Transcript Diaporama - Maths Bordeaux

Résolution de
problèmes
Équipe académique Mathématiques - 2013
RÉSOUDRE UN PROBLÈME,
POURQUOI ?
Équipe académique Mathématiques - 2013
 Enrichir
l’activité mathématique des élèves,
leur faire acquérir des compétences plus
variées
 Renforcer
l’intérêt des élèves pour notre
discipline dans des situations en prise avec
une certaine réalité
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RÉSOUDRE UN PROBLÈME,
ÇA CONSISTE EN QUOI
Équipe académique Mathématiques - 2013
?
EXTRAIT DE PROGRAMMES DU LYCÉE
modéliser et s’engager dans une activité de recherche ;
 conduire un raisonnement, une démonstration ;
 pratiquer une activité expérimentale ou
algorithmique ;
 faire une analyse critique d’un résultat, d’une
démarche ;
 pratiquer une lecture active de l’information (critique,
traitement), en privilégiant les changements de
registre (graphique, numérique, algébrique,
géométrique) ;
 utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice)
adaptés à la résolution d’un problème ;
 communiquer à l’écrit et à l’oral.

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En particulier





Chercher, expérimenter, modéliser, en
particulier à l’aide d’outils logiciels
Choisir et appliquer des techniques de
calcul
Mettre en œuvre des algorithmes
Raisonner, démontrer, trouver des
résultats partiels et les mettre en
perspective
Expliquer oralement une démarche
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Rôle du professeur dans ce cadre:
Donner aux élèves :
- un temps de recherche suffisant
- la possibilité de prendre des initiatives
Entendre les élèves, pour les aider à
s’écouter et à dialoguer entre eux (débat,
travail en binômes, en groupes…)
Fournir aux élèves des pistes et/ou outils
pour répondre à leurs questions
concernant le problème posé sans le
résoudre à leur place
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
LESQUELS ?
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
Transformer des activités classiques en problèmes
•
•
•
permettant des prises d'initiatives et développant l’autonomie
permettant un maximum d’activité mathématique des élèves
permettant d'aborder ou d’appliquer des nouvelles notions ou
de réinvestir des connaissances et/ou méthodes antérieures

Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façons
différentes (géométrie, analyse, TICE…)

Utiliser des problèmes relativement « ouverts »
• l’énoncé est court et facile à comprendre
• la réponse n’est pas évidente
• aucune méthode de résolution n’est sous entendue
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 Dans la mesure du possible, il convient d’essayer
d’avoir un équilibre entre les problèmes
s’inspirant de situations liées à la vie courante,
professionnelle et/ou à d’autres disciplines et les
problèmes purement mathématiques.
 Les problèmes doivent pouvoir permettre aux
élèves de s’exprimer de façon simple et concise
(à l’oral et/ou à l’écrit, et afin de favoriser leur
autonomie et leurs prises d’initiatives).
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
DANS QUEL CADRE
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?
 Classe entière (travail en groupes, débat oral…)
 En salle informatique en demi-groupe
 Devoirs maison
 Devoirs surveillés (prévoir un problème où le
temps de recherche est très raisonnable)
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
COMMENT ?
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Il faut laisser la place

à une véritable recherche des élèves, partie essentielle de
l’activité mathématique (cela peut paraitre dans un premier
temps chronophage mais le bilan d’une bonne recherche peut
aisément remplacer un cours « classique » et donc faire aussi
gagner du temps)

