Introducere in geometria computationala

Universitatea “Politehnica” Bucuresti Catedra de Calculatoare conf. dr. ing. Costin-Anton BOIANGIU [email protected]

Notare (1)

• • [60%] Activitate in timpul semestrului (laborator/proiect) ▫ [05%] Faza documentare si raport preliminar ▫ [10%] Documentatie proiect ▫ [50%] Implementare, optimizari, paralelizari ▫ [05%] Validarea rezultatelor obtinute (scenarii de test) ▫ [30%] Raport final, articol revista [10%] Activitate in timpul semestrului (curs) ▫ [50%] Prezenta ▫ [50%] Grad de participare la discutii in cadrul prezentarilor colegilor

Notare (2)

• • [10%] Prezentare in cadrul cursului ▫ [60%] Calitatea prezentarii si claritatea expunerii ▫ [40%] Calitatea cercetarii depuse in domeniul prezentat si abilitatea de a raspunde intrebarilor conexe [20%] Examen Final (cu orice fel de documentatie scrisa pe masa) – o idee/abordare originala plus algoritmul aferent pentru rezolvarea unei probleme practice din cadrul ariilor definite de curs ▫ [50%] Descriere idee/abordare ▫ [25%] Demonstratie matematica ▫ [25%] Algoritm (pseudocod apropiat de un limbaj de programare)

Criterii Promovare

Pentru promovare trebuie sa: • Obtineti: ▫ 50% din punctajul din timpul anului ▫ 50% din punctajul final • Sustineti o prezentare in fata colegilor, in cadrul cursului, pe baza unei programari preliminare

Precizari Importante (1)

• • Alegerea prezentarii: ▫ Deadline: 16 octombrie, ora 22:00, cerere pozitii pe site-ul cursului si alocare in ordinea sosirii cererilor ▫ Se pot alege teme din cadrul articolelor upload-ate pe site sau altceva in domeniul cursului, de comun acord ▫ Prezentarea va fi trimisa in fiecare luni de dinaintea cursului pana la ora 22:00, pe e-mail-ul de toti cei interesati.

[email protected],ro , urmand a fi postata pe site-ul de curs pentru a putea fi vizualizata ▫ Prezentarile din prima saptamana vor beneficia de un bonus de 1 punct, iar in cea de a doua de 0.5 puncte Alegerea proiectului ▫ Deadline: 16 octombrie, ora 22:00 ▫ Pentru fiecare saptamana intarziere se scade 1 punct din nota de proiect

Precizari Importante (2)

• • • Predarea proiectului (implementare) ▫ Pentru cei care nu echivaleaza examen: ultimul laborator ▫ Pentru cei care echivaleaza examen: preziua examenului Predarea proiectului (raport cercetare, articol conferinta/revista) ▫ Pentru cei care nu echivaleaza examen: ultimul laborator ▫ Pentru cei care echivaleaza examen: preziua examenului ▫ Pentru predare inainte de termen se acorda bonus de 0.5 puncte pe saptamana in cadrul activitatii de laborator/proiect Cei care sunt acceptati cu un articol la o conferinta/revista importanta (necesita validare) primesc 10 la aceasta materie!

Cuprins

• • • • Ce este geometria computationala (GC)?

Exemple de probleme in GC GC in perspectiva Preliminarii ▫ Concepte de baza in geometrie ▫ Poligoane: definitie si reprezentari ▫ Poliedre: definitie si reprezentari

Ce este geometria computationala?

Studiul algoritmilor ce servesc la rezolvarea problemelor geometrice.

• •

Geometrie

: • O multime de primitive geometrice (puncte, linii, curbe, plane, suprafete) definite in spatiul metric, de obicei in plan (2D) sau in spatiu (3D).

• O multime de operatii geometrice (intersectie, reuniune, descompunere) pe entitati geometrice.

Algoritmi:

• Proceduri constructive ce calculeaza proprietati, raspund la interogari sau construiesc entitati geometrice.

Ce este geometria computationala?

• •

Complexitate

: • Analiza in scopul intelegerii a ce poate fi obtinut si cu ce grad de dificultate.

Tipuri de algoritmi:

•

Combinatorici

(topologici) – obiectele geometrice sunt entitati discrete formate din puncte, linii, poligoane etc.

•

Numerici

(modelare geometrica) – modelarea si reprezentarea curbelor si suprafetelor

De ce geometria computationala?

