции f(x), если существует окрестность этой точки U(xо), в которой
функция определена и для всех х U(xо) выполняется неравенство
f(x) f(xо) ( f(x) f(xо) ).
Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
y
y = f(x)
x
0
x1
x2
x3
x4
ТЕОРЕМА (Ферма).
Если xо – точка локального экстремума функции f(x) и функция
дифференцируема в этой точке, то f ´(xо) = 0.
Доказательство.
Пусть xo – точка локального минимума функции f(x),
т.е. для всех х U(xо) выполняется неравенство f(x) f(xо).
Тогда
y
y = f(x)
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 ;
x x0
f (x0)
x
0
x0
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0,
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 , x x0 .
x x0
Так как f(x) дифференцируема
в точке х0, то существуют
lim
x x0 0
Отсюда следует, что f ´(xо) = 0, ч.т.д.
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) 0.
x x0
ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665)
• Французский математик. По
профессии юрист. Считался
знатоком классической
литературы, лингвистом и
поэтом.
• Математика была для Ферма
лишь увлечением, тем не менее,
он заложил основы многих ее
областей – аналитической
геометрии, исчисления
бесконечно малых, теории
вероятностей. Переписывался с
Рене Декартом по вопросам
аналитической геометрии,
первым применил ее методы к
трехмерному пространству.
• С именем Ферма связана
знаменитая теорема из области
теории чисел, так называемая
«великая» теорема Ферма.
Необходимое условие локального экстремума функции
Пусть х0– точка локального экстремума функции f(x).
При этом возможны два случая:
x
x0
Существует f (x0).
Тогда, по теореме Ферма, f (x0) = 0.
x
x0
Не существует f (x0).
Таким образом, точки локального экстремума следует искать
среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует.
Эти точки называются критическими точками функции.
Однако, не всякая критическая точка является точкой локального
экстремума.
Достаточные условия экстремума
ТЕОРЕМА 1. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности этой точки.
Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального максимума.
Если f (x) < 0 в левой полуокрестности и f (x) > 0 в правой
полуокрестности точки х0, то х0 точка строгого локального минимума.
Доказательство (для максимума).
f (x) < 0
f (x) > 0
Если f (x) > 0 x (x0- δ, x0), то f(x) возрастает
в левой полуокрестности точки х0, т. е. f(x)< f(x0),
если f (x) < 0 x (x0, x0 +δ), то f(x) убывает
в правой полуокрестности точки х0, т.е. f(x) < f(x0).
x0- δ
x0
x0 + δ
x
Таким образом, f(x) < f(x0) x (x0- δ, x0 + δ)
и х0 – точка строгого локального максимума.
ПРИМЕР.
f ( x) 3 (1 x)( x 2) 2 .
Исследуем на экстремум функцию
f ( x)
(1 x)2( x 2) ( x 2) 2
33 (1 x) 2 ( x 2) 4
-
33 (1 x) 2 ( x 2)
+
1
4 3x
4/3
х
2
x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0.
x = 4/3 – точка локального минимума,
f (4 / 3) 3 4 / 2.
ТЕОРЕМА 2. (Второе достаточное условие экстремума.)
Пусть f (x0) = 0 и существует f ( x0). Тогда
если f (x0) > 0, то x0 – точка строго локального минимума,
если f (x0) < 0, то x0 – точка строго локального максимума.
f (x0) > 0
f (x0) < 0
x
x0
x
x0
Доказательство (для минимума).
f ' ( x) f ' ( x0 )
0.
x x0
f ' ( x)
0 x U ( x0 ),
x x
x x0
то есть f (x) < 0 в левой полуокрестности точки x0 и f (x) > 0 в правой
Пусть
f ( x0 ) lim
0
полуокрестности точки x0 . Следовательно, согласно предыдущей теореме,
это точка локального минимума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке
Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Поставим задачу об отыскании максимального и минимального
значений функции на [a, b].
Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на
отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего
максимального (минимального) значения.
Максимальное значение функции может достигаться либо во
внутренней точке х0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных
максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка.
Аналогично – для минимального значения.
fmax= f (x0)
fmax= f (b)
y
y
0
a
x0
b
x
0
a
b
x
Отсюда ясно, что для нахождения максимального и
минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b]
нужно
– найти точки, в которых производная равна нулю либо
не существует, так называемые, «критические» точки;
– вычислить значения функции в критических точках;
– вычислить значения функции на концах отрезка [a, b];
– сравнить полученные значения и выбрать из них
наибольшее и наименьшее.
Аналогичными средствами решается вопрос об
отыскании максимального и минимального значения
функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой
(при условии, что это значение существует).
Пример из физики.
uo
I
x
r
Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно
включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы
на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u0
батареи считается постоянным).
u0
I
.
По закону Ома ток I в цепи равен
rx
Следовательно, падение напряжения ur на сопротивлении r равно
u0 r
ur Ir
.
x
Мощность w(x), выделяемая наrсопротивлении
r, равна
2
u0 r
w( x) Iu r
.
2
r x
Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть
отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего
значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим
производную этой функции:
2
2u0 r
w( x)
.
3
r x
Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и
точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x)
убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на
2
u0
этой полупрямой достигается при х = 0 и равно
.
r
u0
r
2
0
w(x)
x