à toutes les idées qu’ils peuvent exprimer pour répondre à des
questions amenées par l’enseignant, ou par eux-mêmes

aux questions des élèves
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Pour leur laisser la possibilité de se poser eux mêmes
de bonnes questions, il faut :
 faire confiance aux élèves et à leur capacité de
s’investir dans la résolution d’un problème
 accepter de ne pas toujours diriger ou orienter
entièrement leurs réponses et leurs stratégies
 instaurer un climat d’écoute et de dialogue
 leur fournir le cas échéant des aides et/ou outils pour
répondre à ces questions de manière convaincante
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DIFFÉRENTES
POSSIBILITÉS
D’ORGANISATION
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
LE TRAVAIL DU PROF
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
choisir un problème avec un enjeu

construire le scenario à partir du problème
• choisir la façon de proposer le problème aux élèves
•
choisir éventuellement les variables didactiques
(pas forcément les mêmes pour tous les groupes
d’élèves)

vérifier la compréhension de l’énoncé
• reformuler éventuellement la question ou la
faire reformuler par les élèves
• faire traiter un exemple, un cas particulier

gérer la classe pour donner le plus de place
possible à l’activité mathématique d’un maximum
d’élèves
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
LE TRAVAIL DE L’ÉLÈVE
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L’APPROPRIATION DU PROBLÈME
PAR LES ÉLÈVES
 phase
de recherche personnelle :
l’enseignant peut guider les élèves sans les
influencer sur leurs conjectures mais au
contraire en aidant à faire naître le
questionnement
 les
élèves formulent des conjectures et
proposent des stratégies
 les
propositions visiblement fausses sont
mises en évidence par des contre-exemples
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
EXEMPLE DE
DIFFÉRENTIATION
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SÉANCES DE RÉSOLUTION DE
PROBLÈMES DIFFÉRENCIÉS
LA ROSACE
LES FONTAINES
ECHANGES DE SYSTÈMES
(La résolution de systèmes n’apparait pas dans les
contenus de 2nde mais cette compétence peut être
travaillée au travers d’activités diverses en particulier dans
la résolution de problèmes)
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1ER GROUPE : LA ROSACE
Une rosace a la forme ci-dessous, dessinée à l’aide d’un
carré ABCD de côté 2 et de demi-cercles.
Entre la surface blanche et la surface colorée, quelle est
celle qui a la plus grande aire ?
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2ÈME GROUPE (ÉLÈVES AYANT DES DIFFICULTÉS
DE LECTURE D’ÉNONCÉ) :
DEUX FONTAINES
Un bassin est alimenté par deux fontaines dont les débits
horaires (exprimés en litres par heure) sont différents mais
constants.
Si on laisse couler la première fontaine pendant 4 heures et
la seconde pendant 3 heures, la quantité d'eau recueillie au
total est de 55 litres.
Si on laisse couler la première fontaine pendant 3 heures et
la seconde pendant 4 heures, la quantité d'eau recueillie au
total est de 57 litres.
Sachant que le bassin peut contenir 320 litres, combien
faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines
coulent ensemble pendant le même temps ?
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3ÈME ET 4ÈME GROUPES :
ECHANGES DE SYSTÈMES


Ecrire l’énoncé d’un problème qui peut amener à
la résolution d’un système d’équations.
Modalités de mise en œuvre:
donné à deux groupes différents d’élèves relativement
faibles
 le groupe 3 donne à résoudre au groupe 4 son
problème et réciproquement
 travail sur les contenus, les savoir-faire et les
compétences.

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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
ET AMENER DES
CONTENUS
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EN AMONT DE LA SÉANCE
 choisir
un problème en lien avec les notions à
introduire et si possible illustrant l’intérêt de cette
notion
 pré-requis nécessaires
 énoncé du problème plutôt ouvert
 anticiper
les aides possibles à apporter aux élèves
 démarrage, déblocage(s)…
 questions possibles des élèves
 point(s) technique(s) délicat(s)
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RÉSOLUTION DU PROBLÈME ET
INSTITUTIONNALISATION

mise en évidence de nouveaux éléments de savoir
(notion(s), technique(s), méthode(s)…) utilisés au cours de
la résolution et de l’intérêt et l’apport en regard des
autres méthodes qui ont éventuellement émergé.