Stiinta si teorie

▫ O continuare naturala a geometriei constructive si a geometriei combinatorice din matematica ▫ Pastreaza o relatie cu probleme fundamentale in matematica: programare liniara, geometrie analitica

Tehnologie si aplicatii

▫ Multe probleme cheie in Inginerie si Grafica ▫ Dezvoltarea de biblioteci ce contin algoritmi eficienti si robusti ▫ Intelegerea problemelor specifice ▫ Mare importanta economica: Grafica, CAD/CAM, …

Exemple de probleme in GC

• • • • • • • • • Cel mai apropiat vecin Diagrame Voronoi Triangularizari Delaunay Localizarea unui punct Punct in poligon Cautari in spatii ortogonale Cel mai scurt drum Vizibilitate …

Cel mai apropiat vecin

•

Definirea problemei

• Intrare: o multime de puncte (situri) P in plan si un punct de interogare q.

Iesire: Punctul p  P cel mai apropiat de q dintre toate punctele din P.

Variatii:

• • • Un set de puncte, interogari multiple Punct dinamic, set dinamic de puncte In 3D in loc de 2D Aplicatii: telefonie mobila, localizare

p q P

Diagrame Voronoi

Definirea problemei

• Intrare: o multime de puncte (situri) P in plan.

• Iesire: O subdiviziune planara S in celule per sit. Celula ce corespunde lui

p

 P contine toate punctele de care p este cel mai apropiat.

Variatii

• Set dinamic de puncte Aplicatii: acoperirea unui sit, gasirea celei mai bune locatii pentru un nou sit

S P

Localizarea unui punct

•

Definirea problemei

• Intrare: O partitionare S a planului in celule si un punct de interogare p.

Iesire: Celula C  S continand p.

Variatii

• O partitionare, interogari multiple Aplicatii: localizare

C p S

Punct in poligon

•

Definirea problemei

• Intrare: un poligon P in plan si un punct de interogare p.

Iesire: adevarat daca p  P, fals in caz contrar

Variatii

• Un poligon, interogari multiple Aplicatii: localizarea unei regiuni

p P

Cautari in spatii ortogonale

Definirea problemei

• Intrare: Un set de puncte P in plan si un dreptunghi de interogare R • Iesire:  (raport) Submultimea Q  in R.

P continuta  (masuratoare) Dimensiunea lui Q.

Variatii

• Un set de puncte, interogari multiple • Spatial Aplicatii: cautari geografice, baze de date

R Q P

Cel mai scurt drum

Definirea problemei

• Intrare: Locatii ale obstacolelor si punctele de interogare s si t. (initial si final) • Iesire: cel mai scurt drum intre s si t ce evita toate obstacolele.

Variatii

s

• • Un set de obstacole, interogari multiple Puncte finale multiple, obstacole in miscare Aplicatii: rutare, robotica

t

Vizibilitate

Definirea problemei

• Intrare: un poligon P in plan si un punct de interogare p.

• Iesire: Poligonul Q  P, vizibil lui p.

Variatii

• • Un poligon, interogari multiple Poligoane multiple, 3D Aplicatii: randare, securitate

P p

Q

Alte aplicatii

Detectarea coliziunilor Reprezentarea suprafetelor

Alte aplicatii

Planificarea miscarii Invatarea automata

Alte aplicatii

Sisteme informatice geografice Dinamica computationala a fluidelor

Preliminarii geometrice

Spatiu Euclidean: E

d

• Spatiu de d-tupluri, p = (x

1 ,…,x d

), de numere reale x in R numite puncte, unde d este dimensiunea spatiului.

i

• Metrica: o functie m: E

d

× E

d

 R cu 3 proprietati: • 1. m(p,p) = 0

identitate

2. m(p

1 ,p 2

) = m(p

2 ,p 1

)

simetrie

3. m(p

1 ,p 3

) ≤ m(p

1 ,p 2

) + m(p

2 ,p 3 ) inegalitatea triunghiurilor

Metrica distantei: functie in E

d

× E

d

 R astfel incat

d

(

p

1 ,

p

2 )  ||

p

1 

p

2 ||  

i d

 1 (

x i

(

p

1 ) 

x i

(

p

2 )) 2

Primitive geometrice

• Punct: tuplurile

p

= (

x 1 ,…,x d

) sunt definite in raport cu un sistem de axe cu aceeasi origine. Pot fi interpretate si ca vectori.

