Transcript Тема 4. Логіка, цілі числа і доведення.

Логіка, цілі числа і
доведення
Модуль 1. Лекція 3
План
Числення предикатів
Квантори
Математична індукція
Подільність
Прості числа
Умовні позначення
- визначення
- приклад
- примітка
- важливо!
- теорема
План
Числення предикатів
Твердження, яке в залежності від значення змінніх
може бути істинним або хибним називається
предикатом.
Предикат з однією змінною називається одномісним
предикатом. Предикат, що має дві змінні,
називається двомісним предикатом, а предикат, що
містить n змінних, називається n-місним предикатом.
Р(х): 3 + х = 5;
Q(x,y,z): x2+y2≥z2;
R(x,y): z2+y2≥0;
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 4 з 28
План
Квантори
x
х
Універсальний квантор або
квантор загальності
Квантор існування
«для будь якого х» або «для
всіх х»
«існує таке х»
Множина значень – універсум
або предметна область
Множина значень –
предметна область
x (x2 ≥ 0)
x Р(x)
х (х2 = 4)
х Р(х)
Позначення для кванторів – це перевернуті латинські літери
А та Е відповідно, які є першими літерами в словах all - всі
та exist – існувати.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 5 з 28
План
1) Універсальна конкретизація
З істинності xР(x) випливає істинність Р(а) для
довільного а з універса.
2) Універсальне узагальнення
Якщо довільне а з універса забезпечує істинність Р(а),
робимо висновок, що x(P(x)) істинне.
3) Екзистенціональна конкретизація
З істинності хР(х) випливає, що існує конкретне b
таке, що Р(b) істинне
4) Екзистенціональне узагальнення
З існування конкретного с з універса, для якого Р(с)
істинне, можно зробити висновок, що хР(х)
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 6 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.1. Для довільних предикатів
Р(х) і Q(x), що мають одну предметну
область,
а) x(P(x)  Q(x)) ≡ xP(x)  xQ(x);
б) x(P(x)  Q(x)) ≡ xP(x)  x Q(x);
в) з xP(x)  xQ(x) випливає , що x(P(x) 
Q(x));
г) з х(Р(х)  Q(x)) випливає, що хР(х)  x
Q(x).
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 7 з 28
План
Теорема 3.2. Основні рівносильності, що містять квантори.
1. 𝑥 𝑃 𝑥 ≡ х 𝑃 𝑥
2. 𝑥 𝑃 𝑥 ≡ 𝑥 𝑃 𝑥
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x y P(x,y) ≡ y x P(x,y)
x y P(x,y) ≡ y x P(x,y)
x(P(x)  Q(x)) ≡ xP(x)  xQ(x)
x(P(x)  Q(x)) ≡ xP(x)  xQ(x)
x(P(x)  Q(y)) ≡ xP(x)  Q(y)
x(P(x)  Q(y)) ≡ xP(x)  Q(y)
yxP(x,y)  xyP(x,y) ≡ 1
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 8 з 28
Закони де Моргана
для кванторів
Комутація однойменних
кванторів
Дистрибутивні закони
для кванторів
Закони обмеження
дії кванторів
План
Розглянемо умовивід:
Всі студенти коледжу видатні
Всі видатні люди - учені
 Всі студенти коледжу - учені.
Учені
Студенти коледжу
Видатні люди
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 9 з 28
План
Аксіоми рівності
Для будь якої множини виконуються
наступні аксіоми:
(Е1) Для будь-якого a, a = a.
(Е2) Для будь-яких а і b, якщо а = b, то b = а.
(ЕЗ) Для будь-яких а, b і с, якщо а = b і b = с,
то а = с.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 10 з 28
План
Властивості додавання, віднімання
та множення на множині цілих чисел
(l1) Якщо а і b - цілі числа, то а + b і а  b - цілі числа.
Множина цілих чисел замкнута відносно операцій
додавання і множення.
(l2) Якщо а = b і с = d, то а + с = b + d і а  с = b  d.
(l3) Для будь-яких цілих чисел а і b мають місце
рівності а +b = b + а та a  b = b  а. Множина цілих
чисел комутативна щодо операцій додавання і
множення.
(І4) Для будь-яких цілих чисел a, b і c мають місце
рівності (a + b) + c = a + (b + c) та a  (b  c) = (a  b) 
c. Множина цілих чисел асоціативна відносно
операцій додавання та множення.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 11 з 28
План
(І5) Для будь-яких цілих чисел a, b і c має місце рівність a
 (b + c) = (a  b) + (a  c). Множення цілих чисел
дистрибутивне відносно додавання.
(І6) Існують єдині цілі числа 0 та 1 такі, що а + 0 = 0 + а =
а та а  1 = 1  а = а для будь-якого цілого числа а. Ціле
число 0 називається нейтральним елементом додавання,
або нулем множини цілих чисел, ціле число 1 називається
нейтральним елементом множення.