reformulation écrite par les élèves, avec l’aide du
professeur, des connaissances nouvelles acquises en fin de
séquence.
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RÉSOUDRE DES
PROBLÈMES,
POUR METTRE EN ŒUVRE
DES MÉTHODES
(deux exemples : 1H de recherche pour chaque
et une heure de bilan global)
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En amont :
Résoudre des
problèmes qui
accrochent les
élèves et qui
nécessitent les
contenus du
programme et
justifier leur
pertinence en
situation
En aval :
Contenus
(pas de
formalisation
excessive)
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Résoudre des
problèmes avec un
enjeu qui mettent
en œuvre et
montrent l’intérêt
des contenus
étudiés
ALERTE À MALIBU
le poserions…)
(Tel que nous l’avons trouvé)
(Tel AB
que
nous
On note x la longueur
en mètres.
Sur une plage de Malibu, le maître-nageur Mitch utilise
une corde de 160 mètres de longueur et deux bouées
pour délimiter une zone de baignade de forme
rectangulaire. Il se demande où placer les bouées pour
que la zone de baignade ait la plus grande aire possible.
D’après Les maths au quotidien 2ème édition Ellipses
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L’ÉCHANGE ARGUMENTÉ (DÉBAT) AUTOUR
DES PROPOSITIONS ÉLABORÉES

Communication des solutions élaborées, des réponses
apportées, des résultats obtenus, des interrogations qui
demeurent. Ne pas rejeter les solutions qui ne concernent pas
la nouvelle notion.

Confrontation des propositions, débat autour de leur validité,
recherche d’arguments. Cet échange peut se terminer par le
constat qu’il existe plusieurs voies pour parvenir au résultat
attendu et par l’élaboration collective de preuves.

