vectores

Conceptos generales

Magnitudes vectoriales Ejes de coordenadas Dibujo de un vector Modulo dirección y sentido Componentes de un vector Cosenos directores Vectores unitarios Expresiones de un vector

Términos que se emplean y significado matemático Ortogonal Independencia lineal Paralelo Perpendicular Perpendicular No se pueden obtener unos de otros Forma 0 º Forma 90º

subíndices

x = parte x de algo y = parte y de algo z = parte z de algo 0 = inicial lo del principio f = final, cuando acaba i = inicial A = situación inicial o de partida B = situación final

símbolos

Δ incremento (es una diferencia) ∑ suma ( se usa un subíndice para decir cuantos elementos tiene) θ ángulo α ángulo con el eje x β ángulo con el eje y γ ángulo con el eje z

Términos que se emplean y significado vectorial 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Paralelo Perpendicular Proyección Desplazamiento Distancia Angulo Triangulo paralelogramo Diagonal mayor del Paralelogramo Diagonal menor del paralelogramo Área del paralelogramo Superficie del triangulo 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

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12.

Producto vectorial Producto escalar Producto escalar Diferencia de vectores Modulo de la diferencia Producto escalar Diferencia de vectores Suma de vectores Suma de vectores Diferencia de vectores Modulo del producto vectorial Modulo del producto vectorial/2

Magnitudes vectoriales

Vector de posición r Velocidad v Aceleración a Campo gravitatorio g Campo eléctrico E Campo magnético B Superficie S Vector propagación FUERZAS Peso Normal Tensión Fuerza de rozamiento Fuerza elástica Fuerza gravitatoria Fuerza eléctrica Fuerza magnética Fuerza nuclear

Álgebra y calculo vectorial

Álgebra vectorial Suma Descomposición Diferencia Producto por un escalar Producto escalar Producto vectorial Calculo vectorial Derivación Integración vectorial

Escritura de un vector

Mediante letras mayúsculas o minúsculas.

En negrita Con una flecha encima

definiciones

coordenadas

Números que se dan para localizar un punto en el que se encuentra un cuerpo

Coordenadas cartesianas x, y, z

Coordenadas polares: r y φ

Ejes de coordenadas cartesianas

Son los ejes x y z

Z X Y P

Símbolos de los ángulos

Entre segmentos θ Con el eje x : φ Con los ejes x, y, z α, β, γ

sen

 

catetoopue sto hipotenusa

cos  

catetocont iguo hipotenusa

Teorema de Pitágoras y del coseno (a y b son módulos de vectores)

R



R



a

2 

b

2

a

2 

b

2  2

ab

cos 

Formula elemental de trigonometría

sen

2 θ

+ cos

2 θ

= 1

modulo

Valor absoluto del vector Coincide con la distancia del segmento 

A



A x

2 

A y

2 

A z

2

Vector unitario Es el que tiene de modulo la unidad El símbolo usado para designarlo es –u con un subíndice que indica su dirección u r dirección radial u x dirección x también i u y dirección y también j u z dirección z también k

Vectores unitarios ortogonales

Forman 90º entre sí i j k

u

  

A



A

Cosenos directores • Cosenos de los ángulos que el vector forma con el eje x y z cos  

A



A x

cos  

A



A y

cos  

A



A z

dirección

Línea que contiene al vector Se expresa por su vector unitario

Vector de posición Es un vector cuyo origen es el punto 0,0,0 y su extremo el punto considerado Se representa con la letra

r

Vector desplazamiento

Es el vector cuyo origen es el punto de salida de un móvil y cuyo extremo es el punto de llegada Se representa como Δ r

Expresiones de un vector

Mediante tres números entre paréntesis Mediante el modulo y su vector unitario Mediante tres vectores unitarios ortogonales Mediante su modulo y los cosenos directores



A



A



A

 , (

u



A x

,

A y

,

A z

 

A A x i

 

A y

, cos  , cos

j

 

A z

 , cos 

k

 )

Suma de vectores

Es el vector obtenido trasladando los vectores y colocando e extremo de uno en el origen del otro y uniendo origen con extremo También se obtiene por la regla del paralelogramo

¿Cómo se hace la suma?