(І7) Для кожного цілого числа а існує єдине ціле число –а,
що називається оберненим елементом відносно додавання,
таке, що а + (-а) = (-а) + а = 0
(І8) Якщо b і c – цілі числа і для деякого ненульового
числа а маємо a  b = a  c, то b = с. Це твердження
називається мультиплікативною властивістю скорочення.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 12 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.3. Якщо n парне, то n2 також
парне.
ТЕОРЕМА 3.4. Якщо n2 парне, то і n парне.
ТЕОРЕМА 3.5. Нехай a, b і c - цілі числа.
а) Якщо b + а = c + а, т× b = с.
б) Для будь-якого цілого числа а має місце
рівність а  0 = 0.
в) Для будь-якого цілого числа а має місце
рівність -(-а) = а.
г) a  (-b) = - (ab).
д) (-а)  (-b) =а  b.
е) -(а + b) = (-а) + (-b).
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 13 з 28
План
Множина цілих чисел Z містить підмножину N додатних
цілих чисел. Аксіоми на множині N.
(N1) Ціле число 1 є додатне ціле число.
(N2) Множина додатних цілих чисел замкнута відносно
додавання і множення, тобто якщо а і b - додатні цілі
числа, то а + b і а  b - додатні цілі числа.
(N3) (Аксіома трихотомії) Для кожного цілого числа а
істинним є одне і тільки одне з перерахованих нижче
тверджень:
а) а - додатне ціле число;
б) а = 0;
в) -а - додатне ціле число.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 14 з 28
План
Для цілих чисел а і b маємо: а > b тоді і тільки тоді
, коли а - b додатне; а ≥ b тоді і тільки тоді, коли а >
b або а = b. Крім того, b < а рівносильне а > b і b ≤ а
рівносильне а ≥ b.
ТЕОРЕМА 3.6. Для цілих чисел а і b:
а) (a ≥ b)  (b ≥ a) → a = b;
б) (а > b)  (b > с) → а > с.
ТЕОРЕМА 3.7. Нехай а, b, с і d - цілі числа. Тоді
а) (а > b)  (с > d) → а + с > b + d;
б) (а > 0)  (с > d) → ac > ad;
в) (а > b > 0)  (с> d > 0) → ас > bd;
г) (а ≥ b ≥ 0)  (с ≥ d ≥ 0) → ас ≥ bd.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 15 з 28
План
Математична індукція
Принцип математичної індукції. Нехай Р(n) є таке
твердження, що
а) Р(1) істинне, і
б) для кожного k, якщо Р(k) істинне, то Р(k + 1) істинне.
Тоді Р(n) істинне для будь-якого цілого додатного числа п.
У символічному записі принцип математичної індукції має
вигляд (Р(1)  (( k) Р(k) → Р(k + 1)) → ( n) P(n).
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 16 з 28
План
Нехай А - множина цілих чисел. Ціле число а є найменше ціле
число множини А тоді і тільки тоді, коли
а) а належить А, і
б) якщо b належить А, то а ≤ b.
ТЕОРЕМА 3.8. Якщо множина цілих чисел має найменше
ціле число, то таке число єдине.
(N5) (Принцип повного впорядкування) Кожна непуста
множина додатних цілих чисел містить найменший елемент.
(N6) (Другий принцип індукції) Нехай Р(n) - твердження.
Якщо
а) Р(1) істинно, і
б) для довільного k з істинності Р(m) для всіх m < k випливає
істинність Р(k), то Р(n) істинно для всіх додатних цілих
чисел n. У символічній формі принцип індукції має вигляд
(P(1)  ((k)(m < k) P(m)) → P(k))→(n) P(n).
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 17 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.9. Не існує такого додатного цілого a,
що 0 <а < 1.
НАСЛІДОК 3.10. Якщо b - ціле число, то не існує
ціле число а, що володіє властивістю b < a < b+1.
ТЕОРЕМА 3.11. (Принцип індукції для цілих
чисел)
Нехай Р(n) - висловлення, що володіє властивостями
а) P(j) істинно і
б) для довільного k ≥ j, якщо P(k) істинно, то P(k + 1)
істинно.
Тоді Р(n) істинно для кожного n ≥ j.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 18 з 28
План
Подільність
Ціле число а є кратним числа b, якщо а = bm для
деякого цілого числа m. Ненульове ціле число b
ділить ціле число а, що позначається як b | а, якщо
а є кратне b. Ціле число b, що ділить ціле число а,
називається дільником числа а.
ТЕОРЕМА 3.12. Нехай а, b і с - цілі числа. Тоді
а) а | а для будь-якого а.
б) Для будь-яких а, b і с із а | b і b | с випливає а |
с.
