Transcript Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I SANITARNEJ MECHANIKA PŁYNÓW dr inż.

Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska
KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I SANITARNEJ
MECHANIKA PŁYNÓW
dr inż. Paweł Zawadzki
www.up.poznan.pl/kiwis/dydaktyka/mechanikaplynow.html
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p1, T1
v2
Rozważmy wypływ gazu ze zbiornika, w
którym panuje wysokie ciśnienie, do obszaru
o niższym ciśnieniu.

 

v 22
v12
 i2   g z2    i1   g z1   ec  lt
2
2

 

Zakładamy, że jest to ustalony wypływ adiabatyczny gazu
doskonałego a więc bez wymiany ciepła (ec=0), pracy
mechanicznej (lt=0) a przy małej gęstości gazu mogą być
pominięte człony wyrażające energię potencjalną (g·z=0).
Przy tych założeniach równanie bilansu energii sprowadza się
do postaci:
2
2
v1
v2
i1 
 i2 
2
2
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p1, T1
v2
Różnicę entalpii i2 – i1 można zastąpić
wyrażeniem i2 - i1 = cp·(T2 - T1 ),
za ciepło właściwe cp podstawiamy
zależność
cp 

 1
R
p
oraz   R  T , dzięki czemu:
 p1 v12
 p2 v 22



 1 1 2  1 2 2
Jest to równanie Bernoulliego
dla gazów idealnych i przemian
adiabatycznych wzdłuż strumienia.
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p0, T0
v1
Parametry nieruchomego gazu w zbiorniku
przy v = 0, nazywamy parametrami spiętrzenia.
W szczególności temperatura i ciśnienie
odpowiadające temu stanowi nazywane są
temperaturą spiętrzenia i ciśnieniem spiętrzenia
i oznaczamy symbolami To i po.
Jeżeli parametry gazu na zewnątrz zbiornika oznaczamy
indeksem”1”, to równanie przybiera postać:
 p0
 p1 v


 1 0  1 1 2
2
1
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p0, T0
v1
Prędkość wypływu gazu ze zbiornika możemy
wyznaczyć:
  po p1 
  
v1  2
 1   o 1 
 po  p1  o 
 po  p1  o 
  2

v1  2
 1 
 1 
 1  o  1 po 
 1  o  po 1 
Korzystając z
równania izentropy:
p


 const 
p0
0


p1
1
p1  1 

  
p0   0 

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p0, T0
v1
Otrzymamy wzór St. Venanta-Wantzela:
 1



 po   p1  
v1  2
 1    
  1  o   po  


Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p0, T0
v1
Wydatek masowy wypływu gazu przez otwór
obliczamy z zależności:
1
 p1  
M   A v  1 A1v1  0   A1v1
 p0 
Podstawiając w powyższym równaniu zależność na
prędkość gazu v1 otrzymujemy:
M  A1
2
 1 


 p1    p1   
2
 0 p 0      
 1
p0 
p0 






Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
p0, T0
v1
 1



 po   p1  
v1  2
 1    
  1  o   po  


Z analizy wzoru St. Venanta-Wantzela wynika, że
maksymalna prędkość gazu vmax teoretycznie może
wystąpić przy jego rozprężeniu do próżni absolutnej,
gdzie i = 0 a więc także p1 = 0:
v max
2 p0
2


R T0
  1 0
 1
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 1. Jak zmienia się masowe natężenie
masowego natężenia wypływu gazu w funkcji ilorazu
ciśnień p1/p0 = x dla stałych parametrów gazu w
zbiorniku?
Dane:
R = 287 J/(kg K) powietrze
 = 1,4 (wykładnik adiabaty)
p0 = 2 MPa

2
 1

M  A1 2
0 p0 x   x   
 1


Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Ze spadkiem ciśnienia p1, wielkość M(x) początkowo
rośnie, a po osiągnięciu wartości maksymalnej Mmax dla
x = β, maleje do zera.
Badania doświadczalne wskazują, że dla p1/p0 < β
masowe natężenie nie zmienia się i jest równe wartości
maksymalnej.
Przedstawiona rozbieżność nazywana jest „paradoksem
Saint Venanta-Wantzela”.
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Wielkość β można wyznaczyć z warunku na ekstremum
funkcji M(x):
2 
2

 1 1 
x  
2
 0 p 0  x   
dM
 A1
dx
czyli
 1



 1 
 2 /
2 2
 0 p 0  x 
 x   
 1



0
2 
2
 1 1 
  x     x     0


stąd ekstremum funkcji występuje gdy x = p1/p0 = β:
 2 
 

  1

 1
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 2. Określ wartość x = p1/p0 = β przy, której
obserwowany maksymalny wypływ powietrza ze
zbiornika. Dla powietrza  = 1,4
 2 
 



1



 1
 2 


1
,
4

1


1, 4
1, 41
 2 
 
 2,4 
1, 4
0, 4
 0,5283
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Jeśli do równania
 1



 po   p1  
v1  2
 1    
  1  o   po  


za iloraz p0/p1 podstawimy wielkość β otrzymamy:
2 p0
v max 
  1 0
Wstawiając prędkość maksymalną wprost do wzoru
na masowe natężenie wypływu otrzymamy:
 2 
M max  A1 

