Transcript Aplicatie_prof._FA

CUPRINS
1. Scopul lectiei
2. Valori si atitudini
3. Definitie
4. Teorema
5. Exemple
6. Aplicatii
7. Teste
8. Tema
Scopul lectiei
•Obtinerea si demonstratia formulei de calcul a permutarilor de n
elemente
•Deprinderea utilizarii permutarilor
•Aplicatii
Valori şi atitudini
•Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi
acţiune.
•Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a
tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare.
•Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea,
ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme.
•Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în
abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.
•Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru
viaţa socială şi profesională.
PERMUTARI
Fie A o multime finita cu n elemente.
Aceasta multime se poate ordona in mai multe moduri. Se obtin, astfel, multimi
ordonate diferite, care se deosebesc
intre ele numai prin ordonarea elementelor.
Definitie Daca A este o multime cu n elemente, fiecare din multimile
ordonate care se formeaza cu cele n elemente
ale multimii A se numeste permutare a acestei multimi.
Se mai spune ca este o permutare a elementelor sale sau, inca, o permutare de n
elemente.
Numarul permutarilor de n elemente se noteaza cu Pn si se citeste”permutari de n”.
Exemple
1. O multime cu un singur element poate fi ordonata intr-un singur mod.
2. O multime cu doua elemente poate fi ordonata in doua moduri.
3. O multime cu trei elemente poate fi ordonata in sase moduri
{a,
b, c}
{a,c b}
{b, a, c}
{b, c, a}
{c, a, b}
{c, b, a}
Multimea vida se poate ordona intr-un singur mod
0!= 1
Teorema: Daca n ≥ 1 este numar natural, atunci Pn = n! (1)
Demonstratie
Teorema se demonstreaza prin metoda inductiei
matematice. Se noteaza cu P(n) egalitatea (1).
1. P(1) este adevarata (vezi exemplul 1).
2. Se arata ca P(k) implica P(k+1). Se ordoneaza in toate modurile posibile o
multime cu ( k+1) elemente, Oricare din cele( k+1) elemente ale multimii
poate ocupa ultimul loc, al (k+1)-lea. Se obtin astfel (k+1) moduri diferite de
a ocupa ultimul loc. Se considera unul din ele, in care un element ales al
multimii va avea rangul (k+1).Elementele ramase .care sunt in numar de k,
trebuie sa ocupe peimele k locuri, iar aceasta se poate face in k! moduri
diferite. Se obtin, asadar, (k+1)k!=(k+1)! moduri de a ordona o multime care
are (k+1) elemente, deci P(k+1) este adevarata. Conform metodei inductiei
matematice, teorema este demonstrata.
Aplicatii
1. Cate numere diferite se pot forma cu cifrele:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
asfel ancat orice numar sa contina toate cifrele si doar o singura data fiecare
cifra?
R: Din numarul multimilor ordonate care au ca elemente cele 10 cifre ,
trebuie sa scadem pe cele care au pe primul
loc cifra 0. Deci obtinem:
10!-9!=9.9!=3265920 numere.
2.In jurul unei mese se aseaza 6 persoane,3 baieti si 3 fete.In cate moduri se
pot aseza aceste persoane astfel incat sa nu fie alaturi doua persoane de
acelasi sex?
R: 2.3!.3!=72 moduri
B1
F1
B3
F3
F2
B2
B1
F1
F3
B2
F2
B3
Tema
1. Cate numere de 5 cifre cu cifre diferite se pot forma cu cifrele: 1, 2 , 3, 4, 5 ?
Cate din ele sunt divizibile cu 5 ?
2. In cate feluri se pot aseza 10 persoane in jurul unei mese rotunde ?
3. Cum se pot aseza pe un raft 10 carti, 7 de autori diferiti si 3 de acelasi autor,
astfel incat cele de acelasi autor sa fie una dupa alta ?
4. Afla valorile numarului natural n pentru care: (2n)!/2n!<500