в) Для будь-яких а, b і с маємо: b | а і b | с тоді і
тільки тоді, коли b | (m ∙ a + n ∙ c) для всіх цілих
чисел m і n .
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 19 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.13.Якщо а і b - додатні цілі числа і
а | b, то а ≤ b.
НАСЛІДОК 3.14. Якщо для додатних цілих
чисел а і b маємо а | b і b | а, то а = b.
ТЕОРЕМА 3.15. Для цілих чисел а і b, якщо а |
b і b | а, то а= b або а = -b.
ТЕОРЕМА 3.16. (Алгоритм ділення) Для
додатних цілих чисел а і b існують єдині
невід’ємні цілі числа q і r, де 0 ≤ r < b такі, що
а = bq + r. Такі цілі числа r і q називаються,
відповідно, остачею й часткою від ділення а
на b.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 20 з 28
План
Додатне ціле число d називається
дільником чисел а і b, якщо d | a і d | b.
спільним
Додатне ціле число d називають найбільшим
спільним дільником цілих чисел а і b, якщо
а) d | а і d | b, і
б) з с | а і с | b випливає с | d.
Якщо найбільший спільний дільник а і b є число 1, то
числа а і b називаються взаємно простими.
Обчислення НСД за допомогою відомого уже 2300 років метода, що
називається алгоритмом Евкліда. Для визначення НСД (m, n)
заданих величин 0 ≤ m < n в алгоритмі Евкліда використовується
рекурентність:
НСД (0, n) = n
НСД (m, n) = НСД (n mod m, m) при m>0
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 21 з 28
План
Додатне ціле число m називається спільним
кратним цілих чисел а і b, якщо а | m і b |
m.
Додатне ціле число m називається
найменшим спільним кратним цілих
чисел а і b, якщо
а) а | m і b | m, і
б) якщо а | n і b | n, то m | n.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 22 з 28
План
Прості числа
Ціле число, більше 1, називається простим,
якщо воно не має додатних дільників, крім 1 і
самого себе.
Додатне ціле число, більше 1, називається
складеним, якщо воно не є простим.
ТЕОРЕМА 3.17. (Евклід) Існує нескінченно
багато простих чисел.
ТЕОРЕМА 3.18. Кожне додатне ціле число або
дорівнює 1, або просте, або може бути
записане як добуток простих чисел.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 23 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.19. Якщо р - просте число і р | ab,
де а і b – додатні цілі числа, то р | а або р | b.
ЛЕМА 3.1. Якщо просте число р ділить добуток
додатних цілих чисел q1q2… qn, то р ділить qi
для деякого i, 1 ≤ i ≤ n.
ЛЕМА 3.2. Якщо просте число р ділить добуток
простих чисел q1, q2, ..., qn, то р = qi для
деякого i, 1 ≤ i ≤ n.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 24 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.20. (Основна теорема арифметики)
Будь-яке додатне ціле число, більше, ніж 1, або є
простим, або може бути записане у вигляді
добутку простих чисел, причому цей добуток
єдиний з точністю до порядку співмножників.
НАСЛІДОК 3.21. Кожне додатне ціле число,
більше 1, може бути записано єдиним чином з
точністю до порядку у вигляді
q1k(1)q2k(2) … qnk(n) , де k(l), k(2), ... і k(n) - додатні цілі
числа.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 25 з 28
План
ТЕОРЕМА 3.22. Якщо a = p1a(1) … pka(k) і b| а, то b = p1b(1) …
pkb(k), де 0 ≤ b(i) ≤ a(i) для всіх i; і навпаки.
ТЕОРЕМА 3.23. Нехай а = p1a(1)p2a(2)p3a(3) … pka(k) і b =
p1b(1)p2b(2)p3b(3) … pkb(k), де pi - прості числа, які ділять або а,
або b, і деякі показники степеня можуть бути рівні 0. Нехай
m(i) = min(а(i), b(i)) і М(i) = mах(а(i), b(i)) для 1 ≤ i ≤ k. Тоді
НСД(а, b) = p1m(1)p2m(2)p3m(3) … pkm(k)
і
НСК(а, b) = p1M(1)p2M(2)p3M(3) … pk(k).
ТЕОРЕМА 3.24. Якщо а і b - додатні цілі числа, то НСД(а,b) ∙
НСК(а, b) = ab.
Лекція 3. Логіка, цілі числа та доведення. Слайд 26 з 28
План
Література до лекції
 Андерсон
Д.А.
Дискретная
математика
и
комбинаторика: Пер. с англ.. – М.: Изд. дом
«Вильямс», 2003. – 960 с.
 Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О., Конкретная
математика. Основание информатики: Пер. с англ. –
М.: Мир, 1998. – 703 с.
 Ерусалимский Я.М., Дискретная математика, теория,
задачи, приложения. 3-е издание. – М.: Вузовская
книга, 2000. – 280 с.
Дякую за увагу