Teorema del coseno Sumando las componentes



A

 

B



A

2 

B

2  2

AB

cos  

A



B



A

 

B

  

A x A x i



B x

 

i i



B x i

 

A A y



j



B y



y



j j



B y j

 

A z



k



A B z



z



k k



B z k



¿Qué significado tiene la suma?

Es la diagonal mayor del paralelogramo formado por los dos vectores

Componentes de un vector

Son las proyecciones sobre los ejes x y z

Descomposición de un vector

Es la operación contraria a la suma Teniendo el vector obtener las componentes

¿Como se hace la descomposición de un vector?

Mediante las formulas del seno y el coseno

Razón de la descomposición de vectores Si tenemos una magnitud vectorial, podemos hacer las operaciones en las que interviene mediante el vector o mediante las componentes.

Descomponemos el vector Operamos escalarmente las componentes que es mas fácil Volvemos a componer el vector

diferencia Es otro vector obtenido por la regla del triangulo

¿Cómo se hace la diferencia?

Mediante la regla del coseno Operando las componentes

¿Qué significa la diferencia?

Es la distancia entre los extremos de los vectores

Multiplicación por un escalar k Es el producto del vector por un numero

¿Cómo se hace la multiplicación por un escalar?

Se multiplica cada una de su componentes

¿Qué significado tiene la multiplicación por un escalar?

Es como si agrandáramos o disminuyéramos el vector k veces

Producto escalar

Es un escalar que se obtiene multiplicando dos vectores.

¿Cómo se hace el producto escalar Multiplicando las componentes Se organiza ordenando los vectores uno debajo del otro y coincidiendo las componentes.

Mediante la ecuación

A B

=A B cos θ



A

 

A B

 

B

  

A x B x



i i



A x B x A y B y



j j



A y B y A z B z



k k



A z B z

Aplicaciones del producto escalar Conocer el ángulo entre dos vectores Saber si son perpendiculares

Producto vectorial Es el producto de dos vectores obteniéndose un vector que tiene por módulo A B sen θ y dirección y sentido perpendicular al plano formado por los vectores

¿Cómo se hace el producto vectorial?

Su modulo se obtiene mediante la ecuación

A B

= A B sen ө Su dirección mediante la regla del tornillo También se llama regla del la mano derecha, del sacacorchos.

Mediante un determinante04163607131 jade

A

 

B

      

A i



B x x j



A y B y B k



A z z

    

Aplicaciones del producto vectorial Hallar el ángulo entre los vectores Hallar el área del triángulo formado por ellos Hallar un vector perpendicular al plano formado por ellos

Derivada de un vector

Se deriva cada una de sus componentes

Derivadas elementales que se podrán tener en las pruebas De una constante = 0 De una potencia: se resta un numero al exponente y se multiplica por el exponente De una raíz: se convierte en potencia De un producto: derivada del primero por el segundo + derivada del segundo por el primero De un cociente: derivada del numerador por el denominador derivada del denominador por el numerador.

Del seno: el coseno Del coseno: - el seno

Integración vectorial

Se integra cada una de sus componentes

Integrales elementales que se podrán tener en las pruebas De d x es x + C Las constantes salen fuera de la integral De una potencia se suma 1 al exponente y se divide por el numero obtenido.

De una suma o diferencia: suma o diferencia de integrales Del seno = - coseno Del coseno = seno

Notación

Escribir espacio inicial Escribir posición inicial Escribir tiempo final Escribir velocidad en un tiempo t 1 Escribir aceleración en un tiempo t 2 Escribir campo eléctrico E en un punto

Desarrollar

∆ x entre dos puntos ∆ t entre el comienzo y el final ∆ t entre dos tiempos cualquiera ∆ e entre la salida y la llegada ∆v entre el comienzo y el final

i i

  4  1

a i i i

  2  1

a i j j

  2  1

b j

Usando el teorema de pitágoras, el seno y coseno, y un dibujo demostrar 

A



A x

2 

A y

2 

A



A x

2 

A y

2 

A z

2

sen

2   cos 2   1

Usando el producto por un escalar y los vectores unitarios ortogonales

i, j, k

y las razones

u

 

A A x

   

A



A A x i

  trigonometricas, demostrar.

