Transcript Теорема Піфагора

«Геометрія володіє
двомя скарбами:
один із них –
це теорема
Піфагора»
Йоганн Кеплер
Без перебільшення можна сказати,
що це найвідоміша теорема
геометрії.
В чому ж причина такої популярності
Теореми Піфагора?
Знавці стверджують, что причин є три:
а) її краса,
б) простота,
в) значимість.
З давніх-давен математики знаходять все нові і
нові доведення теореми Піфагора.
А чи знаєте ви, що за кількістю
доведень
Теорема Піфагора
занесена до Книги рекордів
Гінеса?
Після Піфагора доведення цієї теореми стало
своєрідним випробуванням майстерності багатьох вчених
і до нас дійшла велика кількість доведень.
Англійський математик Е. Луміс зібрав і
проаналізував в своїй книзі “Теорема Піфагора”
370 доведень!
Завдання:
Знайти можливі випадки
застосування теореми
Піфагора на практиці
Підібрати та
розв язати практичні
задачі на застосування
теореми Піфагора
Знайти в додаткових
джерелах цікаві
історичні задачі
на дану тему
Зробити висновок про
важливість застосування
теореми Піфагора
на практиці
“ЄГИПЕТСЬКИЙ
ТРИКУТНИК”
4
5
3
• Відомо, що за 3000 років
до нашої ери єгиптяни
знали і використовували в
будівництві той факт, що
трикутник з довжинами
сторін 3 , 4 і 5 одиниць прямокутний.
Декілька таких трикутників
знали в давній Індії та
Китаї.
39
36
15
В історії математики ми знайшли
такий факт: в найдавнішому
індійському геометричному
збірнику «Сульвасутра»
(«Правила мотузки», 600 рік до
н.е.), надрукована інструкція по
спорудженню вівтаря в храмах і
правила побудови прямих кутів за
допомогою мотузки з вузлами,
відстані між якими рівні 15, 36 і 39
падас (міра довжини). Вівтарі по
священному писанню повинні
мати строгу геометричну форму,
орієнтовану щодо чотирьох сторін
горизонту.
Доведення факту, що
в ті часи користувались правилом,
яке потім назвали теоремою Піфагора:
39
36
15
36^2 + 15^2 = 39^2
1296 + 225 = 1521
1521 = 1521
У Древньому Вавилоні ця властивість не тільки для
одного трикутника, а й взагалі для всіх прямокутних
трикутників була добре відома. Так, в одному із самих
ранніх вавілонських математичних текстів міститься
наступна витончена задача:
«Палка завдовжки
1 / 2, притулена до
стіни. Її верхній
кінець опустили на
1 / 10. Як далеко
відсунеться її
нижній кінець?»
?
У задачі, як бачимо, за даною
гіпотенузою c = 1 / 2
і одному з катетів
b = 1 / 2 - 1 / 10 = 2 / 5
необхідно знайти другий катет. Його,
як і належить, вавілонянін визначає
«за Піфагором»:
У трактаті «Математика в дев'яти книгах», створеному в II
столітті до н.е., крім 24 завдань, що вимагають для свого
рішення застосування теореми Піфагора, міститься також
креслення, що дозволяє довести теорему Піфагора
геометрично, як це представлено на малюнку. Можливо, що
дане креслення - свідоцтво єдиного «допіфагорового»
доведення даної теореми.
Таким чином, теорема
Піфагора у вигляді
найпростіших кутомірних
пристосувань, математичних
задач і креслень виявлена в
пам'ятниках культури древніх
єгиптян, вавілонян, китайців
та індійців задовго до
Піфагора. Але серед цих
пам'яток немає ні одного, за
винятком китайського
математичного трактату, в
якому були б хоча б вказівки
на доказ теореми.
Теорема Піфагора - одна із
найголовніших теорем геометрії.
Але, крім того, теорема Піфагора має
велике практичне значення: вона
застосовується в геометрії і в житті
буквально на кожному кроці.
1. Сталося якомусь
чоловіку до стіни
драбину поставити,
стіни ж тої висота є
117 стоп. І відати хоче
він, на скільки стоп
драбини нижній кінець
від стіни отстояти має,
якщо драбини довжина
125 стоп.
Старовинні
задачі:
?
Розв'язання:
117
125
?
125^2 = 117^2 + Х^2
X^2 = 125^2 – 117^2
X^2 = (125 – 117)(125 + 117)
X^2 = 8*242
X^2 = 4*4*121
X = 2*2*11
X = 44(стопи) – нижній кінець
драбини віддалений від стіни
х
Ця задача з першого підручника математики на Русі.
Називається цей підручник «Арифметика», а видав
його Леонтій Пилипович Магніцький.
Часто математики записували свої завдання у віршованій формі.
Ось одне із завдань індійського математика XII століття Бхаскара:
2. На березі річки тополя росла
І вітру порив її стовбур зламав.
Тополя упала і стовбур її
Кут прямий з течією ріки
утворив.
Пам’ятай, в тому місці ріка
Чотири фути була шириною.
Верхівка схилилась до краю,
Залишивши три фути всього над
водою.
Прошу, тепер швидше скажи мені
ти:
Тополя якої була висоти?
Розв'язання:
?
3
4
3^2 + 4^2 = x^2
X^2 = 25
X = 5(футів) – довжина
відломленої частини
стовбура;
3 + 5 = 8(футів) – висота
тополі.
Ще одна задача стародавніх індусів також
запропонована у віршах:
3.Над озером тихим,
С полфута размером высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока?
Розв'язання:
2
Х
Х + 1/2
(Х + ½)^2 – X^2 = 2^2
X^2 + X + ¼ - X^2 = 4
X = 3 ¾ (футів) –
глибина озера
Задача 1.
• На протилежних берегах річки стоять двоє
стрільців. Зріст одного 180 см., другого 120 см.
Ширина річки 500 см. Обидва стрільці одночасно
випускають стрілу з лука, влучаючи в один
момент у мішень на поверхні води, що лежить на
прямій, яка сполучає ступні стрільців.
Знайти довжини шляхів стріл
та
місце знаходження мішені.
Задача 2.
• Дах будинку має форму
рівнобедреного
трикутника (АВС)
АВ=ВС=50 м.,
Основа
трикутникаАС=96 м.,
ВК-висота даху.
Знайти висоту даху.
Задача 3.
• Драбину довжиною 13 м., приставили
до стіни так, що відстань до нижнього
кінця драбини до стіни 5 м. На якій
висоті від землі знаходиться кінець
драбини?
Задача 4.
• У середині квадратного озера зі
стороною 10 футів росте тростинка,
видна з води на 1 фут. Якщо натягнути
тростину, вершина дістане берега. Яка
глибина озера?
Задача 5.
• Для закріплення щогли потрібно
встановити 4 троси. Один кінець
кожного троса повинен прикріплюватися
на висоті 12 м, другий на землі на
відстані 5 метрів від щогли. Чи досить
50м тросу для закріплення щогли?
Задача 6.
• Для встановлення щогли телевізійної
антени виготовленні троси довжиною 17
метрів. Троси кріпляться на щоглі на
висоті 15 метрів. На якій відстані від
щогли потрібно прикріпити кінці тросів?