Transcript Лекция 10 Пересечение поверхности плоскостью Пересечение поверхности плоскостью • При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается фигура, которая называется сечением. • Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет.

Лекция 10
Пересечение
поверхности плоскостью
Пересечение поверхности
плоскостью
• При пересечении поверхности или
какой-либо геометрической фигуры
плоскостью получается фигура, которая
называется сечением.
• Сечение поверхности плоскостью в
общем случае представляет собой
кривую (или прямую, если
пересекаются плоскости),
принадлежащую секущей плоскости.
Примеры пересечения
поверхностей плоскостью
Алгоритм определения линии
сечения поверхности плоскостью
• Определение проекций линий сечения
следует выполнять по следующему
алгоритму:
• Определить опорные точки – точки
расположенные на очерковых
образующих поверхности (эти точки
определяют границы видимости
проекции кривой);
• Экстремальные точки, удаленные на
минимальные и максимальные
расстояния от плоскостей проекций;
• Произвольные (промежуточные)
точки линии сечения
• В зависимости от положения
плоскости по отношению к плоскостям
проекций, сложность решения
позиционной задачи, по определению
линии пересечения ее с поверхностью
существенно меняется. Наиболее
простым представляется случай,
когда плоскость проецирующая.
Пересечение многогранников
плоскостью.
• При пересечении поверхности плоскостью
получается плоская фигура, которую называют
сечением. Сечение поверхности плоскостью плоская кривая, принадлежащая секущей плоскости.
• При сечении многогранника плоскостью образуется
ломаная линия, при сечении кривой поверхности кривая линия.
• Проекциями сечения многогранников, в общем
случае являются многоугольники, вершины которых
принадлежат ребрам, а стороны – граням
многогранника.
• Задача по определению сечения
многогранника сводится к
многократному решению задач:
• а) по определению точки встречи
прямой (ребер многогранника) с
плоскостью; или
• б)по нахождению линии пересечения
двух плоскостей (грани многогранника и
секущей плоскости).
• При решении задачи на пересечение
поверхности плоскостью необходимо
выполнить следующий анализ:
1.Определить какого положения
плоскость и поверхность относительно
плоскостей проекций.
• Если плоскость проецирующая, то на
одной из плоскостей проекций линия
пересечения уже имеется. Её нужно
обозначить, а на второй положение
определить по принадлежности.
2. Если поверхность – общего положения,
то необходимо одну из поверхностей
преобразовать в проецирующую.
3. Выяснить возможный характер линии
пересечения.
Построение линии пересечения поверхности
призмы с плоскостью общего положения
С ٰ2 В ٰ2
А ٰ2
12
22
32
11
С2
X 2,1
В2
С ٰ1
42
А2
А ٰ1
21
В ٰ1
А1
41
С1
В1
31
14
24
34 ≡ 44
X ,1,4
Пересечение плоскости с
многогранником
• Построение сечения многогранника требует
многократного решения задачи о нахождении точки
пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых
ребра многогранника пересекаются с заданной
плоскостью, будут вершинами искомого сечения.
• Тот же результат можно получить, сведя задачу к
построению линий пересечения плоскости с гранями
тела.
• Задача. Дана призма и плоскость общего положения
заданная двумя пересекающимися прямыми а и b.
Необходимо построить сечение призмы данной
плоскостью.
Eٰ2
А2 С2
X 2,1
С ٰ2
В2
52
62
22
h2
12
F4
21
51
31
D1
С1
D5
Fٰ2
В1
А1
В ٰ2
42
32
Dٰ2
А ٰ2
F 4 ≡ 24
B4
В ٰ1
61
11
h1
А ٰ1
F5
24
A4
D 4 B ٰ4
34
E5
A ٰ4
41
С ٰ1
C4
44
E1
E4
X ,1,4
С ٰ4
X4,5
• Особое место занимают задачи
по нахождению линии
пересечения плоскости с
конической поверхностью. В
зависимости от положения
секущей плоскости линией
пересечения может быть
окружность, эллипс, парабола
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
• В зависимости от
положения секущей
плоскости линиями
сечения конической
поверхности могут
быть: эллипс, парабола,
гипербола и окружность
а в частных случаях:
прямая, две
пересекающиеся
прямые и точка.
Примеры пересечения конуса
плоскостями.
• Если секущая плоскость проходит через вершину
конуса, в сечении получается треугольник(а).
