Transcript هيا نبدأ ما هي طرق البرهان التي تعلمتها في الصف العاشر ؟ )1 البرهان المباشر . )2 البرهان غير المباشر . )3 البرهان بالتناقض.

‫هيا نبدأ‬
‫ما هي طرق البرهان التي تعلمتها في الصف العاشر ؟‬
‫‪ )1‬البرهان المباشر ‪.‬‬
‫‪ )2‬البرهان غير المباشر ‪.‬‬
‫‪ )3‬البرهان بالتناقض ‪.‬‬
‫هل هناك طرق برهان آخرى ؟‬
‫نعم ‪ ،‬ومنها طريقة البرهان باستخدام االستقراء الرياضي‬
‫اضغط هنا لالستمرار‬
‫اقرأ هذه العبارة جيداً وتأمل فيها ‪:‬‬
‫” لجميع قيم ن الصحيحة الموجبة يكون‬
‫ن‪ + 2‬ن ‪ 0 = 17+‬عدداً أوليا ً ”‬
‫هل هذه العبارة صحيحة‬
‫هيا نتابع‬
‫” لجميع قيم ن الصحيحة الموجبة يكون‬
‫ن‪ + 2‬ن ‪ 0 = 17+‬عدداً أوليا ً ”‬
‫نعوض مكان ن بالقيم ‪....... ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 :‬‬
‫عند ن = ‪ ، 1‬فإن العبارة = ( ‪ 19 = 17+ 1 + 2)1‬عدد أولي‬
‫عند ن = ‪ ، 2‬فإن العبارة = ( ‪ 23 = 17+ 2 + 2)2‬عدد أولي‬
‫عند ن = ‪ ، 3‬فإن العبارة = ( ‪ 29 = 17+ 3 + 2)3‬عدد أولي‬
‫عند ن = ‪ ، 4‬فإن العبارة = ( ‪ 37 = 17+ 4 + 2)4‬عدد أولي‬
‫هل هذه القيم تكفي إلثبات صحة العبارة ؟؟‬
‫عند ن = ‪ ، 16‬فإن العبارة = ( ‪289 = 17+ 16 + 2)16‬‬
‫عدد ليس أولي‬
‫اضغط لالستمرار‬
‫مبدأ االستقراء الرياضي‬
‫لتكن ق ن عبارة بداللة العدد الطبيعي ن ‪ ،‬فإذا كان ‪:‬‬
‫‪(1‬ق ‪ 1‬صحيحة ‪ ( .‬أي أن العبارة صحيحة عندما ن = ‪) 1‬‬
‫‪ )2‬ق ك صحيحة ‪G‬ق ك ‪ 1+‬صحيحة ‪.‬‬
‫(أي أن إذا كانت العبارة صحيحة عندما ن = ك فإنها‬
‫صحيحة عندما ن = ك ‪)1 +‬‬
‫فإن العبارة صحيحة لجميع قيم ن الطبيعية ‪.‬‬
‫اضغط لالستمرار‬
‫مثال ‪:‬‬
‫استخدم مبدأ االستقراء الرياضي إلثبات أن ‪:‬‬
‫‪2+ ....... + 6 + 4 + 2‬ن = ن ( ن ‪ )1+‬حيث ن ‪ g‬ط*‬
‫الحل‪:‬‬
‫أوالً‪ :‬نتحقق من صحة العبارة عند ن = ‪1‬‬
‫الطرف األيمن = الحد األول = ‪2‬‬
‫الطرف األيسر = ‪2 = 2 × 1 = ) 1 + 1 (1‬‬
‫إذاً ‪ :‬العبارة صحيحة عند = ‪1‬‬
‫تابع‬
‫ثانيا ً‪ :‬نفرض أن العبارة صحيحة عند ن = ك‬
‫أي أن ‪ 2+ ...... + 6 + 4 +2 :‬ك ك ( ك ‪)1+‬‬
‫=‬