Quand une réponse fait l’unanimité un protocole de
démonstration si nécessaire est suggéré.
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ASTÉRIX
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LE FIL A LINGE
Représentation de la situation : Si on appelle x la distance AB.
Un fil à linge est tendu entre deux poteaux verticaux de 1,80 mètres de
hauteur.
Le fil est un petit peu trop long, puisque sa longueur excède de 10
centimètres la distance séparant les deux poteaux.
On pend, sur un cintre, au milieu du fil, une jupe. La longueur totale
(cintre compris) est de 1 mètre.
Le problème est le suivant : La jupe risque-t-elle d'être en contact avec le
sol ?
1) Faire une figure (précise !) dans le cas où la distance entre les deux
poteaux est de 2 mètres (échelle 1/20). La jupe touche-t-elle le sol dans
ce cas ?
2) Si on augmente la distance entre les poteaux (la longueur du fil étant
toujours supérieure de 10 centimètres à cette distance), pensez-vous
que la jupe risque de toucher le sol ? Et si on diminue la distance ?
3) Démontrer ou invalider cette conjecture.
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ABONNEMENTS
Un magazine est vendu uniquement sur abonnement annuel
depuis 2010.
Le directeur commercial a rassemblé ci-dessous les données
liées aux ventes :
Année
2010 2011 2012
Prix de l’abonnement (en euros) 59
69
80
Nombre d’abonnés
8 714 8 174 7 580
1)
2)
Si le prix est porté à 90 € en 2013, à quel nombre
d’abonnés pourrait-on s’attendre ?
Comment estimer le prix qui amènerait 10 000 personnes à
s’abonner ?
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DRAPEAU (2H DE RECHERCHE)
Un drapeau a la forme suivante :
Le rectangle OABC a pour longueur 6 dm et largeur 4 dm.
K est le milieu du segment [AB].
Quelle est la part de l’aire colorée par rapport à l’aire
totale ?
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VERRE A MOITIE PLEIN
UNE SOLUTION D’ÉLÈVE
(DONNÉ EN DEVOIR À LA MAISON)
« Le volume du cône est pr²h/3 ≈ 94,2 cm3.
On verre
divise aleune
volume
par conique.
2 vu que l’on
veut le verre
moitié plein
Un
forme
La hauteur
de laà partie
3 . Le coefficient de réduction est 1/2 pour le
donc V ≈est
47,110cmcm
conique
et3le diamètre d’ouverture du cône
triangle,
doncde
(1/2)
pour
cône. Mais
alors le
le volume
est
6 cm.etAvec
l’eau,
on le
souhaite
remplir
verre est
divisé par 8 : c’est trop ! La partie basse du verre est plus étroite
jusqu’à
la moitié
dedonc
son la
volume.
que la partie
haute,
solution est supérieure à 5. On
reprendquelle
tout… hauteur doit-on verser l’eau?
Jusqu’à
En fait, c’est le contraire : le coefficient de réduction de la
hauteur, en le mettant au cube, doit être égal au coefficient de
Vous
décrirez
toutes les étapes de votre démarche, les
réduction
du volume.
3√ deet
essais
entrepris,
s’ils n’ont
abouti,
le détail
On a donc
x3 =1/2même
et je pense
que lapas
touche
ma
des
calculs effectués.
calculatrice
me donne le résultat comme pour la racine carrée.
On obtient x ≈ 0,794 , donc, la hauteur du verre étant 10,
h = 0,794x10 = 7,94 cm. C’est la hauteur cherchée. »
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FORFAITS SMS
Tata Yoyo, qui a un grand chapeau, compare trois forfaits
SMS mensuels:
Forfait A : fixe de 20 € quel que soit le nombre de SMS
envoyés.
Forfait B : 0,15 € par SMS envoyé.
Forfait C : 12 € fixe et 0,05 € par SMS envoyé.
Aider Tata Yoyo à choisir le forfait le plus avantageux
selon le nombre de SMS qu’elle enverra.
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LE DÉBAT
Le professeur rentre dans la classe et écrit les deux
égalités suivantes :
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)3 = a3 +3ab +b3
« Que pensez-vous de ces deux égalités ? »
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OPTIMISATION
Un triangle isocèle a pour périmètre 1 dm. On souhaite que son
aire soit la plus grande possible. En décrivant votre démarche,
recherchez les dimensions et l’aire d’un tel triangle.
Voici la solution proposée par un élève:
« Je résous le problème avec le logiciel GEOGEBRA: je construis la
figure avec un curseur a entre 0 et 1, qui représente la longueur
des deux côtés égaux, la troisième longueur est alors 1-2a .
Je ne peux construire le triangle, à l’aide de cercles, que si a est
entre 0,25 et 0,5.
Je demande l’aire du triangle et, en faisant varier la valeur du
curseur, j’obtiens une aire maximale de 0,04808 dm² si a=0,33
dm, soit le tiers du périmètre. Il faut donc que le triangle soit
équilatéral pour avoir une aire maximale qui est alors égale à