В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси
конуса, получается окружность (б).
Если секущая плоскость наклонна к оси вращения
конуса и не проходит через его вершину, в сечении
могут получиться эллипс, парабола и гипербола.
Эллипс получается в том случае, когда угол между
секущей плоскостью и осью вращения (β) больше,
чем угол между осью вращения и образующей конуса
(α) (рис.в), т. е. плоскость пересекает все
образующие конуса.
• Если секущая плоскость
проходит через вершину
конуса, в сечении
получается
треугольник(а).
• В сечении конуса
плоскостью,
перпендикулярной оси
конуса, получается
окружность (б).
• Если секущая плоскость
наклонна к оси вращения
конуса и не проходит
через его вершину, в
сечении могут получиться
эллипс, парабола и
гипербола. Эллипс
получается в том случае,
когда угол между секущей
плоскостью и осью
вращения (β) больше, чем
угол между осью вращения
и образующей конуса (α)
(рис.в), т. е. плоскость
пересекает все
образующие конуса.
• Если углы α и β равны,
т.е. секущая плоскость
проходит параллельно
одной из образующих
конуса, в сечении
получается
парабола(рис.г).
• Если секущая
плоскость,
направленная под углом
к оси вращения конуса,
пересечет его так, что
угол β будет меньше
угла α, то в сечении
получится гипербола
(рис.д).
Примеры пересечения конуса
плоскостью
• Если плоскость Ф
пересекает все
образующие
поверхности конуса
вращения, т.е. если
φ>α, то линией сечения
является эллипс. В
этом случае секущая
плоскость не
параллельна ни одной
из образующих
поверхности конуса.
• Если плоскость Ф
параллельна одной
образующей поверхности
конуса, т.е. φ=α, то линией
пересечения является
парабола. В частном
случае (плоскость
является касательной к
поверхности конуса)
сечение вырождается в
прямую.
•
Если плоскость Ф
параллельна двум
образующим поверхности
конуса (в частном случае
параллельна оси конуса),
т.е. φ<α, то линией сечения
является гипербола. В
случае прохождения
плоскости через вершину
конической поверхности
фигурой сечения могут
быть сами образующие, т.е.
гипербола вырождается в
две пересекающие
прямые.
S2
a
h2
A2
O2
X 2,1
A1
O 1≡ S 1
A4
a
h1
R
X1,4
S4
h4
Пересечение поверхности
проецирующей плоскостью
22
23
32≡42
72≡82
Δ2
52≡62
12
73
83
53
63
13
63
71
Σ2
51
31
21
41
11
61
81
R
R
Пересечение фронтально проецирующей
плоскостью
• Окружность, по которой плоскость α пересекает
сферу, проецируется на плоскости П и П в виде
эллипса, а на плоскость П2 в прямую линию
ограниченную очерком сферы.
• Охарактеризуем выбранные для построения точки:
• 1, 8- две вершины эллипса, определяющие
положение малой оси на горизонтальной и
профильной проекциях, их фронтальные проекции
определяют пересечение следа плоскости α с
очерком сферы. Эти точки являются соответственно
высшей и низшей точками сечения.
• 2, 3- фронтальные проекции этих точек лежит на
вертикальной оси сферы, а профильные проекции
будут лежать на очерке сферы и определять зону
видимости при построении эллипса на П3.
1
3
•
•
•
4, 5- две вершины эллипса, определяющие положение
большой оси эллипса на горизонтальной и профильной
проекциях, положение их фронтальной проекции
определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к
следу плоскости α.
6, 7- фронтальные проекции этих точек лежат на
горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору
сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы
и определяет зону видимости при построении эллипса на
П1.
Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной
плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на
ней отмечаем точки 12…82. Для нахождения
горизонтальных проекций этих точек в общем случае
используется метод вспомогательных секущих плоскостей
(β- горизонтальные плоскости уровня) . Например, через
точки 22, 32 проведем след плоскости β12 , на
горизонтальной плоскости проекций линией пересечения
плоскости β1 и сферы будет окружность m11 , а точки 21 и 31
лежат на этой окружности по линии связи ( в данном случае
осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме
11 и 81 , которые ввиду своего положения на очерке
фронтальной проекции сферы будут принадлежать
горизонтальной осевой линии на плоскости П1.
Построенные точки 11…81 соединим плавной кривой
линией с