  1
1
 1
2
 1
p0  0
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Kryterium do obliczania prędkości i wydatku przy wypływie
gazu przez otwory i dysze zbieżne stanowi stosunek
ciśnienia zewnętrznego p1 do ciśnienia w zbiorniku p0 a
mianowicie:
gdy p1/p0 > β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów
 1



 p0
 po   p1  
v1  2
 1     M  A1 2
  1  o   po  
  1 0


2
 1




 p1    p1  
 p0   p0  


gdy p1/p0 < β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów
2 p0
v max 
  1 0
 2 
M max  A1 

  1
1
 1
2
p0 0
 1
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 3. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze.
Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry
gazu w zbiorniku.
p ,T
Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze
v
 =  = 1,4 (wykładnik adiabaty)
p0 = 0,2 MPa
T0 = 300 K
p1 = pa = 0,1013 MPa
0
0
1
p1 0,1013

 0,5065
p0
0,2
p1

p0
 2 

  
   1

 1
 2 


14

1


1, 4
1, 41
 0,5283
dla
masowe natężenie przepływu nie zmienia się i jest
równe wartości maksymalnej.
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 3.
p0
0
 RT0

2 p0
2
J
kg  m 2 1 m 
v1

RT0 , [ v1]  
K 
  
2
  1 0
 1
s
kg s 
 kg  K
2 1,4
v1
287 300  317 m/s
1,4  1
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 4. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze.
Obliczyć temperaturę wypływającego strumienia, jeżeli dane
są parametry gazu w zbiorniku. Dane jak w przykładzie 3.
- z rów. bilansu energii dla dwóch przekrojów


 1

v12
RT0 
RT1 
 1
 1
2

v12   1
RT1  RT0 
2 
R
otrzymujemy zależność na temperaturę wypływającego
strumienia gazu
1 v12   1
T1  T0 
R 2 
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 4.
2


1 v  1
kg  K m
T1  T0 
, [T1 ]  K 
 K
2
R 2 
J s


2
1
2
1 317 1,4  1
T1  300
 250K
287 2
1,4
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 5. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze.
Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry
gazu w zbiorniku.
p ,T
Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze
v
 =  = 1,4 (wykładnik adiabaty)
p0 = 0,15 MPa
T0 = 300 K
p1 = pa = 0,1013 MPa
0
0
1
p1 0,1013

 0,675
p0
0,15
p1

p0
 2 

  
   1

 1
 2 


14

1


1, 4
1, 41
 0,5283
dla
masowe natężenie przepływu obliczamy z równania
Saint Venanta-Wantzela.
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 5.
 1
 1









 p1 
 p1  
 po

v1  2
 1      2
 R  T0 1    
  1  o   po  
 1
  po  




p0
0
 RT0

J
kg  m 2 1 m 
 Pa 
[ v1 ]  
 K  1 -  
  
2
s
kg s 
 Pa 
 kg  K
1, 4 1


2 1,4
1
,
4
v1 
287 300 1  0,675   252,9 m/s


1,4  1


p1
 0,675
p0
Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika
Przykład 6. Obliczyć gęstość gazu w zbiorniku Dane jak w
przykładzie 5.
p0
0
0 
po
,
RT0
 RT0


N

  N kg   1 kg   kg 
2
m
 0    N  m    2 
 2    3


K  m N m m m  m 
 kg  K 
0,15106
kg
0 
 1,742
287 300
m3
Parametry krytyczne gazu
Zauważmy, że w wyjściowym równaniu izentropy
 p0
 p1 v


 1 0  1 1 2
2
1
po lewej i po prawej stronie występuje wyrażenie
określające kwadrat prędkości dźwięku:
a 
p

   R T
a 
2
p0
0
Parametry krytyczne gazu
Wstawiając te wielkości do równania otrzymamy:
2
2
2
1
a0
a1
v


 1  1 2
gdzie a0 jest prędkością dźwięku w warunkach
spiętrzenia (stagnation), gdy v = 0, przy tzw.
parametrach spiętrzenia gazu w zbiorniku p0, ρ0, T0.
Parametry krytyczne gazu
2
2
2
1
a0
a1
v


 1  1 2
Z równania wynika, że przy wypływie gazu ze zbiornika
gdy wzrasta prędkość gazu v1 maleje prędkość dźwięku a1.
Parametry gazu, przy których prędkość przepływu gazu
równa jest lokalnej prędkości dźwięku tj. v1 = a1,
nazywane są parametrami krytycznymi: p ρ, T, v, a.
Parametry krytyczne gazu
2
2
a0
a1
v12


 1  1 2
Z równania tego można wyznaczyć prędkość krytyczną gazu
(v1 = v), równą krytycznej prędkości dźwięku (a1 = a).
 p0
a*
a*2


 1  0  1 2
2
  2 1 p0
a* 
2   1  1 0
2
 p0
2 2   1
 a*
 1  0
2 1
2   p0
a* 
 1 0
2
Parametry krytyczne gazu
2   p0
a* 

 1 0
2
2   p0
2 
a*  v* 
 
 R  T0
 1 0
 1
Warto zwrócić uwagę, że prędkość krytyczna gazu określona
wzorami równa jest maksymalnej prędkości występującej
przy wypływie gazu przez otwór a więc jest to prędkość
krytyczna.
2 p0
v max 
  1 0