Transcript Теорема Піфагора.

Вінницький державний педагогічний університет
імені Михайла Коцюбинського
Інститут математики,фізики і технологічної освіти
Навчально-дидактичний матеріал з курсу геометрії
7 класу
Про автора
Я,
Майданюк
народилася
в
Олена,
селі
Буди
Тростянецького
району
Вінницької області.
Брала активну участь у
художній
самодіяльності
в
школі, яку закінчила із золотою
медаллю.
У 2007 році вступила до
першого
курсу
Вінницького
ІМФТО
державного
педагогічного університету імені
Михайла Коцюбинського.
Тепер
курсу.
я
Мені
студентка
III
подобається
навчатися в цьому університеті.
Зміст
Зміст:
 Популярність теореми Піфагора.
 Перші відомості про теорему Піфагора.
 Піфагор і Піфагорійська школа.
 Формулювання теореми та різні способи її доведення.
 Цікава інформація.
«Геометрія
володіє
двома скарбами:
один з них –
це теорема
Піфагора»
Іоганн Кеплер
Теорема Піфагора
Можна сказати, що це найвідоміша
теорема геометрії, бо про неї знає
більша частина населення планети,
хоча довести її може лише незначна
його частина.
Пичина популярності теореми полягає в:
1) краса;
2) простота;
3) значимість.
Зміст
Не підлягає сумнівам те, що
цю теорему знали за багато років
до Піфагора. Так, за 1500 років до
Піфагора древні єгиптяни знали
про
те,
що
трикутник
зі
сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним,
і
користувались
властивістю
цією
(теоремою,
оберненою до теореми Піфагора)
для побудови прямих кутів при
плануванні земельних ділянок і
створенні будівель.
Та і досі сільські
будівельники, закладаючи
фундамент будинку,
виготовляючи деякі деталі,
вичерпують цей трикутник,
щоб отримати прямий кут.
Це ж саме виконувалось тисячі років назад
при побудові храмів в Єгипті, Вавилоні, Китаї,
ймовірно, і в Мексиці. Як свідчать літописи, в
Древньому Китаї уже біля 2200 року до н.е.
для трикутника зі сторонами 3, 4, 5 було
знайдено правило «гоу-гу», за допомогою
якого можна було за відомою гіпотенузою і
одним з катетів знаходити інший невідомий
катет, а також гіпотенузу, якщо відомі обидва
катети.
5
4
3
В найдревнішому індійському
геометричному збірнику
«Сульвасутра» («Правила мотузки»,
600 р. до н.е.), яка являла собою
своєрідну інструкцію з побудови
вівтарів у храмах, даються правила
побудови прямих кутів за допомогою
мотузки з вузлами, відстані між
якими 15, 36 і 39 падас (міра
довжини). Вівтарі, за священним
письмом, повинні мати строгу
геометричну форму, орієнтовану
відносно чотирьох сторін горизонту.
В Древньому Вавилоні цю властивість не
тільки трикутника зі сторонами 3, 4, 5, але і
взагалі всіх прямокутних трикутників було
добре відомо. Так, в одному з найранніших
вавілонських математичних текстів міститься
наступна відома задача:
«Палиця довжиною 1/2, оперта
на стіну. Її верхній кінець
опустили на 1/10. Як далеко
відсунеться її нижній кінець?»
Розв”язок задачі:
В задачі, як бачимо, за даними гіпотенузі c
= 1/2 і одному з катетів b = 1/2 - 1/10 = 2/5
необхідно
знайти
інший
катет.
Його
вавилонянин визначає «за Піфагором»:
Теорема Піфагора у вигляді найпростіших
кутомірних пристроїв знайдена в пам’ятниках
культури древніх єгиптян, вавилонян, китайців і індійців задовго до Піфагора. Але серед
цих памятників немає ні одного, за виключенням китайського математичного трактату, в
якому були б хоч вказівки на доведення
теореми.
Як стверджують всі античні автори, Піфагор
перший дав повноцінне доведення теореми,
що носить його ім’я. На жаль, ми не знаємо, в
чому його суть, бо древні математики і
письменники
про це мовчать, а від самого
Піфагора і ранніх піфагорійців до нас не
дійшло жодного письмового документу.
Зараз теорему Піфагора знають практично всі, хто
вивчав планіметрію.