A y j

 

A

cos  

A y A z k

  

A

cos 

A z

 

A

cos 

problemas

Los problemas que a continuación aparecen no son para practicar sino problemas tipo donde se concreta la teoría y que hay que aprender.

Dado el vector

A

=(3,4,0)

Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales.

Hallar su módulo Hallar su vector unitario Expresarlo en función de su módulo y vector unitario Indicar sus componentes Hallar los cosenos directores Expresarlo en función de su módulo y cosenos directores

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DESCOMPOSICION, DERIVADA INTEGRAL.

DESCOMPOSICIÓN: Dado un vector

A

en el plano de modulo 10 formando 30º con el eje x Hallar la proyección sobre el eje x Hallar la proyección sobre el eje y Indicar los cosenos directores Indicar como se escribe la proyección sobre el eje x Indicar como se escribe la proyección sobre el eje y Indicar qué relación existe entre ambas proyecciones.

Dados los vectores (2,12,3) y (3,-1,2)

Hallar su suma Hallar su diferencia Hallar el producto escalar Hallar el producto del primero por el escalar 2 Hallar el producto vectorial

Dados dos vectores

A

y

B

de módulos 6 y 8 formando 60 º Hallar su suma Hallar su diferencia Hallar su producto escalar Hallar el módulo de su producto vectorial

Dado el vector

r

= (t

3

, t

2

, t)

Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales Hallar su derivada Hallar su integral en función de t

aplicaciones

Demostrar que los vectores (sen θ, cos θ) y ( – cos θ, sen θ ) son ortogonales Realizar todos los productos escalares y vectoriales posibles de

i, j, k

Hallar la derivada del vector (sen θ cos θ).

Hallar el ángulo que forman los vectores (3,4,0) (4,3,0) Hallar a para que los vectores siguientes sean perpendiculares (2,3,1) y (1,-a,3) Demostrar que los vectores (3,-2,1) (2,1,-4) (1, 3,5) forman un triángulo rectángulo.

Desde un acantilado se dispara un cañón que forma un ángulo de 60º con la horizontal. La bala sale a 200 m/s. Descomponer la velocidad de la bala.

Sobre un péndulo actúan dos fuerzas, el peso hacia el centro de la tierra y la tensión en la dirección de la cuerda y hacia el techo. Elegir un sistema de referencia para descomponer las fuerzas que actúan sobre un péndulo y descomponerlas

Hallar la proyección de (-1,2,1)sobre (1,-1,2).

Hallar los ángulos del vector (4,-1,3) con los ejes cartesianos.

Hallar el ángulo que deben formar dos vector de módulos 3 y 4 para que su suma sea 5 Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el área del triangulo que forman

14 con el vector . (2,12,3). Hallar el módulo de su suma Los vectores de posición de dos puntos son 2, 1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresión vectorial de los tres lados del triángulo que forman al unir sus extremos Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1 el módulo del vector de posición de su extremo es 9. Los cosenos directores son 2/3 1/3 2/3. Hallar el vector desplazamiento

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento: x = 10t y = 5t 2 z = 4 A) Hallar el vector velocidad y aceleración en t = 1 s B) Hallar la dirección de la velocidad(vector unitario) y decir si el movimiento es rectilinbeo o curvilíneo.

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento: x = 2sent y =2 cos t z = 0 A) Hallar el vector velocidad y aceleración en t =  s B) Hallar la dirección de la velocidad(vector unitario) y decir si el movimiento es rectilíneo o curvilíneo.

C) Demostrar que el vector de posición y la aceleración tienen la misma dirección D) Demostrar que la velocidad y la aceleración son perpendiculares.

Una fuerza tiene la expresión F = 2x

i.

Hallar el trabajo desde x = 1 a x = 5 W=

 1 2

F dr

Una fuerza tiene la expresión F = 2

i

+ 3

x

j + z

k

Hallal el trabajo desde el punto (0,0,0) al (1,1,1)

Dada la fuerza F = senx

i

+ cos x

j.

Hallar el trabajo desde el punto 3,4 al 4,3