• Linie: o combinatie liniara de doua puncte distincte.

 • Segment: o linie marginita 

p p

1 1   ( ( 1 1     ) )

p p

• Plan: o combinatie liniara de

d

2 2     puncte [

R

0 , 1 ]  1

p

1   2

p

2  ...

 

d

 1

p d

 1  ( 1   1  ...

 

d

 1 )

p d



j

  1 

j



d

 1 • Varietate liniara: o multime

V

pentru care orice combinatie liniara de doua puncte din

V

apartine multimii

V.

Multimi

• • • O multime de puncte S este conexa daca nu este reuniunea a doua multimi disjuncte nenule.

Granita unei multimi S este o submultime a punctelor pentru care exista un punct vecin la distanta ε  0 ce nu se afla in S.

Teorema lui Jordan: orice curba simpla inchisa (nu se intersecteaza cu ea insasi) partitioneaza planul in doua regiuni disjuncte. Exteriorul este nemarginit, iar interiorul este marginit.

p

1

exterior interior p

2

Multime convexa

• O multime S a lui E

d

daca pentru toate p

p

1

1

este convexa daca si numai

, p 2

din S toate punctele din segmentul p

1 p 2

sunt in S.

p

1

p

2

p

2 • (convexa) (nu este convexa) Teorema: intersectia a doua multimi convexe este convexa.

p

1

p

2

Infasuratoare convexa

• Infasuratoarea convexa CH(P) a unui set de puncte P in E

d

este cea mai mica multime convexa ce contine P.

P CH(P)

• Echivalent: intersectia tuturor multimilor convexe ce contin P.

In plan, infasuratoarea convexa este marginita de segmente liniare. In spatiu este marginita de planuri.

Poligoane

• Definitie: un poligon este o regiune a unui plan, marginita de o colectie finita de segmente liniare (muchii) ce formeaza curbe simple inchise unde fiecare punct final de segment (varf) este impartit de exact doua muchii.

varfuri

v i

= (

x i ,y i

) muchii

m ij =

(

v i ,v j

) granite

Complexitatea poligonului: numarul de varfuri

Tipuri de poligoane

Poligon simplu: o singura curba inchisa: 1.

Nici o pereche de muchii neconsecutive nu impart un varf.

2.

Muchiile neadiacente nu se intersecteaza.

P

Poligon convex: Nici o linie intre oricare doua varfuri nu este inafara poligonului.

diagonale

Tipuri de poligoane

Poligon stelat: un poligon simplu P astfel incat exista un punct p in interiorul sau astfel incat toate liniile din p catre orice punct q in P se afla in interiorul lui P.

p

Poligon monoton: un poligon P este monoton de-a lungul unei linii L daca si numai daca proiectia varfurilor sale pe linie pastreaza o ordine data a punctelor.

3 5 2 4 6 7 1

Poliedre

Definitie

: O multime finita de poligoane (numite fete) in spatiu astfel incat fiecare muchie a unui poligon este impartita de exact doua poligoane.

varfuri • • • Fetele neadiacente nu se intersecteaza Fetele adiacente impart un punct sau un segment Poligoanele definesc o

suprafata inchisa

fete muchii

Exemple de non-poliedre

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Procesarea structurilor poligonale ▫ Reducerea/Simplificarea Mesh-urilor ▫ Generarea si simplificarea terenurilor

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Vizualizarea structurilor N-Dimensionale ▫ Proiectii N => N-1, Transformari N-Dimensionale ▫ Hiper-Primitive grafice

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Sistem de detectie a coliziunilor ▫ Detectie a coliziunilor volumelor de incadrare ▫ Structuri de incadrare ierarhice ▫ Detectie a coliziunilor componentelor

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Sistem de simulare interactiuni fizice

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Triangularizari Delaunay

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Diagrame Voronoi

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Curbe/Volume de Incadrare/Aproximare ▫ Variatii Alpha-Shape parametrizabile ▫ Constrangeri de ocolire/excludere ▫ “Infrumusetari” ale volumelor rezultate

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Caracteristici geometrice pentru clasificare

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Regiuni/Segmentare “Watershed”

Posibile arii de dezvoltare proiect

• Morfologie matematica