Вважається, що якщо ми хочемо дати знати неземним
цивілізаціям про існування розумного життя на Землі, то
потрібно посилати в космос зображення Піфагорової
фігури. Так, якщо цю інформацію зможуть прийняти
розумні істоти, то вони без складної дешифровки сигналу
зрозуміють, що на землі існує достатньо розвинена
цивілізація
Зміст
Піфагор
Знаменитий грецький філософ і
математик Піфагор Самоський, іменем
якого названа теорема, жив біля 2,5
тисяч років тому назад. Біографічні
відомості, які дійшли до нас про
Піфагора уривчасті і далеко
недостовірні. З його іменем пов’язано
багато легенд.
Відомо, що Піфагор багато
подорожував країнами Сходу,
Єгиптом, Індією і Вавилоном, вивчав
древню культуру і досягнення науки
різних країн.
Повернувшись на батьківщину,
Піфагор організував молодіжний гурток
із представників аристократії, куди
приймались з великими царемоніями
після довгих випробувань. Кожен
вступник відрікався від своєї власності і
давав клятву берегти в таємниці вчення
основоположника.
Так на півдні Італії, яка була в той
час
грецькою
колонією,
виникла
знаменита «Піфагорійська школа»,
що зіграла важливу роль в науковому
й політичному житті древньої Греції.
Піфагорійці займались математикою,
філософією, природничими науками.
Ними було зроблено багато важливих
відкриттів в арифметиці й геометрії.
Однак, в школі існував Декрет, за яким
авторство всіх математичних робіт
приписувалось Піфагору.
Саме
Піфагору
доведення
знаменитої
приписують
і
геометричної
теореми.
На
основі
відомостей,
що
були
передані відомими математиками (Прокл,
Плутарх та ін.), довгий час вважали, що
до Піфагора ця теорема не була відома,
звідси і назва – теорема Піфагора.
Піфагора
вуличного
було
вбито
інциденту
під
в
час
народне
повстання. Після його смерті учні
оточили
таємницею
ім’я
свого
учителя, так що встановити правду
про Піфагора неможливо.
Зміст
Теорема:
В прямокутному трикутнику
квадрат гіпотенузи дорівнює сумі
квадратів катетів.
Дано: прямокутний
Трикутник з катетами a,
β
c
b і гіпотенузою c.
b
Довести: a^2 + b^2 = c^2
α
a
a
α
β
Доведення:
a
α
c
b
с
a
квадрату зі стороною (a + b) так,
як показано на рисунку.
a
β
α
c
β
c
b
Добудуємо даний трикутник до
α
β
Sкв. = (a + b)^2 або Sкв. = 4Sтр. + S`кв.
b
Sтр. = 1/2ab;
S`кв. = c^2, тоді
Sкв. = 4 *1/2ab + c^2
Т.о.,
(a + b)^2 = 4 *1/2ab + c^2
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
a^2 + b^2 = c^2
Доведення, побудовані на основі використання поняття
рівновеликих фігур
Адитивні доведення ( побудовані на основі розміщення
квадратів, побудованих на катетах, на фігури, із яких
можна скласти квадрат, побудований на гіпотенузі
Доведення методом добудови
Алгебраїчний метод доведення і т.д.
Зміст
До теореми Піфагора його учні
складали вірші, типу:
«Пифагоровы штаны во
все стороны равны»
Теорему називали «мостом ослів»,
так як слабкі учні, які завчали теореми
напам’ять, без розуміння, і прозвані
тому
«ослами»,
не
могли
освоїти
теорему Піфагора, що була для них ніби
неперехідний міст.
Або «біг убогих», так
як деякі «убогі» учні, що
не мали серйозної
математичної підготовки,
бігли від геометрії.
В деяких списках «Початків» Евкліда теорема Піфагора
називалась теоремою Німфи, «теорема – метелик», мабуть
із-за схожості малюнка з метеликом, оскільки словом
«німфа» греки називали метеликів. Німфами греки
називали ще й наречених, а також деяких богинь.
При перекладі з грецького арабський
перекладач, ймовірно, не звернув би
уваги на малюнок і переклав би слово
«німфа»
не
як
«метелик»,
а
як
«наречена». Так і з’явилась ласкава
назва знаменитої теореми – «Теорема
Нареченої».
Зміст