Transcript презентацию

Стохастическое
программирование
выполнили
Шпарик Анна
Кутас Юлия
Стохастическое программирование
Стохастическое программирование —
раздел математического
программирования, совокупность методов
решения оптимизационных задач
вероятностного характера. Это означает,
что, либо параметры ограничений
(условий) задачи, либо параметры целевой
функции, либо и те и другие являются
случайными величинами (содержат
случайные компоненты).
В задаче линейного программирования:
m ax (m in L
) 
n
c
j 1
j
xj,
 n
  aij x j  bi (i  1,...,m),
 j 1
d j  x j  D j ( j  1,...,n).

(1.1)
• Стохастическая постановка целевой
функции может быть двух видов: Мпостановка и Р-постановка.
• При М-постановке случайная величина
заменяется ее математическим ожиданием
и задача сводится к оптимизации
детерминированной целевой функции:
max(min)L   c j x j ,
j
• где сj — математическое ожидание
случайной величины сj.
(1.2)
При Р-постановке целевая функция будет
иметь вид:
• при максимизации целевой функции:


max L  P  c j x j  r 
 j

(1.3)
• при минимизации целевой функции:


max L  P  c j x j  r 
 j

(1.4)
Наиболее распространены СТП-постановки в
вероятностных ограничениях вида:
n
  ai , (a)
P  aij x j  bi   
 j 1
  ai , (б )
n
  ai , (в)
P  aij x j  bi   
 j 1
  ai , ( г )
(1.5)
Так, ограничение (а) означает, что
вероятность соблюдения неравенства
n
a x
j 1
ij
j
 bi
1.6
должна быть не меньше, чем ai. Аналогичный
смысл и других ограничений.
Для случая, когда вероятностные
ограничения представлены в виде типа (а),
задачу СТП можно записать при Мпостановке:
max(min)L   c j x j ,
j
n

P  aij x j  bi   ai (i  1,...,m),
 j 1

d j  x j  D j ( j  1,...,n).
(1.7)
При Р-постановке:
• в случае максимизации целевой функции
 n

max(min)L  P  c j x j  r ,
 j 1

  n

 P  aij x j  bi   ai (i  1,...,m),
  j 1


d j  x j  D j ( j  1,...,n).

1.8
• в случае минимизации целевой функции


max L  P  c j x j  r ,
 j

 n

P  aij x j  bi   ai (i  1,...,m)
  j 1

 d  x  D ( j  1,...,n).
j
j
j

1.9
Детерминированная постановка задач
стохастического
программирования
• Процесс решения задачи СП разделяется на два этапа:
• Предварительный этап (более трудоемкий).
Формируются решающие правила, связывающие решение с
заданными статистическими характеристиками случайных
параметров условий задачи.
Этап не требует знания конкретных значений параметров целевой
функции и ограничений.
Построение решающих правил требует информации о структуре
задачи и о статистических характеристиках случайных
исходных данных.
• На основном этапе решающие правила используются для
оперативного решения задачи.
• Второй этап называют оперативным
этапом анализа
стохастической модели.
Для решения задачи стохастического
программирования в Р-постановке и с
вероятностными ограничениями переходят
к детерминированному эквиваленту.
Для целевой функции детерминированный
эквивалент имеет вид:
• при минимизации целевой функции
n
min L 
c x
j 1
n
j
j
r
2
2

x
 j j
j 1
,
2.1
• при максимизации целевой функции
n
max L 
r  cj xj
j 1
n
2
2

x
j
j

,
2.2
j 1
где σ2j — дисперсия случайной величины сj
Решение таких задач затруднительно,
поэтому далее рассматриваем целевая
функция только в М- постановке.
Детерминированный эквивалент
вероятностного ограничения типа (а)
n

P  aij x j  bi   ai
 j 1

2.3
• может быть сведен к виду:
n
a
j 1
ij
x j  t ai
n

j 1
2
ij
xj 
2
2
i
 bi ,
2.4
где ai j , bi — математические ожидания; , σ i j
2 , ө i 2 — дисперсии случайных величин aij
, bi ; ta = Ф*-1(ai) — обратная функция
нормального распределения при функции
распределения:
Ф(t ) 
1
2
t
e
t 2
2
dt,

где ai — заданный уровень вероятности
2.5
Детерминированный эквивалент задачи СТП
в М-по- становке имеет вид
n
max(min)L   c j x j ,
j 1
n
n
2
2
2
a
x

t

x


i  bi , (i  1,...,m),
 ij j ai  ij j
j 1
 j 1
d  x  D ( j  1,...,n).
j
j
 j
2.6
Каждое 1-е ограничение в детерминированном эквиваленте (2.6)
отличается от аналогичного ограничения задачи линейного
программирования следующим:
n
 aij x j  bi
2.7
j 1
• от детерминированных значений aij, bi выполнен переход к
математическим ожиданиям случайных величин aij, bi;
• появился дополнительный член ( ζ )
 i  ta
i
n

j 1
2
ij
xj 
2
2
i
,
который учитывает все вероятностные факторы: закон распределения с
помощью ta; заданный уровень вероятности ai ; дисперсии случайных
величин aij равные σ ij 2; дисперсии случайных величин bi равные ө i
2.
Решение задач СТП
Детерминированный эквивалент задачи
стохастического программирования в Мпостановке включает ограничения, которые
являются нееепарабельными функциями.
Обозначим
Ti 

j
2
ij
xj 
2
2
i
3.1
тогда задачу стохастического программирования можно
записать в сепарабельной форме:
n
max(min)L   c j x j ,
j 1
n
 aij x j  t ai Ti  bi , (i  1,...,m),
 j 1
n

2
2
2
T

(

x
  2i )


i
ij
j
j 1

 d j  x j  D j ( j  1,...,n)

T i  Ti  Ti (i  1,...,m),

3.2
где
Ti 
  ij x j  
2
j
2
2
i
,
Ti 
2

x


i ,
 ij j
2
j
2
• Эта задача является сепарабельной задачей
нелинейного программирования и может
быть решена с помощью стандартных
программных средств.
• Функция F(x1, х2, хп) называется
сепарабельной, если она может быть
представлена в виде суммы функций,
каждая из которых является функцией
одной переменной, т. е. если
F(x1  õ 2 , x n )   f i ( xi )
j
Заключение
• Таким образом можно сказать что
стохастические модели, при выборе
решений в сложных ситуациях, более
адекватны реальным явлениям и
процессам, чем детерминированные.
• В практических задачах приходится
выбирать решения в условиях недостатка
информации об исходных данных.