0,04808 dm². »
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LES BIDONS
Chez un vigneron, on peut acheter du vin au litre. Dans ce
cas, le vin est conditionné dans des cubitainers d’une capacité
de 5 litres.
Le vin est vendu 2,50 € le litre et un cubitainer vide est vendu
1,50 €.
Proposer une méthode permettant de déterminer le prix en
fonction de la quantité achetée et inversement.
Aide(s) éventuelle(s)
1) Calculer le prix qu’un client devra payer pour 2 litres
achetés, puis pour 5 litres et 7 litres.
2) On dispose de 35 €. Combien de litres de vin peut-on
acheter ?
Équipe académique Mathématiques - 2013
EN STATISTIQUES
Max, qui a 18 ans, veut partir en vacances et il
aimerait y rencontrer des jeunes comme lui.
Le voyagiste lui communique la moyenne d’âge
de deux groupes possibles de 6 personnes : 18 ans
pour l’un et 29 ans pour l’autre. Max choisit bien
sûr le premier !
Proposer un cas dans lequel Max n’aurait pas fait
le bon choix.
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SUITE ET FIN…
On dispose d’un carré de côté 1.
Etape 1 : on colore la moitié du carré.
Etape 2 : on colore la moitié de la partie non colorée.
Et ainsi de suite…
Peut-on, par cette méthode, arriver à un moment donné
à colorier tout le carré initial de côté 1 ?
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LA CARTE
OPTIMISATION
Une carte de vœux de forme rectangulaire de
Mr Choco est directeur d'un supermarché. Il achète à
dimensions
8 cm sur 10 cm, comporte un carré et un
une usine, des boîtes de chocolats au prix de 5 € la boîte.
rectangle colorés comme sur la figure. Comme ces
Il revend
ses boîtes
dans
son magasin
13,60 €quantité,
la boîte.
cartes
de vœux
seront
imprimées
en àgrande
il en
vendblanche
3 000 par
semaine.
onHabituellement,
souhaite que la
partie
soit
la plus grande
Mr Choco
réalise
une étudeles
decoûts
marché
qui montre que
possible
afin
de minimiser
d’impression.
toute baisse du prix de 10 centimes fait augmenter la
vente de 100 boîtes par semaine.
Comment faire ?
On veut aider Mr Choco à fixer le prix de vente de la
boîte de chocolats afin de réaliser un bénéfice maximum.
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AGE ET CHOCOLAT
Ne me donne pas ton âge ; tu me mentirais certainement...
1)
2)
3)
4)
5)
Choisis le nombre de fois que tu voudrais manger du chocolat chaque
semaine (plus d’une fois et moins de 10 fois).
Multiplie ce nombre par deux (pour être plus près de la réalité).
Ajoute 5.
Multiplie par 50 — Oui, tu peux te servir d’une calculatrice !
Si tu as déjà célébré ton anniversaire cette année, ajoute 1763. Sinon,
ajoute 1762.
Maintenant, soustrais ton année de naissance.
Tu devrais obtenir un nombre à trois chiffres.
Le premier chiffre est le nombre de fois que tu veux manger du chocolat
chaque semaine.
Les deux autres chiffres représentent... ton âge! (mais oui, avoue le !!!)
Expliquer pourquoi cet algorithme fonctionne.
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LE LOGO
Un logo a la forme d’un triangle rectangle isocèle de
côté AB = AC = 8 cm , partagé en quatre zones avec
AD = EB = 3 cm comme sur la figure ci-dessous :
Quelle est l’aire de la zone colorée ?
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QUE LA MONTAGNE EST BELLE…
Représentation de la situation
(LeUnhaut
du bâton
est représenté
le point
B.) planté
randonneur
s’approchant
d’unepar
colline
aperçoit,
au sommet, un bâton. La colline a une hauteur de 25 m,
on admet qu’elle a la forme d’une portion de parabole 𝒫,
représentant la fonction f définie par f (x) = -x²+25 , et le
bâton mesure 1 m.
Objectifs :
Le randonneur se promène au pied de la colline.
Déterminer quelle est la position limite de celui-ci à partir
de laquelle il ne voit plus le haut du bâton ?
Équipe académique Mathématiques - 2013
SÉRIE NOIRE DE L’ÉTÉ 2005
« 713 morts dans les crashs aériens en 2005, trois fois plus qu'en
2004
6 mai 2006 / L'année 2005 s'annonce comme particulièrement noire
pour l'aviation civile internationale. Tout le monde a encore en tête la
série de crashs meurtriers survenus durant les dernières vacances
estivales, créant un début de phobie populaire. Ainsi, le nombre de
victimes de crashs aériens explose, atteignant le nombre de 713 décès
(contre 203 l'année précédente). Il y eut au total 18 accidents aériens
meurtriers (9 en 2004).»
(source : Chocolat.TV)
On possède la statistique suivante : en 10 ans, de 1995 à 2004, on
compte 376 accidents aériens graves.
Qu’en pensez-vous ?
Équipe académique Mathématiques - 2013