‫ونريد إثبات صحتها عند ن = ك ‪1 +‬‬
‫أي ‪2 +............. + 6 + 4 + 2 :‬ك ‪(2+‬ك‪( = )1+‬ك‪()1+‬ك‪)2+‬‬
‫‪ (2 +‬ك ‪)1+‬‬
‫الطرف األيمن = ‪2+ ...... + 6 + 4 +2‬‬
‫= ك‬
‫‪ (2 +‬ك ‪)1+‬‬
‫= ( ك ‪ ()1 +‬ك ‪ = )2+‬الطرف األيسر‬
‫إذاَ ًً ‪ :‬العبارة صحيحة عند ن = ك ‪1+‬‬
‫إذاَ ًً ‪ :‬العبارة صحيحة لجميع قيم ن ‪g‬‬
‫ط*‬
‫تمارين‬
‫أثبت صحة كل مما يلي باستخدام مبدأ االستقراء الرياضي‬
‫لجميع قيم ن ‪ g‬ط* ‪:‬‬
‫ن( ن ‪)1+‬‬
‫‪ + ............ + 3 + 2+ 1 )1‬ن =‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ( + ...... + 7 + 5 + 3 )2‬ن ‪ = )1+‬ن( ن ‪)2+‬‬
‫‪ 2 (+......... + 5 + 3 + 1(3‬ن ــ ‪= )1‬‬
‫هيا نتابع‬
‫اضغط هنا‬
‫ن‪2‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫استخدم مبدأ االستقراء الرياضي إلثبات أن المقدار‬
‫‪7‬ن ــ ‪5‬ن يقبل القسمة على ‪ 2‬لجميع قيم ن ‪ g‬ط*‬
‫الحل‪:‬‬
‫أوالً‪ :‬نتحقق من صحة العبارة عند ن = ‪1‬‬
‫‪ 7‬ــ ‪ ( 2 = 5‬تقبل القسمة على ‪) 2‬‬
‫إذاً ‪ :‬العبارة صحيحة عند = ‪1‬‬
‫تابع‬
‫ثانيا ً‪ :‬نفرض أن العبارة صحيحة عند ن = ك‬
‫أي أن ‪7 :‬ك ــ ‪5‬ك تقبل القسمة على ‪2‬‬
‫أي أن ‪7 :‬ك ــ ‪5‬ك = ‪ 2‬م ‪ ،‬حيث م عدد صحيح‬
‫ومنها ‪7 :‬ك = ‪5‬ك ‪ 2+‬م ‪ ،‬حيث م عدد صحيح‬
‫ونريد إثبات صحتها عند ن = ك ‪1 +‬‬
‫أي ‪ 7 :‬ك‪ 1+‬ــ ‪ 5‬ك‪ 1+‬تقبل لقسمة على ‪2‬‬
‫‪7‬ك‪ 1+‬ــ ‪5‬ك‪7×7 = 1+‬ك ــ‬
‫‪5×5‬ك‬
‫= ‪(×7‬‬
‫) ــ‬
‫‪5×5‬ك‬
‫= ‪14‬م ‪5×7 +‬ك ــ ‪5×5‬ك = ‪14‬م ‪5 +‬ك ( ‪ 7‬ــ ‪)5‬‬
‫= ‪14‬م ‪5 ×2 +‬ك = ‪ 7 (2‬م ‪5 +‬ك ) = ‪ 2‬هـ ‪ ،‬حيث هـ عدد صحيح‬
‫إذا‪7 :‬ك‪ 1+‬ــ ‪5‬ك‪ 1+‬تقبل القسمة على ‪2‬‬
‫إذاً ‪ :‬العبارة صحيحة لجميع قيم ن ‪ g‬ط* ‪.‬‬
‫تمارين‬
‫أثبت صحة كل مما يلي باستخدام مبدأ االستقراء‬
‫الرياضي لجميع قيم ن ‪ g‬ط* ‪:‬‬
‫‪7 )1‬ن ــ ‪3‬ن تقبل القسمة على ‪. 4‬‬
‫‪2 3 )2‬ن ــ ‪2‬ن تقبل القسمة على ‪. 7‬‬
‫‪9 )3‬ن ــ ‪ 1‬تقبل القسمة على ‪. 8‬‬
‫هيا نتابع‬
‫اضغط هنا‬
‫نشكركم لحسن المتابعة‬
‫مع تحيات ‪ :‬أ ‪ /‬نبيل أحمد سلمن‬